1、课时训练10双曲线的简单几何性质一、综合题1.双曲线x2-y2=2(0)的离心率e=().A.2B.C.D.1答案:C解析:由双曲线方程知a=,c=,故e=.2.与曲线=1共焦点,而与曲线=1共渐近线的双曲线的方程为().A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:根据椭圆方程可知焦点为(0,-5),(0,5).设所求双曲线方程为=(0),即=1.由-64+(-36)=25,得=-.故所求双曲线的方程为=1.3.已知双曲线=1(a0,b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率e为().A.2B.3C.D.答案:D解析:根据题意,得2a+2c=22b,所以a2+2ac+c2=4(
2、c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍).4.已知双曲线9y2-m2x2=1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m等于().A.1B.2C.3D.4答案:D解析:双曲线9y2-m2x2=1(m0)化为标准方程是=1(m0),a2=,b2=.取一个顶点为,一条渐近线的方程为mx-3y=0,.m=4.5.双曲线的焦点在y轴上,且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上,e=,则双曲线的标准方程为().A.=1B.=1C.=1D.=1答案:D解析:依题意可得一焦点为(0,10),故c=10.又e=,解得a=6,b2=c2-a2=64,故
3、方程为=1.6.已知点F1,F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为.答案:+1解析:不妨设双曲线方程是=1(a0,b0).设点P在该双曲线的右支上,点F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则有|PF1|-|PF2|=2a.由PF1F2为等腰直角三角形得=2c,c2-a2=2ac,=2,e-=2,即e2-2e-1=0,解得e=1.又e1,于是e=+1.7.若双曲线的离心率为,焦点在x轴上,则其渐近线方程为.答案:y=2x解析:由于e=,所以=5,=4,=2,故渐近线方程为y=2x.8.已知双曲线C的方程为=1(a0,b0),离心率e=,顶
4、点到渐近线的距离为,求双曲线C的方程.解:依题意,双曲线焦点在y轴上,顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=x,即axby=0,所以.又e=,所以b=1,即c2-a2=1,-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为-x2=1.9.过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|=|BC|,求双曲线M的离心率.解:双曲线M的方程为x2-=1,左顶点A为(-1,0),渐近线方程为y=bx.又直线l的斜率为1,l的方程为y=x+1.从而可求得直线l:y=x+1与渐近线y=bx的交点为C,AC的中点为,且在渐近线y=-bx上,则=-b,得b=3
5、,c=,e=.双曲线的离心率为.10.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为,求实数k的值.解:(1)联立方程组消去y并整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.直线与双曲线有两个不同的交点,则满足条件解得-k,且k1.若直线l与曲线C有两个不同交点,实数k的取值范围为(-,-1)(-1,1)(1,).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),对于(1)中的方程(1-k2)x2+2kx-2=0,由韦达定理,得x1+x2=-,x1x2=-,故|AB|=|x1-x2|=.点O到直线l的距离d=,SAOB=|AB|d=,即2k4-3k2=0.解得k=0或k=.故实数k的值为或0.
