1、第五节 综合应用1.(必修2P100习题2.2(1)第7题改编)点(2a，a1)在圆 x2(y1)25的内部，则a的取值范围是_115a基础达标解析：由(2a)2+(a-2)25得-a1.152.若直线ax2by20(a，b0)始终平分圆x2y24x2y80的面积，则的最小值为_4 1a1b11abbaab解析：已知直线过已知圆的圆心(2,1)，即a+b=1.所以+=(a+b)=2+4.3.已知圆(x2)2(y1)225被直线l：ykxb截得的弦长为8，则圆心到直线l的距离为_.3解析：由题意知，半径r=5，d2=r2-42=9，d=3.4.圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离
2、等于1的点有_个3解析：因为圆心到直线的距离为=2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个|912 11|55.圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_.解析：由得(1+k2)x2+4kx+3=0.直线与圆没有公共点的充要条件是判别式D=(4k)2-4 3(1+k2)0，k2-30，-k .2212xyykx3333k【例1】已知直线l1：mxy0，l2：xmym20.求证：对任意mR，l1与l2的交点P在一个定圆上分析：注意到l1与l2互相垂直，且分别过定点(0,0)、(2,1)，抓住这个图形特征可“顺藤摸瓜”题型一 直线与圆的方程的综合
3、应用证明：l1与l2分别过定点(0,0)(2,1)，且互相垂直，l1与l2的交点必在以(0,0)、(2,1)为一条直径的圆上，则有x(x2)y(y1)0，即x2y22xy0.已知矩形AEFD的两条对角线相交于点M(2,0),AE边所在直线的方程为x3y60，点 T(1,1)在AD边所在的直线上求矩形AEFD的外接圆P的方程变式11解：设A点坐标为(x，y),kAE，且AEAD，kAD3，又T(1,1)在AD上，即点A的坐标为(0，2)又点M是矩形AEFD两条对角线的交点，点M(2,0)即为矩形AEFD外接圆的圆心，其半径r|MA|2 ，圆P的方程为(x2)2y28.13360131xyyx 0
4、2xy 2【例2】如图，已知圆M为RtABC的外接圆，A(2,0)，B(0，2)，点C在x轴上，点P为线段OA的中点，若DE是圆M中绕圆心M运动的一条直径，试探究是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由.题型二 与直线和圆方程有关的定值问题分析：设点C的坐标为(x,0)，在RtABC中，ABBC，故kABkBC1，即1，解得x4，在圆M中，易得M(1,0)，又点P为线段OA的中点，故P(1,0).探究是否为定值，可先从特殊位置入手，当DE与AC重合时，15cos 1805；当DE与AC垂直时，有D(1,3)，E(1，3)，故(2,3)，(2，3)，此时 22325，故猜想 为定值5
5、.2 2002 02 20 xPD PEPEPDPAPCPEPEPDPEPDPD解：方法一(设而不求)：设D(x1，y1)，E(x2，y2)，当直线DE的斜率存在时，不妨设其为k，则直线DE的方程为yk(x1)，又圆M的方程为(x1)2y29，由、联立方程组消去y得：x22x0，利用根与系数的关系有：x1x22，x1x2，所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1，而(x11，y1)，(x21，y2)，则 (x11)(x21)y1y235；特别地，当直线DE的斜率不存在时 5.综上，5(定值).2281kk2281kk2291kk 82 12 1kk PDPDPDPDPEP
6、EPEPE方法二(整体思想):设D(x，y)，则E(2x，y)，此时(x1，y)，(3x，y)，故 (x1)(3x)y24(x1)2y2495，故总有 5.PDPDPDPEPEPE如图，已知圆C：x2(y3)24，一动直线l过A(1,0)且与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x3y60相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ2时，求直线l的方程变式21 解：(1)l与m垂直，且km，kl3，又kAC3，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0，PQ2
7、，CM1，由CM1，得k，直线l：4x3y40.综上，直线l的方程为x1或4x3y40.133432|3|1kk 43【例3】在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l:yx反射，反射光线l2交y轴于B点.圆C过点A且与l1、l2相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PBPQ的最小值及此时点P的坐标.题型三 与直线和圆有关的最值问题解：(1)直线l1：y2，设l1交l于点D，则D(2 ，2)l的倾斜角为30，l2的倾斜角为60，k2，反射光线l2所在的直线方程为y2(x2 )，即xy40.已知圆C与l1切于点
8、A，设C(a，b),圆心C在过点D且与l垂直的直线上，ba8.又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，a3 ，由得圆C的半径r3 .故所求圆C的方程为(x3 )2(y1)29.33333333 31ab 3(2)设点B(0，4)关于l的对称点B(x0，y0)，则 ，且，解得x02 ，y02，即B(2 ，2)固定点Q，易知当B、P、Q共线时，PBPQ最小，故PBPQ的最小值为BC3.设P(x，y)，则由得P ，最小值BC32 3.13 32 12 33 333yxyx3 12 221042y 3302x040yx33【例4】已知定点A(0,1)，B(0，1)，C(1,0).动点P满足：k|2.求动
9、点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型.分析：设出P点坐标(x，y),依据k|2直接写出x与y的关系式，要说明方程表示的曲线类型，需对参数k分类讨论题型四 轨迹问题APBPPCPC解：设动点坐标为P(x，y)，则(x，y1)，(x，y1)，(1x，y).因为 k|2，所以x2y21k(x1)2y2，即(1k)x2(1k)y22kxk10.若k1，则方程为x1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线；若k1，则方程化为2y22.表示以为圆心，以为半径的圆.1kxk11k,01kk1|1|kAPBPPCAPBPPC 已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，若由动点P向O和O所引的
10、切线长相等，则动点P的轨迹方程是_变式41 解析：O：圆心O(0,0)，半径r；O：圆心O(4,0)，半径r.设P(x，y)，由切线长相等得x2y22x2y28x10，解得x.2632x 321.(2010天津)已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_知识准备：1.会求圆心坐标；2.知道圆心到xy30的距离等于半径链接高考解：令y0得x1，所以直线xy10与x轴的交点为(1,0)，即圆心为C(1,0)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r，所以圆C的方程为(x1)2y22.|1 03|2 2知识准备：1.会求圆的圆心坐标和半径；2.会求点到直线的距离；3.知道半径、d、构成直角三角形2.(2010四川)直线x2y50与圆x2y28相交于A、B两点，则|AB|_.2|005|122 2 5|2AB523解析：圆心为(0,0)，半径为2 ，圆心到直线x2y50的距离为d，由2()2(2 )2，得|AB|2 .