1、第3节空间图形的基本关系与公理最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知 识 梳 理1.空间图形的公理与定理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.(5)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，
2、有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.(6)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角.(2)范围：.常用结论与微点提醒1.空间中两个角的两边分别对应平行，
3、则两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.唯一性的几个结论：(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，
4、那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A.30 B.45C.60 D.90解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案C3.(2018南昌月考)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n
5、的位置关系不可能是()A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行解析依题意，mA，n，m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案D4.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项不正确.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连
6、接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.答案A5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.解析EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.答案4考点一空间图形的公理及应用【例1】 (1)(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，
7、相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件.答案A(2)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形.解BE綊AF，G为FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C，D，F，E四点共面.规律方法1.证明线共面或点共面
8、的常用方法(1)直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.(2)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)公理法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.【训练1】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，连接EF，CD
9、1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面.(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】 (1)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()若直线m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若直线m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知平面，互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m，
10、则n；若直线m，n在平面内的射影互相垂直，则mn.A. B. C. D.(2)(2018唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).解析(1)对于，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故正确；对于，还有可能n或n与相交，错误；对于，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面，则m与n在内的射影分别为AB与BC，且ABBC.而m与n所成的角为60，故错误.(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GH
11、N，NGH，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.所以在图中，GH与MN异面.答案(1)A(2)规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】 (1)(2018汉中一
12、模)下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B.若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直 B.异面C.相交且垂直 D.平行解析(1)A选项，两条直线可能平行，可能异面，也可能相交；B选项，一直线可以与两垂直平面所成的角都是45；易知C正确；D中的两平面也可能相交.(2)连接D1E并延长，与AD交于
13、点M，因为A1E2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，且，所以，所以EFBD1.答案(1)C(2)D考点三异面直线所成的角【例3】 (2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos
14、 603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos .答案C规律方法1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【训练3】 (2018佛山模拟)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB
15、1，则异面直线AB1与BD所成的角为_.解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，易知BDB1E.在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.设AB1，则A1A，AB1，B1E，所以cosAB1E，因此AB1E，故异面直线AB1与BD所成的角为.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是()A. B. C. D.解析显然命题正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，错.命题中，两个平面重合或相交，错.三条直线两两相交，可确定1个或3个
16、平面，则命题正确.答案B2.(2018九江二模)在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E的位置关系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.异面解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，四边形BFOE是平行四边形，BFOE，BF平面AD1E，OE平面AD1E，BF平面AD1E.答案A3.(2018烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若ab，则a，b与c所成的角相等D.若ab
17、，bc，则ac解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.答案C4.(2018临汾调研)已知平面及直线a，b，则下列说法正确的是()A.若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线平行B.若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线不可能垂直C.若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行D.若直线a，b垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直解析对于A，若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线平行、相交、异面，故A错误.对于B，若直线a，
18、b与平面所成角都是30，则这两条直线可能垂直.如图，直角三角形ACB的直角顶点C在平面内，边AC，BC可以与平面都成30角，故B错误.C显然错误；对于D，假设直线a，b与平面都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，D正确.答案D5.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.答案D二、填空题
19、6.(2018邯郸调研)在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_.解析如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，因此可得G1G2BC.答案G1G2BC7.(2018重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_.解析如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的
20、角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.答案8.(2018西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是_.解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.易知GH与EF异面，BD与MN异面.又GMH为等边三角形，GH与MN成60角，易证DEAF，MNAF，MNDE.因此正确的序号是.答案三、解答题9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D
21、1，H，O三点共线.证明如图，连接BD，B1D1，则BDACO，BB1綊DD1，四边形BB1D1D为平行四边形.又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.故D1，H，O三点共线.10.(2017昆明月考)如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或
22、其补角).在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，因为平面CB1D1，所以m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m.因为平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.故m，n
23、所成角即直线B1D1与CD1所成角，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.答案A12.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号).ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.解析因AC平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误.答案13.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.
