1、湖北省武汉市第六中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题（含解析）一、单选题1.设是可导函数，当时，则=（ ）A. 2B. C. -2D. 【答案】C【解析】分析：根据导数的定义即可求出详解：当h0时，可得则2，故选C点睛：本题考查了导数的定义，属于基础题.2.已知函数在处的切线与直线垂直，则（ ）A. 2B. 0C. 1D. 1【答案】C【解析】分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可.详解：由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C.点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题.3.将四颗骰子各掷一次，记事件“四个点数互不相同”
2、，“至少出现一个5点”，则概率等于（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的含义，其含义为在发生的前提下，发生的概率，即在“四个点数互不相同”的情况下，“至少出现一个5点”的概率，分别求得“四个点数互不相同”与“至少出现一个5点”的情况数目，进而相比可得答案【详解】根据条件概率的含义，其含义为在发生的前提下，发生的概率，即在“四个点数互不相同”的情况下，“至少出现一个5点”的概率，“四个点数互不相同”的情况数目为：在“四个点数互不相同”的前提下，“至少出现一个5点”的情况数目为：所以故选：A【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单.4.某校有1
3、000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C【解析】【分析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数【详解】，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为故选C【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题5.已知是离散型随机变量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据
4、题意，由随机变量的分布列的性质可得则只有两个变量，进而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性质计算可得答案.【详解】根据题意，则则只有两个变量，则，得，即，则，则.故选：B【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基础题.6.已知随机变量，则（ ）A. 0.16B. 0.32C. 0.66D. 0.68【答案】D【解析】【分析】先由对称性求出，再利用即得解【详解】由于随机变量，关于对称，故故选：D【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.7.设函数有两个极值点，则实数的取值范围是 （ ）A.
5、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出，题意说明在上有两个不等实根，结合二次函数性质易得【详解】定义域为，不妨设两个极值点，即在区间上有两个不相等的实数根，所以，化为方程在区间上有两个不相等的实数根，记，则，即，解得，故选：B【点睛】本题考查研究函数的极值点，解题关键是问题的转化，即函数有两个极值点转化为方程有两个不等实根8.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A. 30种B. 35种C. 42种D. 48种【答案】A【解析】本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A中选有种，只在B中选有种，则在两类课程中至少
6、选一门的选法有种.9.的二项展开式中，的系数是（ ）A. 40B. -40C. 80D. -80【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，令的指数为，即可求得结果.【详解】对二项式，写出其通项公式令，解得，即可得的系数是.故选：A.【点睛】本题考查由二项展开式的通项公式求解某一项的系数，属基础题.10.已知随机变量的分布列如下，则E（）的最大值是( )-10aPA. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分布列的性质得到b=a,再由均值的概念得到，由二次函数的性质得到结果即可.【详解】根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,，根据
7、公式得到 化简得到，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到.此时,经检验适合题意.故答案为B.【点睛】这个题目考查了分布列的性质以及应用，分布列的概率和为1，每个概率值介于0和1之间，或者可以等于0或1，基础题型.11.在平面直角坐标系中，A，B，C分别为函数图象上的三点,横坐标依次为2，e，3(e为自然对数的底数),则直线OA，OB，OC的斜率的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直线OA，OB，OC的斜率即为，令函数，利用导数讨论函数单调性，即得斜率大小关系。【详解】由题得，令，则有，令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，则是函数在定义域上的
8、最大值，直线OA，OB，OC的斜率，则最大，又，则有.故选：C【点睛】本题考查利用导数比较函数大小，解题关键是构造函数，函数值即是直线斜率。12.己知函数，其中为函数的导数，求（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值【详解】解：函数设，则即，即，则，又，可得，即有，故选【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题二、填空题13.设随机变量，若，则_【答案】【解析】【分析】根据二项分布的数学期望与方差公式列方程计算【详解】在随机变量中，由，得： 解得： 故答案为：【点睛】本题考查了二项分布的性质，属于基础题14
9、.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_【答案】【解析】【详解】设.对yex求导得yex，令x0，得曲线yex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)考点：导数的几何意义15.若()，则的值为_.【答案】【解析】【分析】分析所求表达式，令时可由已知表达式表示，再令，求出，即可求解.【详解】由题意，当时，当时，所以故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意赋值法的应用，考查学生分析转化能力，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_.【答案】4.
10、【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.三、解答题17.已知函数f(x)x34x25x4(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程【答案】（1）xy40（2）xy40或y20【解析】解：(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)
11、2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40(2)设切点坐标为(x0，x034x025x04)，f(x0)3x028x05，切线方程为y(2)(3x028x05)(x2)，又切线过点(x0，x034x025x04)，x034x025x02(3x028x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y2018.已知函数与函数在处有公共的切线.（1）求实数的值；（2）记，求的极值.【答案】（1），；（2）极大值为，无极小值【解析】【分析】（1）由，即可解出（2）求出，判断其符号，得出的单调性即可
12、【详解】（1），由题意得，解得，.（2），的变化情况如表：由表可知，的极大值为，无极小值.【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的极值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.19.随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：一周时间内进行网络搜题的频数区间男生频数女生频数
13、1841081213615410将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.（1）根据已有数据，完成下列列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？经常使用网络搜题偶尔或不用网络搜题合计男生女生合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取人，记经常使用网络搜题的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.6
14、3510.828【答案】（1）填表见解析，在犯错误的概率不超过%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意，由此求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）根据题意填写列联表如下：经常使用网络搜题偶尔或不用网络搜题合计男生222850女生381250合计6040100计算观测值，所以在犯错误的概率不超过%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法抽取一人，抽到经常使用网络搜题的学生的概率为.由题意.,.
15、的分布列为：01234.【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.20.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次
16、红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.试题解析：（）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及
17、计算数学期望是理科高考数学必考问题.21.大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：月份i789101112销售单价xi（元）99.51010.5118销售量yi（件）111086514（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5
18、元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：【答案】（1）（2）可以认为所得到的回归直线方程是理想的（3）产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大【解析】分析：（1）先求均值，代入公式求，再根据回归直线方程过（）求，（2）计算，并与2比较进行判断，（3）先建立利润函数，根据二次函数性质求最大值.详解： （1）因为，所以，则，于是关于的回归直线方程为；（2）当时，则，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为，则，当时，取最大值.所以该产品的销售单价定为元/件时，获得的利润最大.点睛：函数
19、关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.22.设函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数，若对于，使成立，求实数的取值范围【答案】（1）y2（2）单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1）和（2，+）（3）【解析】【分析】（1）将a2代入，对其求导，可得，的值，可得f（x）在x1处的切线方程；（2）将代入，对其求导，由导数性质可得函数f（x）的单词区间；（3）由（2）可得的最小值为，又，分，三种情况讨论，结合对，使成立，可得b的取值范围.【详解】解：（1）将a2代入函数，可得可得：，故曲线f（x）在x1处的切线方程为y2（2），令可得1x2；令可得0x1或x2；因此f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1）和（2，+）（3）f（x）在（1，2）上单调递增，因此f（x）的最小值为f（1）又g（x），当b0时，g（x）在0，1上单调递增，则矛盾当0b1时，得当b1时，解得b1因此，综上所述b的取值范围是【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间及利用导数解决含参数不等式的参数取值问题，综合性大，属于难题.