1、熟能生巧吗 李士锜摘要 许多教师都相信“熟能生巧”，教学中的常规解题训练是否有得于概念形成？事实上，数学的经验性活动和反省抽象都须以操作运算为基础，数学要领的二重性分析表明，过程操作是概念形成的第一步，所以，常规训练是理解的必要条件。 关键词 活动，反省抽象，概念的二重性，过程，对象。一 “熟能生巧”是我国的一条古训，一般都认为，从古代起大家普遍采用这一原理来指导学习。于是，对于操作性技巧，就有“拳不离手，曲不离口”的说法，反复模仿练习，就会获得要学的手艺，而“熟读唐诗三百首，不会吟诗也会吟”似乎是指有创造意义的学习了。按照成语辞典的解释，“熟能生巧”的意思是：熟练了，就能找到窍门。将所学东西
2、弄得滚瓜烂熟，取得经验，就可找到技巧，得心应手，这究竟是不是一条普遍的学习规律？特别是，它是否作为数学教育的原理来运用呢？事实上，我们不能简单地用“是”或“不是”来回答。 一方面，许多数学优等生勤奋努力的经验，以及我国、日本等东亚地区在多次国际性评估中成绩名列前茅的事实可以从正面肯定我们的传统做法；大量数学习题训练和经常性测验考试是提高成绩的有效途径；另一方面，“大运动量训练”的“题海战术”使学生和教师的负担不堪承受，表现出效率低下，抑制学生的创造性和积极性弊病，它使不少学生感到学习数学枯燥无味，望而生畏，显然，数学学习不能等同于工匠学习手艺。对数学来说，熟能生巧，巧的实质应是理解。具体表现为
3、做大量习题的操作性训练是否能促进理解，需要从理论上给予合理解释。西方的数学家、教育家大多认为理解最重要，这代表了西方文化对数学学习的基本立场，“理解领先”的观点与东方的“训练领先”恰成对照。他们认为，模仿性训练实际上是一种纯行为性的操作，以增加重复次数达到记住的目的，最终是机械性的死记硬背，这样的解释似乎又太绝对了。其实，美国心理学家布鲁纳早在60年代在其著名的教育过程一书中就提到过：“中小学数学研究小组成员的经验指出，计算的实践可能是达到理解数学概念的必要步骤。”问题的关键是，如果要承认操作训练的作用，我们应该去分析它究竟具有哪些功能和机制，因此，我们将深入到学生的认知过程中去尝试分析。 现
4、在，我们一般都赞同数学教学是数学活动的教学这样的观念，活动就是开动脑筋，思考起来，做起来，那么，为什么要活动呢？活动这种形式对学生认知是具有特定的意义和作用的。 首先，我们应当看到，数学学习是一种经验性的活动。经验性的重要表现：操作运算行为是数学认知的基础性行为。无论是采用计算机辅助教学手段，还是传统的一张纸一支笔的方式，数学学习并不是靠拍脑袋突发奇想而学到的，有时人们借助灵感解决问题，但灵感还是有赖于实践性经验的积累。学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识，虽然这种实践性与物理、化学、生物等实验科学的观察试验行为有所不同，但数学活动仍需实际操作演算，或是头脑中的操作思想实验，正
5、如拉卡托斯指出的那样，数学是经验性或拟经验性活动。具体地看，经验性主要表现是对数学对象的操纵。数学的起源是数，数的概念来自什么地方？它来自数数这样一种行为性活动，通过一堆小石子形成了数，自然数的运算法则也是在生活实践或学习活动中经亲身体验总结出来的。又如排列或组合问题，先按情境列出各种可能情况，再归结出排列数或组合数，因此，没有实际或思想的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木。 但是，活动情境和活动行为所产生的数的概念又不是直接来自于客观事实中，数学对象实际上是一种特殊对象：思维对象。它不是取自于被操作的实际事物，而是经协调性活动而产生的构造物。例如，加法概念不是来自于更多的小石子，而是来自
6、于添加或合并过程。数列极限不是来自一些数本身，而是这些数中间内含的特定变化发展过程。所以数的加法概念，极限概念实际上是经操作的构造出来的概念，这些东西是数学家早已建立了的。对于学生个人的认知来说，是在他尚未经历的情况下重复那种过程，通过亲自操作体验，作一次再创造，同样需要经验过程，因此建构主义的学习理论认为，数学对象是人的思维建构的结果。用冯格拉舍菲尔德的话说，“知识不是由认知主体被动接受的，而是主动建造的”。这指出，数学概念从本质上讲是人在活动中构造的。例如3加6，可以表现为从头开始往前数3，然后再往前数6，后来觉得，从1数到3可以省略，只需从3开始往前数6即可。这样的行为活动反复多次后，就
7、会压缩为3加6得9，不再去做数数的过程了，最终形成加法概念。 在这类转变中，学生心理上应具有一种什么样的机制呢？经验提供了组织概念的基础，却并未提供概念本身，要构造自己理解的概念，达到学习的目的，关键是一种思想上的飞跃，即皮亚杰提出的“反省抽象”。所谓反省，就是返身、反思，自己作了实践活动，然后“脱身”出来，作为一个“旁观者”来看待自己刚才做了些什么事情，将自己所做过程置于被自己思考的地位上加以考虑，这时自己的活动变以思考的对象，并归结出某个结论，就是反省抽象。数小石子的过程变成思考对象，从中发现，即使按不同次序数，结果总是相等这个“守恒”结果，这就是现在我们称之为“等价类的类”的概念，即数。
8、而由3+6=6+3，1+7=7+1等等过程，可抽象出交换律，这样的过程在数学中屡见不鲜（当然有例外！）。大部分数学概念的形成都经历了一个反省抽象的活动。而要形成反省，被反省的基础，就是操作过程，这种操作缺少了，后面的反省就无法落实，操作达不到一定数量，过程的各种状态和性质在心理上还只是不易引起注意的偶然情况，得不出规律。所以，学生的练习是一种基础活动，是必不可少的，而且，这种活动必须是个人认知的亲身体验，学生必须亲自投入，通过信息去主动地组织现象，操纵对象，建构自己的理解，即使是看别人做，也须在思想上投入，并转化为自己的操作过程，无人可以替代。我们强调技能训练，其功能之一就是在促使学生“下海”
9、，让他们进入问题的情境，在游泳中学习游泳。 从数学学习过程中操作，运算活动和对它的反省这二者关系上看，活动是被反省的对象，是不可或缺的地基，反省则是要依赖地基的建筑，这是两个不同层次上的活动。所以，熟能生巧，巧需要建立在做熟的基础上，没有基础性的活动，反省就成了空中楼阁，活动达不到一定强度，建筑就不稳固，甚至会倒塌。二 数学知识建构的形式是活动和反省抽象。但形式终究只是形式，相比较，内容才是最具实质性的东西。那么，在数学活动的内容方面，熟对于巧有什么意义和影响呢？更明确地讲，操作就是去做，从做的内容看，操作是否对概念形成有作用？是否有利于理解领会？为此，我们对概念形成过程作一剖析。 这里，我们
10、要借助于80年代中期以来关于数学概念形成的认识论分析的基本理论，Thompson,Lesh和Landau等人在80年代中期指出，数学内容可以区分为过程和概念两类。所谓过程就是具备了可操作性的法则、公式和原理，而概念，则是数学中定义的对象和性质。近几年中，Sfard等人的研究认为，数学中，特别是在代数中，许多概念既表现为一种过程操作，又表现为对象，结构，概念往往兼有这样的二重性，在实际运用时，我们根据需要，灵活地改变认识的角度，有时要将某个概念当作有操作步骤的过程，有时又需将它作为一个整体性固定的对象。例如，三角函数cos可以看作直角三角形中锐角的邻边与斜边之比x/r，也可以当成计算结果。多项式
11、5（x+a）-8y是x 与a 相加后乘5，再从积中减去8y这样的运算过程，也可以看成由5，8，x，y，a经运算关系组成的一个结构或运算结果，一个代数对象。这时，我们已不再强调运算，而是强调它自己本身的一种状态，甚至象我们平时几乎不加特别注意的小小的等号“=”，也同样有二重性，有时它是一个指示你去做运算的记号，所以，学生学数学，抄完一道题还未加以思考，就先写上一个等号，再等着去做，而在方程中，等号的意义是表明左右二式之间的平衡关系，但初中学生在解方程，例如解（x +3）=1时，也会先在该式后面写上一个等号，再等着解方程，变成（x+3）=1= x +6x+9=1=这说明它们还未把等号作为对象看待。
12、 Sfard的研究进一步提出，过程和对象这二者有着紧密的依赖关系。学习一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程。而最终结果是二者在认知结构中共存，在适当的时机分别发挥作用。例如，轴对称概念，学生先要熟悉翻折变换过程，而后再将对称关系看成图形的性质。学习函数概念，先是按表达式找若干个自变量的值去计算对应的因变量的值，后来再把它变为一个以定义域、值域、对应关系三要素构成的对象。概念在过程阶段表现为一系列的步骤，有操作性，相对直观，容易仿效学会。但是由于步骤的前后次序以及每一步中包含不少细节，如果停留在过程阶段，思维所考虑的因素呈序列动态，就不易全面掌握，较难抓住要害和实质。当概念进
13、入对象状态时，便呈现一种静态结构关系，易于整体把握性质，并可转变为被操作的“实体”，只有在此时，一个完整的理解才真正成型。 数学知识的二重性决定了数学思维、理解的二重性，由过程到对象的先后顺序，或者说认知发展方向不是人为的随意编排，而是符合人类整体的认识规律的，数学史上概念产生的许多例子遵循了这一发展方式，个人的认知与人类的认识史在此是一致的。这二者不是偶然的巧合，例如，现在函数的具有代表性的三个定义：变量、对应和关系定义，前后二个分别是典型的过程概念和对象概念，对应定义则处在二者的过渡之中，概念就象是一个光滑的大皮球，学生要设法控制它，总需要一个着手点，如果球面上有一个缺口，再借助一定的工具
14、就可以与它打交道，设法操纵它，现在，概念的过程就如同这个缺口，学生可以从此开始跨出认识它的第一步，从过程入手经操作来体会概念中信息的具体关系和影响，就打开了认识上升的道路。所以，常规性的习题练习对于概念形成，发展起着奠基作用，通过它先完成对过程的认识，踏上概念发展的第一个台阶。 上面我们分析了某一个概念自身发展的情况，而这只是个人认知中的一个横断面，如果将眼光放得更远一点，那么，一个概念是一串概念链索中的一个环节。例如，函数概念中的过程操作变量，它作为结构把握了变量之间的变化关系，成为一个“实体”，而在高一级的概念中，函数可被当作四则运算，可复合，可微分、积分，通过这些运算，逐步形成高一级概念
15、，所以，作为对象的概念，在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：它既操作别的对象，又被高层次的运算来操作。 值得注意的是在这概念层次间存在着认知的关键环节，即它们的过渡阶段，实际上，围绕概念的对象化存在着一个“怪圈”，一个概念如果还未被高一级的过程运算，就看不出对象化的必要性，就不能达到真正的对象化，而在高一级过程中被操作的如不是一个对象，该操作就是没有对象的操作。在坚持让学生去进行运算的情况下，运算就成了无对象的运算，变成一种缺乏意义的符号游戏，然而我们也可以想象在这个环节上，同时存在另一种可能性，即从盲目的运算中努力发掘对个人来说还隐含着的意义，从机械性的练习中寻找机会将对象明确化
16、。譬如，小学生将数的乘法理解为连加，那么就不会理解小数乘法2.563.8，这时，小数乘法运算是一种纯形式的操作，可按法则来做，但缺少实质性意义，而它又同时提供了继续理解的一点机会，使学习不致中断。Freudenthal曾经指出，“如果要观察学习过程，需考虑的要素是它的不连续性，即学习过程中的跳跃。”教学的关键是在这些不连续处给学生以一个跨跃鸿沟的桥梁，跳出怪圈的途径，数学的算法、过程是实实在在的驱动力，能维持和推进思考。如果在这过渡环节上坚持“宁缺勿滥”，必须理解了再做，那么，学生连亲自参与的机会都得不到了。所以，高一层次的运算对于前一层次的对象的形成存在一种“反作用”，开辟了一个居高临下的视
17、角，来促进基础概念的理解，这种“超前”运算现象的功能，可能就是我们平时所讲的，先记住弄熟，以后再逐步理解。三 上述学习活动过程和概念形成的发展过程的分析告诉我们，解题训练作为一种教学法，其机制并不只是在让学生接触，熟悉和记住解题技能和技巧，运算操作是数学思维的发生之处，是完整的概念形成的一块基石。它为学生的理解领会提供了必要条件，或者说，熟能生巧的合理性表现在必要性上，本文就是在这个意义上肯定熟能生巧的积极意义，前面的讨论同时也显露出，要达到理解，只靠熟练操作是不够的。为推动学生由基本活动转入反省抽象，从概念的过程阶段进展到对象阶段，还就让学生掌握更多的思维机制，例如内化、压缩等等，仅靠熟练是否能产生这些机制，需要更深入地研究，而且，这样的概念分析只是数学教学的一个方面，训练的课题、难度、数量、时机、评估等等因素本文还都未涉及，除此之外，教学过程还有许多侧面，不是仅研究数学内容可以一锤定音的，在熟能生巧的问题上，我们尤其不可见“物”不见人，不注意认知的主体学生，不注意学生学习中的情感因素，在这方面，西方学者与教师明显比我们考虑得更多更深，笔者将逐步展开讨论。