1、2天津一中 2020-2021 届高三年级第五次月考数学试卷一、选择题：1已知集合5AxxZ，24xBx，则 AB（）A2,5B2,5C2,3,4D1 2,3,4，2设,是两个不同平面，直线 m，直线 n，则下列结论正确的是（）A m是 mn的充分条件B/mn 是/的必要条件C m是 mn的必要条件D mn是的必要条件3.函数 2coseexxxxf x的图象大致是（）A.B.C.D.4学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 n 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出(单位：元)在50，60内的学生有 30 人，则 n 的值为（）A900B1 000C90D1005已知3l
2、og 2a，ln 2b，0.20.5c，则,a b c 的大小关系为（）A acbBabcCbcaDcab6.已知三棱锥 P ABC 中，平面PAABC，ABC 是边长为 3 的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为 323 ，那么三棱锥 P ABC 的体积为（）A 9 34B 3 34C 9 32D 3 3237.已知双曲线2222:10,0 xyMabab，ABCV为等边三角形.若点 A 在 y 轴上，点,B C在双曲线 M 上，且双曲线 M 的实轴为ABCV的中位线，双曲线 M 的左焦点为 F，经过 F和抛物线216xy 焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A22144
3、xyB22188xyC22148xyD22184xy8已知函数 sin0,|2fxx，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4，且直线12x 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A函数 f x 的最小正周期为B函数 f x 在区间,6 12上单调递增C点5,024是函 f x 图象的一个对称中心D将函数 f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 6 个单位长度，可得到 sin 2g xx的图象9.已知函数222,1()11,1 xx xf xxx，若对任意 xR，()|2|1|0f xxkx恒成立，则实数 k 的取值范围是（）A1(,1,)2B11(,
4、)42C11(,)84D(,12,)二、填空题：10若复数2(1)34izi，则z_11二项式531(2)xx的展开式中的常数项为_412.已知0,0ab，且+1a b，则 11 abab的最小值为_13.若函数()xf xex 图像在点00(,()xf x处的切线方程为ykxb，则kb 的最小值为_14.天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经 600 多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游圣地。2021 年元月份以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是 23，不游玩的概率都是 13，若不
5、游玩记 1 分，继续游玩记 2 分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取 3 人，记总得分为随机变量 X，则 X 的数学期望=（）E X_15如图，在ABC和 AEF中，B 是 EF 的中点，2ABEF，3CACB，若点 H 为CA 上的动点，则 EH FH 的最小值为若7AB AEAC AF ，则 BCEF等于_.三、解答题：16.已知ABC中，角 c 的对边分别为,a b c，3 cos2 sinsin0bCcCB（1）求角C；（2）若2 3c，3ABCS，求 a b的值.（3）若42 33ca，求sin(2)3A.517如图，已知平面 BCE 平面 ABC，直线 DA 平面ABC，
6、且 DAABAC.（1）求证：/DA平面 EBC；（2）若3BAC，DE 平面 BCE（）求二面角 ABDE的余弦值；（）在直线 CE（除、CE 两点外）上是否存在一点 M，使得直线 AM 与平面 BDE 所成角的余弦值为 2 55，若存在，则求 CMCE 的值；如不存在，请说明理由.18设等差数列 na的前 n 项和为nS，且等比数列 nb的前 n 项和为nT，满足1 12a b，26S，312S，123bb.（1）求 na，nb的通项公式；（2）求满足条件的最小正整数 k，使得对*()nk nN不等式+1nnTS 恒成立；（3）对任意的正整数 n，设2,+,为奇数（1)(1)为偶数 nnn
7、nnnbnbbcanb，求数列 nc的前 2n 项和.619已知椭圆C：22221xyab 0ab的离心率为 12，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线3450 xy截得的弦长为 2 3（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左顶点为 A，右顶点为 B，右焦点 F，M 是椭圆位于 x 轴上方部分的一个动点，以点 F 为圆心，过点 M 的圆与 x 轴相交，交点T 在 F 右边，过点 B 作 x 轴的垂线l 交直线 AM 于点 N，过点 F 作直线 FEMT，交直线l 于点 E，判断|BEEN是否为定值，并给出证明。20.已知函数 1lnxf xxea xx，aR.（1）当1a 时，求函数
8、f x 的单调区间；（2）若 f x 存在极小值，求实数 a 的取值范围；（3）设0 x 是 f x 的极小值点，且00f x，证明：230002f xxx.7参考答案：1C2A3.A4 D5B6.D7.B8 C9.B108+625iz11-8012.17413.11e14.515 239216.解：（1）由3 cos2 sinsin0bCcCB及正弦定理得：3sincos2sinsinsin0BCCCB，即22sin3cos2sinsin2cos3cos20BCCBCC，0,B，sin0B，22cos3cos20CC，解得：1cos2C 或cos2C（舍），又0,C，23C；（2）1123s
9、insin32234ABCSabCabab，4ab；由余弦定理得：222222cos412cababCababab，解得：4ab.（3）由正弦定理可得1sin A=sin=3aCcA 为锐角，2 2cosA=3827cos2A=1-2sin9A4 2sin2A=2sincos9AA4 2+7 3sin(2)=318A17（1）证明：过点 E 作 EHBC于点 H，因为平面 BCE 平面 ABC，又平面 BCE 平面 ABCBC，EH 平面 BCE，所以 EH 平面 ABC，又因为 DA 平面 ABC，所以/AD EH，因为 EH 平面 BCE，DA 平面 BCE，所以/DA平面 EBC；（2）
10、因为 DE 平面 BEC，所以2DEBDEC，由 ABAC可知 DBDC，DEDE，DEBDEC，则 BECE，所以点 H 是 BC 的中点，连接 AH，则 AHBC，所以 AH 平面 EBC，则/DE AH，AHEH，所以四边形 DAHE 是矩形.以 H 为坐标原点，分别以 HB、HA、HE 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设2DAa，则0,0,2Ea、0,3,0Aa、9,0,0B a、0,3,2Daa.设平面 ABD 的一个法向量为111,mx y z，又,3,0ABaa，0,0,2ADa.由00m ABm AD，得1113020axayaz，取11y，得3,1,0m.设平面
11、BDE 的一个法向量为222,nxy z，因为,3,2BDaaa，,0,2BEaa.由00n BDn BE ，得2222232020axayazaxaz，取21z ，得2,0,1n；设二面角 ABDE的平面角为，则15coscos,5m nm nmn ，由题知二面角 ABDE是钝角，则二面角 ABDE的余弦值为155.（3）设 CM=01CE（，）AM=CM(1,3,2)CACECA设直线 AM 与平面 BCE 所成角为则5sincosAM5，n14=0)=11（舍 或所以14=11CMCE1018解：（1）设 na的公差为 d，nb的公比为q.由26S，312S 得：1126,3312.ad
12、ad解得：12,2.ad所以2212nann.又由1 12a b，123bb得：1122,13.bbq解得11,2.bq 所以12nnb.（2）2+12nnnTSnn当=1n时，+1=nnTS当 24n时，+1nnTS当5n时，0122222C)2（nnnnCCnnnn所以，满足条件的最小正整数=5k11（3）222-12222222111=-(21)(21)3 21 21（）nnnnnnc135211 11+()3 241nncccc218()4nncn22462111+8+16+8n1)444（）（）（）（nncccc23+124621111+8+16+8n24444（）（）（）（）（）n
13、ncccc由（1）-(2)可得：1246232321281+()()9394nnccccn设 nc的前2n 项和为121 1132321281M()+()()=3 2419394nnnn67832111()()183943 41nnn19解：（1）2234=ba，222(3)O lad解得2a，椭圆C 的方程为：22143xy（2）解法一：设直线 AM 的方程为(2)yk x联立22(2)143yk xxy可得222243)1616120kxk xk（12由22161243AMkx xk，可得2226812(,)43 43kkMkk0)k（以 F 为圆心，|FM 为半径的圆为22222123(
14、1)()43kxyk联立22222123(1)()430kxyky可得22166,0)43（kTk线段 MT 的中垂线为：2(1)yk x2(1)2 yk xx(2,2)Ek又(+2)2 yk xxN(2,4)k所以 E 为线段 BN 中点1BEEN解法二：由题意可知 2,0A，2,0B，1,0F，设 M 的坐标为00,xy，则00y，点 M 在椭圆C 上，22003 14xy，222200000012422422xxxFMxyx，点 M 在椭圆C 上，022x，0202x，13022FMx，圆 F 过点 M 与点T，022xFMFT，点03,02Tx，易求直线l 的方程为2x，直线 AM 的
15、方程为0022yyxx，将N2x 代入直线 AM 的方程得：0N042yyx，故点 N 的坐标为0042,2yx，00,M xy，03,02Tx，00000023232MTyykxxx，EFMT，003 22EFxky，直线 EF 的方程为：003 212xyxy，将2Ex 代入得：003 22Exyy，点003 22,2xEy又 2,0B，003 22ExBEyy，00003 2422ENxyENyyyx2200003 4822xyyx2200003 46 422xxyx20003 422xyx003 23xy，00003 2213 22xBEyxENy1420.解：（1）当1a 时，1ln
16、xf xxexx，fx 的定义域是0,，1111111xxxxexexxfx，令 11xg xxe ，110 xgxxe，g x 在0,递增，而 10g，即 10f，当0,1x时，0fx；当1,x 时，0fx，因此，当1a 时，函数 fx 的单调递减区间为0,1；（2）函数 1lnxfxxea xx，aR，该函数的定义域为0,，11xxfxxeax，令 1xg xxea，则 110 xgxxe，g x在0,上是增函数.当0a 时，00g xga，0fx，函数 fx 在区间0,上是增函数，不存在极值点；先证不等式xex，构造函数 xt xex，则 1xtxe.当0 x 时，0tx，函数 t x
17、单调递增；当0 x 时，0tx，函数 t x 单调递减.所以，010t xt，所以，对任意的 xR，xex.当0a 时，10ae ，则11aee ，00ga，10aaaeag ee eaea，15由零点存在定理可知，存在00,axe，使 00g x.当00,xx时，0g x，0fx，fx 单调递减；当0,xx 时，0g x，0fx，f x 单调递增.此时，函数 f x 存在极小值点.综上可知实数 a 的取值范围是0,；（3）由（1）知0 100 xx ea，即0 10 xax e，00lnln1axx，0 100001lnxfxx exx，由00f x，得001ln0 xx.令 1lng xxx，由题意 g x 在区间0,上单调递减.又 10g，由00f x，得001x，令 ln10H xxxx，则 111xHxxx，当1x 时，0Hx，函数 H x 单调递增；当01x 时，0Hx，函数 H x 单调递减.所以，当1x 时，函数 H x 取最小值 10H，ln10 xxHx，即1lnxx，即1xex，0 100 xex，000001ln112 10 xxxxx，0 1223000000001ln2 12xf xx exxxxxx，故结论成立.