1、课时跟踪检测(六十四)坐标系1求双曲线 C：x2y2641 经过：x3x，2yy，变换后所得曲线 C的焦点坐标解：设曲线 C上任意一点 P(x，y)，由上述可知，将x13x，y2y代入 x2y2641得x29 4y264 1，化简得x29 y216 1，即x29 y2161 为曲线 C的方程，可见仍是双曲线，则焦点 F1(5,0)，F2(5,0)为所求2(1)化圆的直角坐标方程 x2y2r2(r0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程 8sin 为直角坐标方程解：(1)将 xcos，ysin 代入 x2y2r2，得 2cos22sin2r2，2(cos2sin2)r2，r.所以，以极点为圆心
2、、半径为 r 的圆的极坐标方程为r(02)(2)法一：把 x2y2，sin y代入 8sin，得x2y28yx2y2，即 x2y28y0，即 x2(y4)216.法二：方程两边同时乘以，得 28sin，即 x2y28y0.3(2015广东高考改编)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin4 2，点 A 的极坐标为 A2 2，74，求点 A 到直线 l 的距离解：由 2sin4 2，得 222 sin 22 cos 2，所以 yx1，故直线 l 的直角坐标方程为 xy10，而点 A2 2，74 对应的直角坐标为 A(2，2)，所以点 A(2，2)到直线 l：xy10 的距离为|221|25 22.
3、4在极坐标系中，直线(sin cos)a 与曲线 2cos 4sin 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，求实数 a 的值解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 xya0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x1)2(y2)25，所以圆心 C 的坐标为(1，2)，半径 r 5，所以圆心 C 到直线的距离为|12a|2r2|AB|22 2，解得 a5 或 a1.故实数 a 的值为5 或1.5设 M，N 分别是曲线 2sin 0 和 sin4 22 上的动点，求 M，N 的最小距离解：因为 M，N 分别是曲线 2sin 0 和 sin4 22 上的动点，即 M，N 分别是圆 x2y22y0 和
4、直线 xy10 上的动点，要求 M，N 两点间的最小距离，即在直线 xy10 上找一点到圆 x2y22y0 的距离最小，即圆心(0，1)到直线 xy10的距离减去半径 r1，故最小值为|011|21 21.6(2016南京模拟)已知直线 l：sin4 4 和圆 C：2kcos4(k0)，若直线l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 k 的值并求圆心 C 的直角坐标解：2kcos 2ksin，2 2kcos 2ksin，圆 C 的直角坐标方程为 x2y2 2kx 2ky0，即x 22 k 2y 22 k 2k2，圆心的直角坐标为22 k，22 k.sin 22 cos 22 4，直
5、线 l 的直角坐标方程为 xy4 20，22 k 22 k4 22|k|2.即|k4|2|k|，两边平方，得|k|2k3，k0，k2k3 或k0，k2k3，解得 k1，故圆心 C 的直角坐标为 22，22.7(2016山西质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2312sin2，点 R2 2，4.(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标解：(1)xcos，ys
6、in，曲线 C 的直角坐标方程为x23 y21，点 R 的直角坐标为 R(2,2)(2)设 P(3cos，sin)，根据题意可得|PQ|2 3cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin(60)，当 30时，|PQ|QR|取最小值 2，矩形 PQRS 周长的最小值为 4，此时点 P 的直角坐标为32，12.8(2016邯郸调研)在极坐标系中，已知直线 l 过点 A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离解：(1)如图，由正弦定理得sin231sin3.即 sin3 sin23 32，所求直线的极坐标方程为 sin3 32.(2)作 OHl，垂足为 H，在OHA 中，OA1，OHA2，OAH3，则 OHOAsin3 32，即极点到该直线的距离等于 32.