1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【最新考纲】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式b24ac，0相交，0相切，0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的
2、必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程()答案：(1)(2)(3)(4)2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1，3C3，1 D(，31，)解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.答案：C3(2015安徽卷)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或12解析：由圆x2y22x2y10知圆
3、心(1，1)，半径为1，所以1，解得b2或12.答案：D4(2015湖南卷)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_解析：画出图形，利用圆心到直线的距离求解如图，过点O作ODAB于点D，则|OD|1.AOB120，OAOB，OBD30，|OB|2|OD|2，即r2.答案：25在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.答案：一种思想直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的
4、应用两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法：1几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算2代数方法：弦长公式|AB|xAxB|.三条性质解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：1圆心在过切点且与切线垂直的直线上2圆心在任一弦的中垂线上3两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线一、选择题1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定解析：由题意知点在圆外，则a2b21，圆心到直线的距离d0，得k23(*)所以k的取值范围是(，)(，)(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，则劣弧所对的圆心
5、角MCN90，由圆C：x2(y4)24知圆心C(0，4)，半径r2.在RtMCN中，可求弦心距drsin 45，故圆心C(0，4)到直线kxy0的距离，1k28，k，经验证k满足不等式(*)，故l的方程为yx.因此，存在满足条件的直线l，其方程为yx.直线(圆)的方程、直线与圆的位置关系本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查另外，应认真体会数形结合思想的应用，能够充分利用直线、圆
6、的几何性质简化运算强化点1直线方程与两直线的位置关系 (1)(2015山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或B或C或 D或(2)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析：(1)由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k.(2)设平面上任一点M，因为|MA|
7、MC|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号同理|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号连接AC，BD交于一点M，若|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得M(2，4)答案：(1)D(2)(2，4)直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等注意数形结合思想分类讨论思想的应用【变式训练】(2015广东卷)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy
8、50D2xy0或2xy0解析：所求直线与直线2xy10平行，设所求的直线方程为2xym0.所求直线与圆x2y25相切，m5.所求的直线方程为2xy50或2xy50.答案：A强化点2圆的方程 (1)(2015全国卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2B8C4D10(2)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y
9、22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4.(2)法一设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1.故圆心坐标为(1，1)，半径r.故圆C的方程为(x1)2(y1)22.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d2.圆心是直线xy0被这两条平行线所截线段的中点，直线xy0与直线xy0的交点坐标是(0，0)，与直线xy40的交点坐标是(2，2)，故所求圆的圆心坐标是(1，1)所求圆C的方程是(x1)2(y1)22.答案：(1)C(2)B求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：1.几何法
10、，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质:(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；2.代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解【变式训练】(2015课标全国卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B. C. D.解析：在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC为等边三角形设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心所以|AE|AD|，从而|OE| .答案：B强化
11、点3直线与圆的综合问题(多维探究)直线与圆的综合问题是高考中的命题重点、热点考查涉及的内容是直线与圆的位置关系、切线与弦长问题、有时与函数、不等式、向量交汇命题常见的命题角度有：(1)与圆的切线方程与弦长相关计算；(2)根据直线与圆的位置关系求相关字母参数的范围、最值；(3)直线与圆、向量、不等式交汇等综合考查学生分析求解问题的能力角度一圆的切线与弦长问题1(2015湖北卷)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_解析：(1)由题意知点C的坐标为(1，)，圆的半径r.
12、所以圆的方程为(x1)2(y)22.(2)在(x1)2(y)22中，令x0，解得y1，故B(0，1)直线BC的斜率为1，故切线的斜率为1，切线方程为yx1.令y0，解得x1，故所求截距为1.答案：(1)(x1)2(y)22(2)1角度二根据直线与圆的位置关系解决有关最值与范围问题2(1)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. B C D(2)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A1，1B(，11，)C22，22D(，2222，)解析：(1)由y ，得x2y21(y
13、0)直线l与x2y21(y0)交于A，B两点，如图则SAOBsinAOB，当AOB90时，SAOB最大，此时AB.点O到直线l的距离d ，因此OCB30，l的斜率ktan 150.(2)圆心(1，1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，所以mn1mn(mn)2，所以mn22或mn22.答案：(1)B(2)D角度三直线与圆和不等式、向量等知识的综合问题3(2015全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.
14、解得k0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.答案：BA级基础巩固一、选择题1直线ykx2与圆x2y21没有公共点的充要条件是()Ak(，)Bk(，)(，)Ck(，)Dk(，)(，)解析：由直线ykx2与圆x2y21没有公共点可知，圆心(0，0)到直线ykx2的距离大于圆的半径，即1，由此解得k0，b0
15、)过点(1，1)，则ab的最小值等于()A2B3C4D5解析：将(1，1)代入直线1得1，a0，b0，故ab(ab)2224，等号当且仅当ab时取“”答案：C4若直线yk(x2)与曲线y有交点，则()Ak有最大值，最小值Bk有最大值，最小值Ck有最大值0，最小值Dk有最大值0，最小值解析：如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率k最小此时1，所以k(舍去正值)；当直线过半圆圆心时，k最大，为0.答案：C5(2015重庆卷)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B4 C6 D2解析：由于直线xay10是圆C
16、：x2y24x2y10的对称轴，圆心C(2，1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1)|AC|236440.又r2，|AB|240436.|AB|6.答案：C二、填空题6已知圆x2y29与圆x2y24x4y10关于直线l对称，则直线l的方程为_解析：由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0，0)，(2，2)，于是其中点坐标是(1，1)又知过两圆圆心直线的斜率是1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为y1x1，即xy20.答案：xy207已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为_解析：由两圆相
17、外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离等于两圆半径之和，即(ab)29a2b22ab4ab，所以ab，即ab的最大值是(当且仅当ab时取等号)答案：8过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_解析：直线与圆的位置关系如图所示，设P(x，y)，则APO30，且OA1.在直角三角形APO中，OA1，APO30，则OP2.x2y24.又xy20，联立解得xy，即P(，)答案：(，)三、解答题9已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2时，求直线l的方程解
18、：将圆C的方程x2y28y120配方，得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有2.解得a.(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，得解得a7或a1.故所求直线方程为7xy140或xy20.10如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解：(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过A(0，3)的圆
19、C的切线方程为ykx3.由题意，得1，解得k0或k，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，点M在以D(0，1)为圆心，以2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.整理，得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.B级能力提升1直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为”的()A充分
20、而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：将直线l的方程化为一般式得kxy10，所以圆O：x2y21的圆心到该直线的距离d.又弦长为2，所以SOAB，解得k1.因此可知“k1”是“OAB的面积为”的充分而不必要条件答案：A2在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_解析：AOB90，点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，圆
21、C的最小半径为，圆C面积的最小值为.答案：3已知圆C：x2y26x4y40，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5，3)(1)求直线l1的方程；(2)若直线l2：xyb0与圆C相交，求b的取值范围；(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由解：(1)圆C的方程化标准方程为：(x3)2(y2)29，于是圆心C(3，2)，半径r3.若设直线l1的斜率为k，则k2.所以直线l1的方程为y32(x5)，即2xy130.(2)因为圆的半径r3，所以要使直线l2与圆C相交，则须有：3，所以|b5|3，于是b的取值范围是35b35.(3)设直线l2被圆C截得的弦的中点为M(x0，y0)，则直线l2与CM垂直，于是有1，整理可得x0y010.又因为点M(x0，y0)在直线l2上，所以x0y0b0.所以由解得代入直线l2的方程得：1b130，于是b(35，35)，故存在满足条件的常数b.