1、贵阳市普通高中2015届高三年级8月摸底考试文科数学【试卷综析】这套试题具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.复数，i是虚数单位，则z的虚部是A.2i B.-2i c.2 d.-2【知识点】复数的定义. L4【答案解析】D 解析：根据复数的定义得z的虚部是-2，故选D.【思路点拨】由复数定义得结论.【题文】2设集合A=，B=，则 A.5,6 B.4，5，6，7 C.x|4x7 D.x|3x8【知识点】集合运算. A1【答案解析】A 解析：因为,所以,故选A.【思路点拨】先用列举法写出集合A,B，然后求得A与B的交集.【题文】3已知是定义在R上的奇函数，且时的图像如图所示，则 A.-3 B.-2 C.-1 D.2 【知识点】函数的奇偶性. B4【答
3、案解析】B 解析：因为是奇函数，所以，又时的图像如图所示，所以，所以-2，故选B.【思路点拨】利用函数的奇偶性及函数的图像获得结果.【题文】4抛物线的准线方程为 A.x=2 B. C.x=-2 D.y=2【知识点】抛物线的几何性质. H7【答案解析】A 解析： 由抛物线的标准方程得其准线方程为x=2，故选A.【思路点拨】由抛物线的标准方程直接写出其准线方程.【题文】5下列判断错误的是 A. 是的充分不必要条件 B.命题的否定是 C.命题“若，则tan=1”的逆否命题是“若则” D.若为假命题，则均为假命题【知识点】命题及其关系；充分条件；必要条件；基本逻辑联结词及量词. A2 A3【答案解析】
4、D 解析：若为假命题，则中至少有一个是假命题，而不一定都是假命题，故选D.【思路点拨】逐个分析各选项得，选项D中的判断是错误的.【题文】6某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 A. B. C. D. 【知识点】程序框图描述意义的理解. L1【答案解析】B 解析：由程序框图可知输出的函数是有零点的偶函数，故选B. 【思路点拨】根据程序框图描述意义知：输出的函数是有零点的偶函数，由此得结论.【题文】7已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比的值为 A.2 B.3 C.2或-3 D.2或3【知识点】等比数列及其前n项和. D3 【答案解析】C 解析： 由公比不为1的等比数列前n
5、项和公式得：解得或，故选C.【思路点拨】根据已知条件，及等比数列前n项和公式求解.【题文】8设满足约束条件，则的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6 【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案解析】C 解析：画出约束条件下的可行域，平移直线，得最优解是方程组的解（1,1），所以的最大值是，故选C.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数值为0的直线，得使目标函数取得最大值的最优解，进而求得目标函数的最大值.【题文】9要得到函数的图像，只要将函数的图像 A.向左平移单位 B. 向右平移单位 C. 向左平移单位 D. 向右平移单位【知识点】函数的图像与性质. C4【答案解析】D 解析：因为向右平移
6、单位得：，故选D.【思路点拨】根据平移变换的口诀，得出正确选项.【题文】10已知两个平面垂直，给出下列四个命题： 一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线. 一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线. 一个平面内的任一条直线必垂直另一平面. 在一个平面内一定存在直线平行于另一平面.其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3 【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案解析】C 解析：只有当一个平面内的这条已知直线垂直另一平面时，它才垂直另一平面内的任意一条直线，所以是错误的；一个平面内的已知直线必与另一平面内和两平面交线垂直的无数直线垂直，所以正确；只有一个
7、平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于另一平面，所以是错误的；其中一个平面内平行于两平面交线的直线一定平行于另一平面，所以正确.故选C. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质，逐一分析这四个命题的正误.【题文】11已知圆C: ,直线，圆C上任意一点A到直线的距离小于2的概率为 A. B. C. D. 【知识点】几何概型. K3【答案解析】A 解析：因为圆心到直线的距离是5，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是3，设此弧所对圆心角为，则，所以，所对的弧长为，所以所求概率为：,故选A.【思路点拨】先求圆上到直线距离小于2的点构成的弧的弧长，此弧长与圆的周长的比为所求概率.【题文】
8、12已知函数，若a,b,c互不相等，且，则abc的取值范围是 A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)【知识点】函数的图像及性质. B7 B8【答案解析】C 解析：不妨设，因为，所以，且，由得，所以ab=1，又，所以abc的取值范围是(10,12)，故选C.【思路点拨】因为a,b,c互不相等，所以可设，根据得a,b,c的取值范围及关系，从而求得结论.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【题文】13已知幂函数的图像经过点，则该函数的解析式为 .【知识点】幂函数. B8【答案解析】 解析： 设，因为的图像经过点，所以，所以该函数的解析式为：.【思路点拨】待定系数
9、法求该幂函数的解析式.【题文】14在等差数列中，则此数列前13项的和是 .【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】39 解析： 【思路点拨】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式求解.【题文】15已知向量满足，且，则与的夹角为 .【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】 解析：，所以，所以，所以与的夹角为.【思路点拨】利用向量数量积的运算性质以及数量积的定义求解.【题文】16一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为 .【知识点】空间几何体的三视图；几何体的表面积. G1 G2【答案解析】 解析：该几何体是边长为1的正八面体，其表面积为，其外接球的半径
10、为，故外接球表面积为，所以所求比值为.【思路点拨】由三视图得该几何体是边长为1的正八面体，从而求得其表面积及其外接球的表面积，进一步求出所求比值.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】17（本小题满分12分）在，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA=.(1)求cos(B+C)+cos2A的值； （2）若a=，求bc的最大值.【知识点】三角形中的求值. C9【答案解析】（1）；（2）. 解析：（1）在中，因为cosA=所以cos(B+C)+cos2A=-cosA+-1= -6分（2）由余弦定理知所以3=当b=c时 ，bc的最大值是-12分【思路点拨】（1）根据A+
11、B+C=,诱导公式，二倍角公式等求解；（2）利用余弦定理及基本不等式求bc的最大值.【题文】18（本小题满分12分）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD,F为BE的中点. （1）求证：平面ACF；（2）若CE=1，AB=,求三棱锥E-ACF的体积.【知识点】空间中的位置关系；体积求法. G1 G4 G5【答案解析】（1）略；（2） 解析：（1）证明如下：连接OF.由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点.又F为BE 中点，所以.又平面ACF, 平面ACF,所以平面ACF. -6分（2）因为在中，的中点，CE=1，BC=所以又因为底面ABCD 是正方
12、形，底面ABCD 所以所以AB平面BCE所以三棱锥E-ACF的体积-12分【思路点拨】（1）根据线面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直线与直线DE平行，为此连接OF即可；（2）等体积转化.【题文】19（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其范围为0，10,分别有五个级别：T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1) 求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？(2) 用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、
13、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3) 从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.【知识点】统计与概率. I1 I2 K2【答案解析】 (1) 轻度拥堵的路段有6个，中度拥堵的路段有9个，严重拥堵的路段有3个；（2）2,3,1；（3）.解析：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）个，中度拥堵的路段有个，严重拥堵的路段有个.-4分（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在的路段中分别抽取的个数为2,3,1.-8分（3）
14、记选出的2个轻度拥堵路段为,选出的3个中度拥堵路段为,选出的1个严重拥堵路段为,则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：,，共15种情况.其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：，共9种.所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是. -12分【思路点拨】（1）根据频数=频率交通路段总数，得各种路段得个数.(2)根据算式，得三个级别路段被抽取的个数.（3）写出从6个路段中取出2个路段的所有情况，共15种，其中至少一个路段为轻度拥堵的有9种，所有所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是.【题文】20（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的
15、弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，弦AB长4.(1) 求椭圆的方程；(2) 若.求直线AB的方程.【知识点】椭圆及其几何性质；直线的方程. H5 H1 【答案解析】(1) ;(2) x-y-1=0或x+y-1=0. 解析：（1）由题意知，又，解得：，所以椭圆方程为：.-6分（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，不满足条件；当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为.将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得，则，所以.同理，.所以=解得，所以直线AB方程为x-y-1=0或x+y-1=0.-12分【思路点拨】(1)由已知条件得椭圆的字
16、母参数a,b,c的值，从而得到椭圆方程；（2）先检验两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，不满足条件；然后看两直线斜率均存在时，因为AB与CD垂直，所以设直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为.将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得，则，所以.同理，.所以=解得，所以直线AB方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【题文】21（本小题满分12分）已知函数. （1）求的最小值；（2）设，讨论函数的单调性.【知识点】导数的应用. B12 【答案解析】（1）；（2）时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减. 解析：（1），令得.当时 ，；当时，在上递减，在递增.当时，.
17、- 6分（2）.当时，恒有在上是增函数；当时，令得解得， 令得解得；综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减. -12分【思路点拨】(1)求的根，此根把函数的定义域分成两部分，在每一部分上讨论函数的单调性，从而求得函数的最小值.(2)求得导函数后，讨论a的取值范围得导函数大于零或小于零的x范围，从而确定函数的单调性.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一天计分.做答是用2B铅笔 在答题纸上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【题文】22（本小题满分10分）如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B,C两点，圆心O在的内部
18、，点M是BC中点.（1） 证明：A,P,O,M四点公园共圆；（2）求的大小.【知识点】几何证明选讲. N1【答案解析】(1)略；（2）. 解析：（1）证明：连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以.因为M是圆O的弦BC的中点，所以.于是由圆心O在的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A,P,O,M四点共圆. -5分（2） 由（1）得A,P,O,M四点共圆，所以.由（1）得,由圆心O在的内部，可知,所以. -10分【思路点拨】（1）根据对角互补的四边形由外接圆，证明A,P,O,M四点共圆；（2）由同弧所对圆周角相等得.又,由圆心O在的内部，可知,所以.【题文】23（本小题满分10分）已
19、知切线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）.(1) 写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；(2) 设曲线C经过伸缩变换，得到曲线，判断L与切线交点的个数.【知识点】极坐标与参数方程. N3【答案解析】(1) 直线L的直角坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）两个 .解析：（1）消去参数t得直线L的直角坐标方程为:,由公式得曲线C的直角坐标方程为；-5分(2)曲线C经过伸缩变换得到曲线的方程为，由于直线L恒过点，点在椭圆内部，所以直线L与椭圆相交，故直线与椭圆有两个交点.-10分【思路点拨】(1)参数方程消去参数得普通方程，利用公式完成极坐标方程与直角坐标方程的相互转化.(2)先求得曲线的方程，再由直线L所过的点在曲线内，得直线与曲线有两个交点.【题文】24（本小题满分10分）设函数. （1）当a=2时，解不等式；（2）若的解集为，求证：m+2n4.【知识点】绝对值不等式的解法；不等式的证明方法. N4【答案解析】（1）不等式的解集为；（2）略. 解析：（1）当a=2时，不等式为，因为方程的解为所以不等式的解集为；（2）即，解得，而解集是，所以，解得a=1,所以所以.-10分【思路点拨】（1）利用两实数差的绝对值的几何意义，写出方程的解，从而得到原不等式的解集.(2)由已知条件求得a值，再用基本不等式证得结论.