1、第6节空间向量及其运算最新考纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量
2、定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz1.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a1e12e23e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.非零向量a，b的数量积ab|a|b|c
3、osa，b.(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b常用结论与微点提醒1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交
4、换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.()(4)若ab0，则a，b是钝角.()解析对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.若a，b，c为空间的一组基底，
5、则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A.a，ab，ab B.b，ab，abC.c，ab，ab D.ab，ab，a2b解析若c，ab，ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a，b，c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底.答案C3.如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示).解析aa()aa()abc.答案abc4.（2018宜春月考）已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_.解析ab2(4)321x0，x2，|b|2.答案25.已知a(cos ，1，
6、sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_.解析ab(cos sin ，2，cos sin )，ab(cos sin ，0，sin cos )，(ab)(ab)(cos2sin2)(sin2cos2)0，(ab)(ab)，则ab与ab的夹角是.答案考点一空间向量的线性运算【例1】 如图所示，在简单几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.规律方
7、法1.选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.2.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.【训练1】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.(1)化简：_.(2)用，表示，则_.解析(1)().(2)因为()，所以().答案(1)(2)考点二共线、共面向量定理的应用【例2】 已
8、知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接BG，则()，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为()，因为E，H，B，D四点不共线，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.规律方法1.证明空间三点P，A，B共线的方法(1)(R)；(2)对空间任一点O，xy(xy1).2.证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)xy；(2)对空间任一点O，xyz(xyz1)；(3)(或或).【训练2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O
9、，若点M满足().(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.解(1)由已知3，()().即，共面.(2)由(1)知，共面且过同一点M.四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.考点三空间向量数量积及应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)；解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)()()()()(ca).【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EGAB.证明由例3知()(bca)，所以(
10、abaca2)0.故，即EGAB.【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG的长.解由例3知abc，|2a2b2c2abbcca，则|，即EG的长为.【迁移探究3】 本例的条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值.解由例3知bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.规律方法1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|；(3)cosa，b.【训练3】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四
11、边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.(1)解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|1|，即AC1的长为.(2)证明abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.，AC1BD.(3)解bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知a
12、(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A.2 B. C. D.2解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.答案D2.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直解析由题意得，(3，3，3)，(1，1，1)，所以3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以ABCD.答案B3.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若a，b，1c，则下列向量中与相等的向量是()A.abc B.abcC.
13、abc D.abc解析11()c(ba)abc.答案A4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.答案C5.如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，.即OA与BC
14、所成角的余弦值为.答案A二、填空题6.(2018郑州调研)已知a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若a，b，c三向量共面，则等于_.解析由题意知cxayb，即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，解得9.答案97.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_.解析|2()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长为.答案8.(2018南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基底，表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为_.解析
15、()，x，y，z.答案，三、解答题9.已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，故向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0x
16、a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.(1)解E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)证明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明A1，E，F，C1四点共面，共面.选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；
17、若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析正确；中若a，b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立；正确；中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则xy不正确.答案B12.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD，.则VA与平面PMN的位置关系是_.解析如图，设a，b，c，则acb，由题意知bc，abc.因此，共面.又VA平面PMN，VA平面PMN.答案平行13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点.(1)试用a，b，c表示；(2)求证：MN平面ABB1A1.(1)解ca，(ca).同理，(bc)，(bc)(ca)(ba)ab.(2)证明ab，即MNAB1，AB1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，MN平面ABB1A1.
