1、51数列基础51.1数列的概念最新课程标准 1.理解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式) 2掌握数列的通项公式及应用(难点)3了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.教材要点知识点一数列的概念及一般形式数列的项与项数一样吗？提示不一样知识点二数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数_的数列无穷数列项数_的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都_它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都_它的前一项的数列常数列各项都_的数列摆动数列从第2项起，有些项_它的前一项，有些项小于它的前一项的数列知识点三数列的通项公式如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个函数式_来
2、表示，那么这个_叫做这个数列的通项公式数列一定有通项公式吗？提示不一定知识点四数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N(或它的有限子集1,2,3，n)解析式数列的通项公式值域自变量_时对应的一列函数值表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)_法；(3)_法数列所对应的图像是连续的吗？提示不连续基础自测1已知数列an的通项公式为an，那么是它的()A第4项B第5项C第6项 D第7项2下列四个数中，哪个是数列n(n1)中的一项()A380 B392C321 D2323已知数列an的通项公式为an，则该数列的前4项依次为()A1,0,1,0 B0,1,0
3、,1C.，0，0 D2,0,2,04下列说法正确的是_(填序号)0,1,2,3,4,5是有穷数列；从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；数列1,2,3,4，2n是无穷数列题型一数列的概念及分类例1已知下列数列：2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；1，；1，；1,0，1，sin，；2,4,8,16,32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解方法归纳1与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定
4、性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物2判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限跟踪训练1给出下列数列：20112018年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130
5、,132,135.无穷多个构成数列， ， ， ，.2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2,4，8，16，32，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列是_，摆动数列是_题型二由数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，.先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式方法归纳1根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；
6、(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想2观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.题型三数列的单调性及应用1数列，的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？提示由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an，当n7时，a7，若为该数列中的一项，则，解得n8
7、，所以是该数列中的第8项2已知数列an的通项公式为ann22n1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项提示由数列与函数的关系可知，数列an的图像是分布在二次函数yx22x1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项例3已知函数f(x)x.数列an满足f(an)2n，且an0.(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的增减性先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列an的增减性方法归纳1由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自
8、变量的值求函数值2判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3判断数列单调性的两种方法(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错实数k的取值范围在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N(或它的有限子集1,2,3，n)这一约束条件跟踪训练3已知数列的通项公式为ann22n5.(1)写出数列的前三项；(2
9、)判断数列an的单调性题型四数列的最大(小)项的求法例4已知数列an的通项公式an(n1)n(nN)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由方法归纳求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项二是设ak是最大项，则有对任意的kN且k2都成立，解不等式组即可跟踪训练4已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值教材反思1本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法难点
10、是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式2要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法易错点要注意以下两个易错点：1并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，它没有通项公式2如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式第五章数列51数列基础51.1数列的概念新知初探自主学习知识点一每一个数第一位an知识点二有限无限大于小于相等大于知识点三nanf(n)公式知识点四从小到大依次取正整数值列表图像基础自测1解析：设是数列中的第n项，则，解得n4或n5
11、.5N，n5应舍去，故n4.答案：A2解析：因为1920380，所以380是数列n(n1)中的第19项应选A.答案：A3解析：当n分别等于1,2,3,4时，a11，a20，a31，a40.答案：A4解析：因为0,1,2,3,4,5是集合，而不是数列，所以错误；正确；数列1,2,3,4，2n共有2n项，是有穷数列，所以错误答案：课堂探究素养提升例1解析：为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列答案：跟踪训练1解析：为有穷数列；是无穷数列，同时也是递增数列；为常数列；为摆动数列答案：
12、例2解析：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an(nN)(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1(nN)(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n(nN)跟踪训练2解
13、析：(1)观察数列中的数，可以看到011,341,891,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21(nN)(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(nN)(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann(nN)(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1)(nN)例3解析：(1)f(x)x，f(an
14、)2n，an2n，即a2nan10，解得ann，an0，ann.(2)法一(作差法)an1an(n1)(n)111，又n1, n，1.an1an0，即an10，1.an10，an1an.数列an是递增数列例4解析：法一：an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，故a1a2a3a11a12，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9a10.法二：设ak是数列an的最大项则即整理得得9k10，所以k9或10，即数列an中的最大项为a9a10.跟踪训练4解析：(1)由n25n40，解得1n4.nN，n2,3.数列中有两项是负数(2)法一：ann25n42，可知对称轴方程为n2.5.又nN，故n2或3时，an有最小值，且a2a3，其最小值为225242.法二：设第n项最小，由得解这个不等式组，得2n3，n2,3，a2a3且最小，a2a3225242.