1、2016-2017学年浙江省衢州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=1，2，4，则（UB）A=（）A2B3C5，6D3，5，62若实数x，yR，则“x0，y0”是“xy0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3二项式（1+2x）4展开式的各项系数的和为（）A81B80C27D264若实数x，y满足约束条件，则xy的最大值是（）A7BC1D75函数的最小正周期是（）ABCD26函数（x，且x0）的图象可能是（
2、）ABCD7已知函数f（x）（xR，且x1）的图象关于点（1，0）对称，当x1时f（x）=loga（x1），且f（3）=1，则不等式f（x）1的解集是（）ABCD8已知双曲线的左焦点为F（c，0）（c0），过点F作圆的一条切线交圆于点E，交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）ABCD29如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器（无盖），底面棱长为1dm（dm为分米），高为5dm，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3dm和4dm，则（水不外漏情况下）此容器可装的水最多为（）AB4dm3CD3dm310已知向量，夹角为，|=2，对任意xR，有|+x|，则|t|+|t|（tR）
3、的最小值是（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把正确答案填在答题卡中的横线上.11（6分）计算：|3i|=， =12（6分）一个袋中装有质地均匀，大小相同的2个黑球和3个白球，从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为，从袋中一次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望E是13（6分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为14已知函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，则实数a=，此时函数y=f（x）在0，1最小值为15在数列an中，a1=1，则通项公式an=16若f（x）=x2+ax+b（a，bR），x1，
4、1，且|f（x）|的最大值为，则4a+3b=17已知ABC的面积为1，A的平分线交对边BC于D，AB=2AC，且AD=kAC，kR，则当k=时，边BC的长度最短三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知函数，xR（）求f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a=2且角A满足f（A）=0，求ABC的面积19（15分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，ADC=120，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点（）求证：平面MPB平面PBC；（）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成
5、角的正弦值20（15分）已知数列an满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为an的前n项和（nN*）（）求S1，S2及数列Sn的通项公式；（）若数列bn满足，且bn的前n项和为Tn，求证：当n2时，21（15分）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，以A为圆心的圆（x2）2+y2=r2（r0）与椭圆相交于B、C两点（）求椭圆的标准方程；（）求的取值范围；（）设P是椭圆C长异于B、C的任一点，直线PB、PC与x轴分别交于M、N，求SPOMSPON的最大值22（15分）已知函数f（x）=|x2a|，g（x）=x2ax，aR（）当a=1时，求f（x）在区间1，1上的最大值；（）求f（x）在区间1，1上的最
6、大值M（a）的最小值；（）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个解，求a的取值范围2016-2017学年浙江省衢州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=1，2，4，则（UB）A=（）A2B3C5，6D3，5，6【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出CUB=3，5，6，由此能求出（UB）A【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=1，2，4，CUB=3，5，6，（UB）A=3故
7、选：B【点评】本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、补集性质的合理运用2若实数x，yR，则“x0，y0”是“xy0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可【解答】解：由x0，y0，能推出xy0，是充分条件，而xy0推不出x0，y0，不是必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题3二项式（1+2x）4展开式的各项系数的和为（）A81B80C27D26【考点】二项式系数的性质【分析】令x=1可得二项式（
8、1+2x）4的展开式的各项系数的和【解答】解：令x=1可得二项式（1+2x）4的展开式的各项系数的和为34=81故选：A【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4若实数x，y满足约束条件，则xy的最大值是（）A7BC1D7【考点】简单线性规划【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=xy得y=xz，利用平移求出z最大值即可【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分） 由z=xy得y=xz，平移直线y=xz，由平移可知当直线y=xz，经过点A时，直线y=xz的截距最小，此时z取得最大值，由，解得A（3，4）代入z=xy得z
9、=34=1，即z=xy的最大值是1，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法5函数的最小正周期是（）ABCD2【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】将函数打开化简为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期即可【解答】解：函数=sinxcosxsin2x+cos2x3sinxcosx=cos2xsin2x=2cos（2x+）最小正周期T=故选B【点评】本题考查了三角函数的化简计算能力，二倍角和辅助角的运用属于基础题6函数（x，且x0）的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先判
10、断函数的奇偶性，再判断函数的变化趋势【解答】解：f（x）=cos（x）=cosx=f（x），函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排C，D，当x0+时，f（x），（或者当x=时，f（）=0）故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值得变化趋势，属于基础题7已知函数f（x）（xR，且x1）的图象关于点（1，0）对称，当x1时f（x）=loga（x1），且f（3）=1，则不等式f（x）1的解集是（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质【分析】由题意，f（x）=f（2x），当x1时f（x）=loga（x1），且f（3）=1，loga2=1，可得a=，分类讨论，解不
11、等式即可得出结论【解答】解：由题意，f（x）=f（2x），当x1时f（x）=loga（x1），且f（3）=1，loga2=1，a=，当x1时，不等式f（x）1可化为（x1）1，1x，x1时，2x1时，不等式f（x）1可化为（1x）1，x1故选D【点评】本题考查不等式的解法，考查对数函数的性质，属于中档题8已知双曲线的左焦点为F（c，0）（c0），过点F作圆的一条切线交圆于点E，交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF的长度及判断出PF垂直于PF；通过勾股定理得到
12、a，c的关系，求出双曲线的离心率【解答】解：，则，E为PF的中点，令右焦点为F，则O为FF的中点，则PF=2OE=a，E为切点，OEPF，PFPF，PFPF=2a，PF=PF+2a=3a，在RtPFF中，PF2+PF2=FF2，即9a2+a2=4c2所以离心率e=故选：A【点评】本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于中档题9如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器（无盖），底面棱长为1dm（dm为分米），高为5dm，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3dm
13、和4dm，则（水不外漏情况下）此容器可装的水最多为（）AB4dm3CD3dm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD，上面补同样大的几何体，则体积可求【解答】解：由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD，上面补同样大的几何体，则体积=，故选：C【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题10已知向量，夹角为，|=2，对任意xR，有|+x|，则|t|+|t|（tR）的最小值是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意对任意xR，有，两边平方整理由判别式小于等于0，可得（），运用数量积的定义可得即
14、有|=1，画出=， =，建立平面直角坐标系，设出A，B的坐标，求得|t|+|t|的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值【解答】解：向量，夹角为，对任意xR，有，两边平方整理可得x22+2x（22）0，则=4（）2+42（22）0，即有（2）20，即为2=，则（），由向量，夹角为，|=2，由|2=|cos，即有|=1，则|=，画出=， =，建立平面直角坐标系，如图所示；则A（1，0），B（0，），=（1，0），=（1，）；=+=+=2（+表示P（t，0）与M（，），N（，）的距离之和的2倍，当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|即有2|MN|=2=故选：D【点评
15、】本题考查斜率的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查转化思想和三点共线取得最小值，考查化简整理的运算能力，属于难题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把正确答案填在答题卡中的横线上.11计算：|3i|=， =1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数模的定义和复数的混合运算法则计算即可【解答】解：|3i|=，=1+3i，故答案为：，1+3i【点评】本题考查了复数模的定义和复数的混合运算，属于基础题12一个袋中装有质地均匀，大小相同的2个黑球和3个白球，从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为，从袋中一次任意摸出3个球，摸
16、出白球个数的数学期望E是1.8【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】从袋中一次任意摸出2个球，基本事件总数n=10，恰有1个是白球包含的基本事件个数m=6，由此能示出恰有1个是白球的概率；从袋中一次任意摸出3个球，摸出白球个数的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望E【解答】解：一个袋中装有质地均匀，大小相同的2个黑球和3个白球，从袋中一次任意摸出2个球，基本事件总数n=10，恰有1个是白球包含的基本事件个数m=6，恰有1个是白球的概率为p=从袋中一次任意摸出3个球，摸出白球个数的可能取值为1，2，3，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，数学期望E=1=1.8故
17、答案为：，1.8【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一13某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2正方形，EA底面ABCD，EA=2棱锥的体积V=棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=2，棱锥的表面积S=22+2+2=故答案为，【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于中档题14已知函数f（x）=x3+2ax
18、2+1在x=1处的切线的斜率为1，则实数a=，此时函数y=f（x）在0，1最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求导数，利用函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，求出a的值，确定函数的单调性，即可求出函数y=f（x）在0，1最小值【解答】解：由f（x）=x3+2ax2+1，得到f（x）=3x2+4ax，因为函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，所以f（1）=1，即3+4a=1，解得a=f（x）=3x22x，x（0，），f（x）0，函数单调递减，x（，1），f（x）0，函数单调递增，函数y=f（x）在0，1最小值为f（）=故答案为，【点
19、评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了导数的几何意义，考查函数的最小值，是个基础题15在数列an中，a1=1，则通项公式an=【考点】数列递推式【分析】把已知数列递推式变形，然后利用累加法求数列的通项公式【解答】解：由，得：=an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题16若f（x）=x2+ax+b（a，bR），x1，1，且|f（x）|的最大值为，则4a+3b=【考点】二次函数的性质【分析】根据x的范围以及函数的最大值得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可【解答】解：若|f（x）
20、|的最大值为，|f（0）|=|b|，b，同理1+a+b，1a+b，+得：b，由、得：b=，当b=时，分别代入、得： a=0，故4a+3b=，故答案为：【点评】本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道中档题17已知ABC的面积为1，A的平分线交对边BC于D，AB=2AC，且AD=kAC，kR，则当k=时，边BC的长度最短【考点】三角形中的几何计算【分析】由题意， =1，sinA=，求BC最短时k的值，考虑A为锐角或直角时即可，求出BC，利用导数知识，即可求解【解答】解：由题意， =1，sinA=，求BC最短时k的值，考虑A为锐角或直角时即可，cosA=，由余弦定理可得BC2=5a24，设
21、a2=t0，则f（t）=5t4，f（t）=5，t，f（t）0，函数单调递增，0t，f（t）0，函数单调递减，t=时，函数f（t）取得最小值，即BC=，cosA=2cos2CAD1，cosCAD=，k=cosCAD=故答案为：【点评】本题考查余弦定理的运用，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，难度大三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）（2016秋衢州期末）已知函数，xR（）求f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a=2且角A满足f（A）=0，求ABC的面积【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦
22、函数的图象【分析】（1）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据f（A）=0，求解A，利用正弦定理求解b，根据sinC=sin（A+B）求解sinC，即可求解ABC的面积【解答】解：（）化简，kZ，kZ，f（x）的单调递增区间是，kZ（）f（A）=0，即，又0A，由正弦定理可得：，故【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，同时考查了正弦定理的计算利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题19（15分）（2016秋衢州期末）已知四
23、棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，ADC=120，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点（）求证：平面MPB平面PBC；（）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（）证明BC平面PMB，即可证明：平面MPB平面PBC；（）过B作BHMC，连接HN，证明BNH为直线BN与平面PMC所成的角，即可求直线BN与平面PMC所成角的正弦值【解答】（）证明：在菱形ABCD中，设AB=2a，M是AD的中点，MB2=AM2+AB22AMABcos60=3a2，MC2=DM2+DC22DMDCcos120=7a2又BC2=4
24、a2，MB2+BC2=MC2，MBBC，又P在底面ABCD的射影M是AD的中点，PM平面ABCD，又BC平面ABCD，PMBC，而PMMB=M，PM，MB平面PMB，BC平面PMB，又BC平面PBC，平面MPB平面PBC（）解：过B作BHMC，连接HN，PM平面ABCD，BC平面ABCD，BHPM，又PM，MC平面PMC，PMMC=M，BH平面PMC，HN为直线BN在平面PMC上的射影，故BNH为直线BN与平面PMC所成的角，在MBC中，由（）知BC平面PMB，PB平面PMB，PBBC，【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（15分）（
25、2016秋衢州期末）已知数列an满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为an的前n项和（nN*）（）求S1，S2及数列Sn的通项公式；（）若数列bn满足，且bn的前n项和为Tn，求证：当n2时，【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）根据数列的递推公式得到数列Sn为以1为首项，以为公比的等比数列，即可求出通项公式，再代值计算即可，（）先求出bn，再根据前n项和公式得到|Tn|，利用放缩法即可证明【解答】解：（）数列an满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1Sn），即3Sn=2Sn+1，即数列Sn为以1为首项，以为公比的等比数列，（nN*）S1=，S2=；（）在数列bn中，T
26、n为bn的前n项和，则|Tn|=|=而当n2时， ，即【点评】本题考查数列的通项及不等式的证明，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题21（15分）（2016秋衢州期末）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，以A为圆心的圆（x2）2+y2=r2（r0）与椭圆相交于B、C两点（）求椭圆的标准方程；（）求的取值范围；（）设P是椭圆C长异于B、C的任一点，直线PB、PC与x轴分别交于M、N，求SPOMSPON的最大值【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）椭圆的长轴长，焦距，及a2=b2+c2，求得a、b即可（）设B（x0，y0）则C（x0，y0），可得=，由2
27、x02，求得的取值范围（）设P（x1，y1）（y1y0），得到直线PB，PC的方程，分别令y=0得，得=，依据1y11，求得SPOMSPON取得最大值【解答】解：（）椭圆的长轴长为4，焦距为，2a=4，2c=2，a=2，b2=a2c2=1椭圆的标准方程为（）设B（x0，y0）则C（x0，y0）且，=，因为2x02，所以的取值范围为（）设P（x1，y1）（y1y0），则，直线PB，PC的方程分别为：，分别令y=0得，所以=，于是=，因为1y11，所以SPOMSPON取得最大值为1【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积，面积的范围，属于中档题22（15分）（2016秋衢州
28、期末）已知函数f（x）=|x2a|，g（x）=x2ax，aR（）当a=1时，求f（x）在区间1，1上的最大值；（）求f（x）在区间1，1上的最大值M（a）的最小值；（）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个解，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）当a=1时直接去绝对值符号，结合二次函数的图象即得结论；（）利用f（x）为偶函数可知只需考虑f（x）在0，1上的最大值即可，进而对a的正、负、零情况分类讨论即可（）通过令y=f（x）+g（x），对a的正、负、零情况讨论可知a0不满足题意，进而考虑a0，此时y是一个分段函数，利用方程h
29、（x）=2x2axa=0在（0，+）只有一解可知方程ax+a=0必有一解x=1，进而计算可得结论【解答】解：（）当a=1时，f（x）=|x21|，当1x1时，f（x）=1x2，显然f（x）在区间1，1上的最大值为f（0）=1（）由于f（x）=|x2a|在区间1，1上是偶函数，故只需考虑f（x）在0，1上的最大值即可若a0，则f（x）=x2a，它在0，1上是增函数，故M（a）=1a若a0，由a=1a知，当时，M（a）=1a，当时，M（a）=a，故当时，M（a）最小，最小值为（）令y=f（x）+g（x），当a=0时，方程y=2x2=0只有一解，当a0，y=2x2axa对称轴为，故方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上不存在两解当a0时，令h（x）=2x2axa，由h（0）=a0知，方程h（x）=0在（0，+）只有一解，故方程ax+a=0必有一解x=1，知a1，所以方程h（x）=0在（1，2）必有一解由h（1）h（2）0，得（22a）（83a）0，所以，综上所述，a的取值范围为：1，【点评】本题是一道关于导数的综合题，涉及分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题
