1、常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的,不仅如此,试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了“题型+模型”的全新教学法,本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以便同学们在解答高考题时做到准确、快
2、捷.结论一图2-11.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:A BA B=AA B=BA IB=IA B=I,其中I 为全集.(1)当 A=B 时,显然成立;(2)当 A B 时,Venn图如图2-1所示,结论正确.2.子集个数的问题:若一个集合 A 含有n(n N*)个元素,则集合 A 的子集有2n 个,非空子集有2n-1个.真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.理解:A 的子集有2n 个,从每个元素的取舍来理解,例如每个元素都有两种选择,则n 个元素共有2n 种选择.该结论需要掌握并会灵活应用.1 设集合A=(x,y)x24+y216=1,B=(x,y)|y=3x,则A B 的子集
3、的个数是().A.4B.3C.2D.1变式1 已知集合A=x|x2-3x+2=0,x R,B=x|0 x 0且a 1)互为反函数,两函数图像在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x0,f(x0)与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图像上.5 设点P 在曲线y=12ex 上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为().A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)变式1 若x1 满足2x+2x=5,x2 满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=().A.52B.3C.72D.4结论五函数周期性问题:已知定义在R
4、上的函数f(x),若对任意的x R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a 0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(2)如果f(x+a)=1f(x)(a 0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a 0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a 0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.证明:(1),(2),(3
5、)略.(4)若f(x)=f(x+a)+f(x-a)则f(x+a)=f(x+2a)+f(x)+得,f(x)+f(x+a)=f(x+a)+f(x-a)+f(x+2a)+f(x),即f(x-a)+f(x+2a)=0,f(x+2a)=-f(x-a),所以f(x+6a)=f(x+4a)+2a=-f(x+4a)-a=-f(x+3a)=-f(x+a)+2a=f(x+a)-a=f(x).故f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.6 已知函数f(x)满足:f(5)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y R),则f(2015)=.变式1 定义在 R 上的函数f(x)满足f(x)=log
6、2(1-x)(x 0)f(x-1)-f(x-2)(x 0),则f(2017)=().A.-1B.0C.1D.2变式2 已知定义在 R上的函数f(x)满足f x+32=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2016)+f(2017)=().A.-2B.-1C.0D.1常考二级结论及其应用 4结论六复合函数单调性:已知函数y=fg(x)是定义在 D 上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=fg(x)在D 上是增函数;若f(x)与g(x)的单调性相反,则y=fg(x)在D 上是减函数,即“同增异减”.特别地,若f(x)是 定义域D 上
7、的单调函数,且方程ff(x)=x 在D 上有解为x0,则f(x0)=x0.7 对于定义域为0,1的连续函数f(x),如果同时满足以下3个条件:(1)对任意的x 0,1总有f(x)0;(2)f(1)=1;(3)若x1 0,x2 0,x1+x2 1,都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为理想函数.若函数f(x)为理想函数,假定存在x0 0,1,使得f(x0)0,1,且ff(x0)=x0.求证:f(x0)=x0.变式1 设函数f(x)=ex+x-a(a R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx 上存在点(x0,y0)使得f(f(y0)=y0,则a 的取值范围是().A
8、.1,eB.e-1,1C.1,1+eD.e-1,e+1变式2 若函数y=loga(x2-ax+1)(a 0且a 1)在(1,2)上为增函数,则实数a 的取值范围是.结论七二次函数解析式的三种表达式.二次函数f(x)=ax2+bx+c(一般式)a x+b2a2+4ac-b24a(a 0,x R)(顶点式)a(x-x1)(x-x2)(双根式).二次函数的性质.(1)当a 0时,f(x)在-,-b2a 上为减函数,在-b2a,+上为增函数,且在x=-b2a处取得最小值为f-b2a=4ac-b24a,无最大值;(2)当a 0,则x0 满足关于x 的方程ax=b 的充要条件是().A.x R,12ax2
9、-bx 12ax20-bx0B.x R,12ax2-bx 12ax20-bx0C.x R,12ax2-bx 12ax20-bx0D.x R,12ax2-bx 12ax20-bx0变式1 若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是.变式2 定义 minf(x),g(x)=f(x),f(x)g(x)g(x),f(x)g(x).若函数f(x)=x2+tx+s的图像经过两点(x1,0),(x2,0),且存在整数 m,使得 m x1 x2 m+1成立,则().A.minf(m),f(m+1)14C.minf(m),f(m+1)=14D.minf(m),
10、f(m+1)14变式3 设 maxf(x),g(x)=f(x),f(x)g(x)g(x),f(x)g(x),若函数h(x)=x2+px+q(p,qR)的图像经过不同的两点(,0),(,0),且存在整数n,使得n 1B.maxh(n),h(n+1)12D.maxh(n),h(n+1)-1),当且仅当x=0时取等号;(2)指数形式:ex x+1(x R),当且仅当x=0时取等号.证明:(1)令f(x)=ln(x+1)-x(x-1),则f(x)=1x+1-1=-xx+1.令f(x)=0,解得x=0.f(x),f(x)随x 的变化如表2-1所示.表2-1x(-1,0)0(0,+)f(x)+0-f(x)
11、极大值所以f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,且当x=0时,f(x)有最大值为0.即 x-1,ln(x+1)-x f(0)=0,所以ln(x+1)x(x-1)恒成立,当且仅当x=0时取等号.(2)令g(x)=ex-x-1(x R),则g(x)=ex-1.令g(x)=0,解得x=0.g(x),g(x)随x 的变化如表2-2所示.表2-2x(-,0)0(0,+)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数,且当x=0时g(x)有最小值为0.即 x R,ex-x-1g(0)=0.所以ex x+1(x R)恒成立,当且仅当x=0时取等号.
12、常考二级结论及其应用 6 9 已知函数f(x)=1ln(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().A.B.C.D.变式1 已知函数f(x)=ex,x R.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2 设函数f(x)=1-e-x.求证:当x-1时,f(x)xx+1.结论九函数的对称性:已知函数f(x)是定义在 R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a+b2轴对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a 轴对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图像关于点 a+
13、b2,c2 中心对称,特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图像关于点(a,b)中心对称.10 已知函数f(x)=Acos(x+)的图像如图2-2所示,f 2=-23,则f(0)=().A.-23B.23C.-12D.12图2-2临门一脚(含密押三套卷)(理科版)7变式1 已知函数y=g(x)的图像由f(x)=sin2x 的图像向右平移(0 0,0).若f(x)在区间 6,2 上具有单调性,且f 2=f 23=-f 6,则f(x)的最小正周期为.结论十三点共线结论:设平面上O,A,B 三点不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数 与,使得OP
14、=OA+OB,且+=1.特别地,当P 为线段AB 的中点时,OP=12OA+12OB.证明:先证必要性.如图2-4所示,因为P,A,B 三点共线,所以AP AB,即存在t R,使得AP=tAB,故OP-OA=t OB-OA(),所以OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.设1-t=,t=,则OP=OA+OB,且+=1.再证充分性.若OP=OA+OB,且+=1,则(+)OP=OA+OB,即OP-OA=OB-OP,也即AP=PB.所以AP PB,故 A,P,B 三点共线.综上所述,P,A,B 三点共线的充要条件是存在实数 与,使得OP=OA+OB,且+=1.图2-411 在 ABC 中
15、,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD=().A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c变式1 若在直线l上存在不同的三点A,B,C,使得关于实数x 的方程x2OA+xOB+BC=0有解(点O 不在直线上),则此方程的解集为().A.B.-1,0C.-1D.-1+52,-1-52变式2 已知两个单位向量a,b 的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t=.常考二级结论及其应用 8结论十一1.若向量OA,OB 不共线,且点P 为线段AB 的中点,则OAOB=|OP|2-|PA|2=|OP|2-|PB|2=|OP|2-AB22;2.在矩形
16、 ABCD 所在平面内,向量|OA|2+|OC|2=|OB|2+|OD|2(点O 为平面内一点).证明:1.如图2-5所示,在 OAB 中,因为点P 为线段AB 的中点,所以PA+PB=0,故OAOB=OP+PA()OP+PB()=OP+PA()OP-PA()=|OP|2-|PA|2=|OP|2-|PB|2=|OP|2-AB22.2.如图2-6所示,设矩形 ABCD 的对角线AC 与BD 的交点为点P,则点P 为AC 和BD 的中点.因为OA+OC=2OP,OA-OC=CA,则(OA+OC)2+(OA-OC)2=4|OP|2+|CA|2,即2(|OA|2+|OC|2)=4|OP|2+|CA|2
17、,所以|OA|2+|OC|2=2|OP|2+|CA|22.同理,|OB|2|OD|2=2|OP|2+|BD|22.又|AC|=|BD|,所以|OA|2+|OC|2=|OB|2+|OD|2.图2-5图2-612 在 ABC 中,点 M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则ABAC=.变式1 在 ABC 中,设点P0 是AB 边上一定点,满足P0B=14AB,且对于AB 边上任一点P,恒有PBPC P0BP0C,则().A.ABC=90B.BAC=90C.AB=ACD.AC=BC变式2 点P 是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 的底面A1B1C1D1 上一点,则PAPC1 的取值范围
18、是().A.-1,-14B.-12,-14C.-1,0D.-12,0变式3 已知圆M:x2+(y-1)2=1,圆N:x2+(y+1)2=1,直线l1,l2 分别过圆心M,N,且l1 与圆M 相交于A,B 两点,l2 与圆 N 相交于C,D 两点,点P 是椭圆y24+x23=1上的任意一动点,则PAPB+PCPD 的最小值为.13 在平面上,AB1 AB2,OB1=OB2=1,AP=AB1+AB2.若 OP 0且b 1,b,r 为常数)的图像上,求r 的值.变式1 已知等比数列an的前n 项和Sn=t5n-2-15,n N*,则实数t=().A.4B.5C.45D.15变式2 设f(n)=3+3
19、3+35+37+32n+9 n (),则f(n)=.结论十五已知数列an的前n 项和为Sn,前n 项乘积为Tn.(1)若an为等差数列,公差为d,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等差数列,公差为n2d;(2)若an为等比数列,公比为q,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(当n 为偶数时,q-1),公比为qn;(3)若an为等比数列,公比为q,则Tn,T2nTn,T3nT2n,仍为等比数列,公比为qn2.临门一脚(含密押三套卷)(理科版)11 18 设等比数列an的前n 项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=().A.2B.73C.83D.3变式1 设等比数列an的前
20、n 项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64变式2 设Sn 是等差数列an的前n 项和,若S4S8=13,则S8S16=().A.310B.13C.19D.18结论十六1.已知圆O 的方程为(x-m)2+(y-n)2=R2,点P(a,b),直线l:(a-m)(x-m)+(b-n)(y-n)=R2.(1)若点P 在圆O 上,则直线l与圆O 相切,点P 为切点,l为切线.(2)若点P 在圆O 外,则直线l与圆O 相交,两交点分别为过点P 作圆的两切线的切点,l为切点弦所在的直线.(3)若点P 在圆O 内(不是圆心),则直线l与圆O 相离,圆心到直线l的距离
21、d满足R2=|OP|d.2.过圆或圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程.(1)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2 上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.(2)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 xa2+y0yb2=1.(3)过抛物线C:y2=2px(p 0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).3.已知点 M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p 0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点 M 在抛物线C 上时,直线l与抛物线C 相切,其中点 M 为切点,l为切线.(2)当
22、点M 在抛物线C 外时,直线l与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点 M 在抛物线C 内时,直线l与抛物线C 相离.理解:(1)求过圆锥曲线上(或外)一点的切线方程时,可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题套路(联立方程,看判别式).(2)在求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程时,应注意理解如下两点:所求切线一定有两条;设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.19 过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为().A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3
23、=0D.4x+y-3=0变式1 已知点 M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是().A.相切B.相交C.相离D.不确定变式2 若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x 轴上,过点 1,12 作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B 两点,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .常考二级结论及其应用 12 结论十七图2-101.在椭圆E:x2a2+y2b2=1(a b 0)中.(1)如图2-7所示,若直线y=kx(k0)与椭圆E 交于A,B 两点,过A,B 两点作椭圆的切线l,l,有ll,设其斜率为k0,则k0k=-b2a2.(2)如图2
24、-8所示,若直线y=kx 与椭圆E 交于A,B 两点,点P 为椭圆上异于A,B 的点,若直线PA,PB 的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2=-b2a2.(3)如图2-9所示,若直线y=kx+m(k0且m 0)与椭圆E 交于A,B 两点,点P 为弦AB 的中点,设直线PO 的斜率为k0,则k0k=-b2a2.注:(1)常变形为:椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点(x0,y0)处的切线方程为x0 xa2+y0yb2=1;(3)常变形为:椭圆x2a2+y2b2=1内以任意一点(x0,y0)为中点的弦 AB 的斜率k=-b2a2x0y0.图2-7 图2-8 图2-92.在双曲线E:x2a2-
25、y2b2=1(a 0,b 0)中,类比上述结论有:(1)k0k=b2a2;(2)k1k2=b2a2;(3)k0k=b2a2.3.在抛物线C:y2=2px(p 0)中类比1(3)的结论有k=py0(y0 0).证明:1.(1)首先由椭圆的对称性知ll.设A(x1,y1),B(x2,y2),由结论十六3知,直线l的方程为x1xa2+y1yb2=1,则k0=-b2x1a2y1.又k=y1x1,则k0k=y1x1-b2x1a2y1=-b2a2(切线问题).(2)设 A(x0,y0),则B(-x0,-y0),P(x,y),x x0,则x20a2+y20b2=1,x2a2+y2b2=1,则x2-x20a2
26、+y2-y20b2=0,所以k1k2=y-y0 x-x0y+y0 x+x0=y2-y20 x2-x20=-b2a2(中心弦问题).(3)如图2-10所示,联结BO 并延长,交椭圆E 于另一点Q,联结AQ,因为点P 为AB 的中点,由椭圆的对称性知点O 为BQ 的中点,则OP为 BAQ 的中位线,所以k0=kAQ.又k=kAB,所以由结论十七1(2)知,kAQ kAB=-b2a2,即k0k=-b2a2(中点弦问题).2.双曲线与抛物线中的相关结论请读者们自己证明.临门一脚(含密押三套卷)(理科版)13 20 直线 m 与椭圆x22+y2=1分别交于点P1,P2,线段P1P2 的中点为 P,设直线
27、 m 的斜率为k1(k1 0),直线OP 的斜率为k2,则k1k2 的值为().A.2B.-2C.12D.-12变式1 过抛物线y2=4x 的焦点作直线与此抛物线相交于P,Q 两点,那么线段PQ 中点的轨迹方程是().A.y2=2x-1B.y2=2x-2C.y2=-2x+1D.y2=-2x+221 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为().A.x245+y236=1B.x236+y218=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1变式1 椭圆C:x24+y23=1的左
28、、右顶点分别为A1,A2,点P 在椭圆C上且直线PA2 的斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1 的斜率的取值范围是().A.12,34B.38,34C.12,1D.34,1变式2 如图2-11所示,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P,A 两点,其中点P 在第一象限,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点C,联结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.对任意k 0,求证:PA PB.图2-11结论十八在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点 A,B 满足直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数(倾斜角互补),则
29、直线 AB 的斜率为定值.(1)如图2-12所示,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),定点P(x0,y0)(x0y0 0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB 的斜率kAB 为定值b2x0a2y0.(2)如图2-13所示,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0),定点P(x0,y0)(x0y0 0)在双曲线上,设A,B 是双曲线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB的斜率kAB 为定值-b2x0a2y0.(3)如图2-14所示,已知抛物线y2=2p
30、x(p 0),定点P(x0,y0)(x0y0 0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0,则直线AB 的斜率kAB 为定值-py0.常考二级结论及其应用 14 图2-12 xyPBAO图2-13 xPBAOy图2-14下面以双曲线为例给出证明,椭圆与抛物线中的相关证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),设直线PA 的方程为y=k(x-x0)+y0,令 m=y0-kx0,联立方程y=kx+mx2a2-y2b2=1,整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,
31、则x1x0=-a2m2+a2b2b2-a2k2,解得x1=-a2(y0-kx0)2+a2b2(b2-a2k2)x0,同理x2=-a2(y0+kx0)2+a2b2(b2-a2k2)x0.故直线AB 的斜率kAB=y2-y1x2-x1=(-kx2+y0+kx0)-(kx1+y0-kx0)x2-x1=2kx0-k(x1+x2)x2-x1=-b2x0a2y0为定值.22 已知椭圆C:x24+y23=1,点A 为椭圆上的定点,若其坐标为A 1,32,E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数.求证:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.变式1 已知抛物线C:y2=2x
32、,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.求证:直线AB 的斜率kAB 为定值,并求出该定值.临门一脚(含密押三套卷)(理科版)15 结论十九AA1xyOB图2-15若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.具体结论及证明如下:(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上异于右顶点的两动点 A,B,以 AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB 过定点a2-b2a2+b2a,0.同理,当以 AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB 过定点-a2-
33、b2a2+b2a,0.(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则 直 线 lAB 过 定 点a2+b2a2-b2a,0.同 理,对 于 左 顶 点(-a,0),则 定 点为-a2+b2a2-b2a,0.(3)对于抛物线y2=2px(p 0)上异于顶点的两动点A,B,若OAOB=0,则弦AB 所在直线过定点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p 0)上异于顶点的两动点A,B,若OA OB,则弦AB 过定点(0,2p).下面以椭圆为例给出证明,双曲线和抛物线的证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:如图2-15
34、所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(a,0),设直线l的方程为x=ty+m(m a).联立x2a2+y2b2=1x=ty+m,消x 得(a2+b2t2)y2+2b2mty+b2m2-a2b2=0,=(2b2mt)2-4(a2+b2t2)(b2m2-a2b2)0y1+y2=-2b2mta2+b2t2y1y2=b2(m2-a2)a2+b2t2 (*)因为以 AB 直径的圆过椭圆的右顶点A1,所以A1AA1B=0,即(x1-a,y1)(x2-a,y2)=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0,(ty1+m)(ty2+m)-at(y1+y2)+2m+a2+y1y2=0,整理
35、得(t2+1)y1y2+(m-a)t(y1+y2)+(m-a)2=0.将式(*)代入上式得(t2+1)b2(m2-a2)a2+b2t2+(m-a)t-2b2mta2+b2t2+(m-a)2=0,化简得 m=(a2-b2)aa2+b2,因此直线l过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理可证,若以 AB 为直径的圆过左顶点(-a,0),则l过定点-a(a2-b2)a2+b2,0.类比椭圆,对于双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0)上异于右顶点的两动点A,B,若以AB 为直径的圆过右顶点(a,0),则 lAB 过 定 点 a(a2+b2)a2-b2,0.同 理,若 该 圆 过 左 顶 点(-a,
36、0),则 lAB 过 定点-a(a2+b2)a2-b2,0.下面以一道例题和三道变式题来说明一下该结论.常考二级结论及其应用 16 23 已知椭圆x24+y23=1,直线l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.变式1 已知抛物线y2=2px(p 0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2 如图2-16所示,点O 为坐标原点,直线l在x 轴上的截距为a(a 0),且交抛物线y2=2px(p 0)于M(x1,y1),N(x
37、2,y2)两点,当a=2p 时,求 MON 的大小.图2-16变 式3 已知直线y=a交抛物线y=x2 于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得 ACB=90,则a的取值范围为.临门一脚(含密押三套卷)(理科版)17 结论二十AB 是过抛物线y2=2px(p 0)焦点F 的弦(焦点弦),过点A,B 分别作准线l:x=-p2的垂线,垂足分别为点 A1,B1,点E 为A1B1 的中点.(1)如图2-17所示,以 AB 为直径的圆与准线l相切于点E;(2)如图2-18所示,以 A1B1 为直径的圆与弦 AB 相切于点F,且EF2=A1ABB1;(3)如图2-19所示,以 AF 为直径的圆与y 轴相
38、切.图2-17 图2-18 图2-19证明:(1)如图2-17所示,由抛物线的定义知,AA1=AF,BB1=BF,设点P 为弦AB 的中点,则EP=AA1+BB12=AB2,故点E 在以AB 为直径的圆上.又EP AA1,所以EP A1B1,故准线与圆P相切,切点为E.(2)如图2-18所示,联结 A1F,B1F,由抛物线定义知,AA1=AF,所以 AA1F=AFA1.同理BB1F=BFB1.又因为AA1 BB1,所以 B1BF+A1AF=180,故2AFA1+2BFB1=180,即 B1FA1=90,亦即A1FB1F.因此点F在以A1B1 为直径的圆上,则EA1=EF=EB1,所以BFE=E
39、FB1+BFB1=EB1F+BB1F=90,即EFBF,所以EFAB,故以A1B1 为直径的圆与弦AB 相切于点F.结合本结论(1)可知,AE BE.又在 RtAEB 中,EF AB,所以 RtBEF RtEAF,即BFEF=EFAF,所以EF2=AFBF=AA1BB1.(3)如图2-19所示,设准线与x 轴的交点为F1,AF 的中点为P,过点P 作PQ y轴,垂足为点Q,延长PQ 交准线l于点P1,则由点P 为AF 的中点知,PP1=AA1+FF12=AA12+p2,即PQ=AA12=AF2,所以点Q 在以AF 为直径的圆上.又PQ y轴,所以以AF 为直径的圆与y轴相切,切点为Q.24 已
40、知抛物线C:y2=8x 与点 M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k的直线与C 交于A,B 两点,若MAMB=0,则k=().A.12B.22C.2D.2变式1 过抛物线y2=2px(p 0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N 两常考二级结论及其应用 18 点,自点 M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为点 M1,N1.当a=p2时,求证:AM1 AN1.结论二十一图2-20焦点三角形的面积:(1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a b0)中,F1,F2 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则 PF1F2 的面积SPF1F2=b2tan2,其中=F1PF2;(2
41、)在双曲 线x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)中,F1,F2 分 别 为 左、右 焦 点,P 为 双 曲 线 上 一 点,则PF1F2 的面积SPF1F2=b2tan2,其中=F1PF2.证明:(1)若 PF1F2 为一般三角形,如图2-20所示,则SPF1F2=12|PF1|PF2|sin(用 表示F1PF2).由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|(1+cos)=4c2,所以2|PF1|PF2|(1+cos)=4a2-4c2=4b2,
42、|PF1|PF2|=2b21+cos,所以SPF1F2=12|PF1|PF2|sin=b2sin1+cos=2b2sin2cos22cos22=b2tan2.(2)双曲线中的相关结论请同学们自己证明.25 如图2-21所示,F1,F2 是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2 的公共焦点,A,B 分别是C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则C2 的离心率是().A.2B.3C.32D.62 图2-21 临门一脚(含密押三套卷)(理科版)19 变式1 已知F1,F2 是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF1 PF2.
43、若 PF1F2 的面积为9,则b=.变式2 已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1,F2,点 M 在双曲线上且MF1MF2=0,则点 M 到x 轴的距离为().A.43B.53C.2 33D.3变式3 已知椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2m2-y2n2=1有相同的焦点F1和F2,它们的一个交点为 P,设F1PF2=2,求证:tan=nb.常考二级结论及其应用 第二篇 常考二级结论及其应用 1解析 由题意知,集合 A 为椭圆x24+y216=1上所有点的集合,集合 B 是指数函数y=3x 图像上所有点的集合.如图2-22所示,由图知集合 AB 中有2个元素,故 AB 的子集个数是22=4.
44、故选 A.图2-22例1 变式1解析 由题意知 A=1,2,B=1,2,3,4,因为 ACB,所以集合 C 是集合1,2与集合3,4的任意一个真子集的并集,即求集合3,4的真子集的个数,故集合C 的个数为22-1=3.故选 C.2解析 如图2-23所示,若 NIM=,则 NM,所以 M N=M.故选 A.图2-23例2 变式1解析 由题意知 A=1,5,若 AB=B,则BA.若B=,则a=0;若B,则1B或5B,即a-1=0或5a-1=0,解 得a=1 或a=15.故 集 合 C=0,1,15.故选 C.评注 求解本题要注意A.3解析 因为 AB=b,所以 UA()(UB)=U(AB)=a,c
45、,d.例3 变式1解析 因为 UA()(UB)=U(AB),即集合U(AB)中有n 个元素.又全集U 中有m个元素,所以 AB 中有m-n 个元素.故选 D.评注 本题若结合 Venn图求解会更快捷.例3 变式2解析(1)因为(pq)=(p)(q),即(pq):A0且B0.(2)因为(pq)=(p)(q),即(pq):A0或B0.评注(1)pq:A=0或B=0AB=0,(pq):AB0A0且B0.(2)pq:A=0且B=0A2+B2=0,(pq):A2+B20A0或B0.4解 析 f(x)=(x+1)(x-4)+tanxx2-4=1+tanx-3xx2-4,设g(x)=tanx-3xx2-4.
46、因为g(-x)=tan(-x)+3xx2-4=-g(x),即g(x)为定义域上的奇函数.所以g(x)max+g(x)min=0,故 M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.例4 变式1解析 令g(x)=ln1+9x2-3x(),xR,则g(-x)=ln 1+9x2+3x().因为g(x)+g(-x)=ln1+9x2-3x()+ln 1+9x2+3x()=ln(1+9x2-9x2)=ln1=0,所以g(x)是定义在 R 上的奇函数.又lg12=-lg2,所以g(lg2)+g lg12=0,f(lg2)+f lg12=g(lg2)+1+g lg12+
47、1=2.故选 D.例4 变式2解析 令g(x)=asinx+bx,xR,则g(-x)=asin(-x)-bx=-g(x),即g(x)是定义在 R上的奇函数.故g(-1)+g(1)=0,所以f(1)+f(-1)=160 临门一脚(含密押三套卷)(理科版)g(1)+c+g(-1)+c=2c.又cZ,所以f(1)+f(-1)=2c 为偶数,故一定不可能是1和2.故选 D.5解析 由题意知函数y=12ex 与y=ln(2x)互为反函数,其图像关于直线y=x 对称,如图2-24所示.两曲线上点之间的最小距离P0Q0恰好是y=x 与y=12ex 上点的最小距离的2倍,设y=12ex 上点P0(x0,y0)
48、处的切线与y=x平行,有12ex0=1,解得x0=ln2,y0=1,所以y=x 与y=12ex 上点的最小距离,即为点P0 到直线y=x 的距离,且为 22(1-ln2),故PQ的最小值为 22(1-ln2)2=2(1-ln2).故选 B.图2-24例5 变式1解析 因为2x+2x=5,所以x+2x-1=52.同理x+log2(x-1)=52,令t=x-1,则x=t+1,即t1 是t+2t=32的解,t2 是t+log2t=32的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图2-25所示,t1 为函数y=2t 与y=32-t图像交点P 的横坐标,t2 为函数y=log2t与y=32-t图像交点Q
49、的横坐标,所以P(t1,2t1),Q(t2,log2t2).因为函数y=2t与y=log2t互为反函数,所以点P,Q 关于直线y=x 轴对称,即t1=log2t2,t2=2t1,所 以 t1+t2=t1+2t1=t1+32-t1=32.所以x1+x2=t1+1+t2+1=32+2=72.故选 C.图2-25 6解析 因为f(5)=14,且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR),所以令y=5,则f(x)=f(x+5)+f(x-5)故f(x+5)=f(x+10)+f(x)由+得f(x+10)+f(x-5)=0,即f(x+10)=-f(x-5),得f(x+15)=-f(x),T=
50、30.因此f(2015)=f(5+3067)=f(5)=14.例6 变式1解析 当x0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2)同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1)+得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.于是f(2017)=f(1+6336)=f(1)=f(0)-f(-1)=log21-log22=0-1=-1.故选 A.例6 变式2解析 因为f x+32=-f(x),所以f(x+3)=-f x+32=f(x),T=3.161参考答案 则有f(1)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=
51、2,于是f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(2016)+f(2017)=f(1)+f(2)+f(3)+f(2014)+f(2015)+f(2016)+f(2017)=672f(1)+f(2)+f(3)+f(2017)=f(1+3672)=f(1)=f(-2)=-1.故选 B.7解析 假设f(x0)=t,则ff(x0)=f(t)=x0.当x0t 时,由条件(3)可推出函数f(x)在0,1上 非 减,所 以 f(x0)f(t),即tx0,与x0t矛盾,故当x0t时不成立.同理,当x0t时,有f(x0)f(t),即tx0,与x00恒成立,所以g(x)在定义域上为增函数,幂函
52、数y=t=t12 在0,+)上也为单调增函数,由 复 合 函 数 的 单 调 性 可 知 f(x)=ex+x-a在定义域上为增函数.若曲线y=sinx 上存在点(x0,y0)使得ff(y0)=y0 成立,即存在y0-1,1使得ff(y0)=y0成立,由结论六知,方程f(x)=x 在-1,1上有解,即x-1,1,使得 ex+x-a=x,亦即a=ex+x-x2 在0,1上有解.令h(x)=ex+x-x2,x0,1,h(x)=ex+1-2x.当x0,1时,h(x)0恒成立,故h(x)在0,1上单调递增,所以h(x)h(0),h(1)=1,e,即a1,e.故选 A.例7 变式2解析 令t=g(x)=x
53、2-ax+1,则y=f(t)=logat.当0a1时,抛物线t=g(x)在 a2,+上为增函数,y=f(t)在(0,+)上为增函数,若复合函数y=loga(x2-ax+1)在(1,2)上为增函数,则需g(x)在(1,2)上单调递增,且g(1)0,即a212-a0a1,解得10,xR)有关.结合如图2-27所示 图形可知,抛物线y=f(x)的对称轴为x=ba,在-,ba 上单调递减,在ba,+上单调递增.若x0=ba,则xR,都有f(x)f(x0),即12ax2-bx12ax20-bx0.反之,若xR,12ax2-bx12ax20-bx0 恒成立,则f(x0)为f(x)的最小值,即x0=ba.故
54、选C.162 临门一脚(含密押三套卷)(理科版)图2-27例8 变式1解析 因 为 f(x)的 图 像 关 于 直 线 x=-2 对称,且f(1)=f(-1)=0,即x1=-1,x2=1是函数f(x)的两个零点,所以方程x2+ax+b=0也有两解,分别为x3=-3,x4=-5.则f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)=-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5).令t=x2+4x,t-4,+),y=-(t+3)(t-5)=-(t2-2t-15)=-(t-1)2+16.所以当t=1,即x2+4x=1时,f(x)有最大值16.例8 变式2解析 依题意f(x)
55、=(x-x1)(x-x2),minf(m),f(m+1)f(m)f(m+1).令x1-m=x,x2-m=y,则有0 xy1,f(m)=(m-x1)(m-x2)=xy,f(m+1)=(m+1-x1)(m+1-x2)=(1-x)(1-y),所以f(m)f(m+1)=xy(1-x)(1-y)x+1-x22 y+1-y22=142,故 minf(m),f(m+1)f(m)f(m+1)14.故选 A.例8 变式3解析 依 题 意,设 h(x)=(x-)(x-),maxh(n),h(n+1)h(n)h(n+1).令-n=x,-n=y,则有0 xy1,h(n)=(n-)(n-)=xy,h(n+1)=(n+1
56、-)(n+1-)=(1-x)(1-y),显然,h(n),h(n+1)都小于1,所以maxh(n),h(n+1)0ln(x+1)-x0,即xx-1且x0,所以排除选项 D;令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)x 知,g(x)0恒成立,故f(x)=1g(x)-1时,f(x)xx+1x-1,1-e-x xx+11-xx+1e-x(x-1)1x+11ex(x-1)x+1ex(x-1).由经典不等式exx+1(xR)恒成立可知,x-1时,exx+1,即x-1时,f(x)xx+1.10解析 依题意,易知函数y=f(x)的最小正周期为T=21112-712=23,所以f(0)=f 2
57、3.因为函数y=f(x)的图像关于点712,0 中心对称.又23+22=712,所以f 23=-f 2=23,所以f(0)=23.故选 B.例10 变式1解析 由题意知f(x)与g(x)的最小正周期均为.其中f(x)图像上的点A,B 平移后对应g(x)图像上的C,D 两点.又 A,B 两点关于直线x=4对称,所以xB+xA2=4,解得xB=38.163参考答案 又xD=1724,所以=1724-38=17-924=3.例10 变式2解析 记f(x)的最小周期为T,因为f(x)在区间 6,2 上具有单调性,所以T22-6=3,即T23.又f 2=f 23=-f 6,且23-2=6T,可作出函数f
58、(x)的示意图如图2-28所示(一种情况):所以x1=2+6 12=3,x2=2+23 12=712,于是T4=x2-x1=712-3=4,故T=.xyO1x2232x6图2-28评注 f 2=-f 6,且在同一单调区间内,故相应两 点 6,f 6,2,f 2 关 于 点(x1,0)中 心 对 称,f 2=f 23,且 在 同 一周期内,故相应两点关于直线x=x2 轴对称.11解析 如图2-29所示,在ABC 中,因为BD=2DC,所以BDDC,且BD=2DC,即点D 为线段BC 的三等分点.故AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23 AC-AB()=13AB+23AC=13c+23b.故
59、选 A.图2-29评注 在平面OAB 内,向量OA与OB不共线,若点P 为平面内任意一点,且OP=OA+OB,R.如图2-30所示,点 P0 为线段 AB 的中点,则有以下相关结论:(1)若点P 在线段AP0 上(不含端点),则0121,且+=1.(2)若点P 在线段BP0 上(不含端点),则0121,0,且+=1.(4)若点P 在AB 的延长线上,则1,且+=1.(5)若点P 在OAB 内部(不含边界),则01,01,且0+12.总之,若 点 P 与 点O 在 直 线 AB 同 侧,且OP=OA+OB,则+1;若点P 在直线AB 上,且OP=OA+OB,则+=1,且点P 与A,B 两点间的距
60、离大小与OA,OB的系数(即,)的大小相反.图2-30例11 变式1解析 由于x2OA+xOB+BC=0,即x2OA+xOB+OC-OB=0,所以OC=-x2OA-xOB+OB=-x2OA+(1-x)OB.因为 A,B,C 三点共线,所以-x2+(1-x)=1,解得x=0或-1.当x=0时,x2OA+xOB+BC=0,即BC=0不合题意,所以x=-1.故选 C.164 临门一脚(含密押三套卷)(理科版)例11 变式2解析 如图2-31所示,设OA=a,OB=b,因为单位向量a,b 的夹角为60,所以OAB 为等边三角形.又c=ta+(1-t)b,设OC=c,则A,B,C 三点共线.又bc=0,
61、所以过点 O 作OB的垂线与BA 的延长线交于点C,易知AC=AB,即点A 为BC 的中点,所以c=a+AC=a+BA=a+(OA-OB)=2a-b.故t=2.图2-3112解析 如图2-32所示,因为点M 为BC 的中点,所以ABAC=AM2-MC2=9-25=-16.图2-32例12 变式1解析 如图2-33所示,取BC 中点为点Q,则P0BP0C=P0Q2-QC2.同理,边AB 上任作一点P,有PBPC=PQ2-QC2.因 为PBPCP0BP0C,所以PQ2-QC2P0Q2-QC2,即PQ2P0Q2 恒成立,亦即 PQ P0Q,所 以P0Q AB,当 点P 为AB 中点时,则PCAB,即
62、ABC 为等腰三角形,且CA=CB.故选 D.图2-33 例12 变式2解析 如 图 2-34 所 示,在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中,设 AC1 的中点为点 Q,则PAPC1=PQ2-QA2.因为 正 方 体 棱 长 为 1,所 以 中 心 Q 与 底 面A1B1C1D1 内任一点连线的线 段 PQ 的 长 度取值范围为 12,32,且 QA=32,所以PAPC1=PQ2-34-12,0.故选D.图2-34例12 变式3解析 PAPB=(PM+MA)(PM+MB)=(PM+MA)(PM-MA)=PM2-MA2=PM2-1,同理PCPD=PN2-1,则PAPB+PCPD=PM2+
63、PN2-2=(PM+PN)2-2PMPN-2=(2a)2-2-2PMPN=14-2PMPN.又PMPN PM+PN22=a2=4,当且仅当PM=PN时等号成立.故PAPB+PCPD14-24=6.故填6.13解析 如图2-35 所示,因为AB1AB2,AP=AB1+AB2,所以四边形 AB1PB2 为矩形.又因为 OB1=OB2=1,所以OA2+OP2=OB12+OB22=2.所以OA2=2-OP2.又因为 OP 0,b1,解得r=-1.解法二:数列an为等比数列,q1时,Sn=-qn(=a11-q),所以Sn=r+bn=(-1)+1bn,故r=-1.评注 若本题为填空题或选择题,由q1的等比
64、数列 前n 项 和 公 式 Sn=a1(1-qn)1-q=a11-q-a11-qqn=kqn-k 的形式知r=-1(即qn 的系数与常数项互为相反数),需灵活掌握公式变形应用.例17 变式1解析 因为Sn=t5n-2-15=t255n-15.又an为等比数列,所以t25-15=0,解得t=5.故选 B.例17 变式2分析 由题意知f(n)为等比数列求和问题,其中a1=3,q=333=32n+932n+7=9,末项为32n+9,但项数不易确定,故使用Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q计算更为迅捷.解析 由Sn=a1-anq1-q,知f(n)=3-32n+991-9=38(32n+9
65、3-1)=38(9n+5-1).18解析 由已知S6S3=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3,S9-S6 也为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简得S9=7S3,从而S9S6=7S33S3=73.故选 B.评注 本题利用S3,S6-S3,S9-S6 仍为等比数列,以S3 为基本量,设而不求体现了整体思想,故可令S3=1,则S6=3,从而S6-S3=2,S9-S6=4,所以S9=7,故S9S6=73.如此求解更为简捷.例18 变式1解析 由结 论 十 五(2)知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,故(S4-S2)2=S2(S6
66、-S4),得 S6-S4=(S4-S2)2S2=(15-3)23=48,故S6=48+S4=63.故选 C.例18 变式2解析 由结论十五(1)知,S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,不妨设S4=k,则S8=3k,故k,2k,S12-S8,S16-S12成 等 差 数 列,所以S12-S8=3k,S16-S12=4k,可得S12=6k,S16=10k,所以S8S16=3k10k=310.故选 A.19解析 解法一:因为点P(3,1)在圆C:(x-1)2+y2=1外,所以直线AB 的方程为(3-1)(x-1)+y=1,即2x+y-3=0.故选 A.解法二:如图2-37所示,
67、设P(3,1),圆心C(1,0),切点分别为 A,B.由题意可知 A(1,1),kPC=12.又 ABPC,所以kAB=-2.故直线 AB 的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.故选 A.O(1,0)CxyBA3(3,1)P图2-37例19 变式1解析 依题意,点 M(a,b)在圆O:x2+y2=1167参考答案 外,则a2+b21.圆心O(0,0)到直线l:ax+by=1的距离d=1a2+b2 0,即 m24k2+3,且x1+x2=-8km4k2+3x1x2=4m2-124k2+3因为以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点(2,0),设P(2,0),则 PAPB,所以PAPB=0,得
68、(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,亦即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0,整理得(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0把式代入式 化简得 7m2+16km+4k2=0,得 m=-2k 或m=-2k7.(1)当 m=-2k 时,直线l:y=kx-2k 过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;(2)当 m=-2k7 时,直线l:y=kx-2k7 过定点27,0,且满足 m20,pt2+2m0,y1+y2=2pty1y2=-2pm因为以 AB 为直径的圆过顶点O(0,0),所以OAOB=0,即
69、x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,整理得(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=0,把式代入上式化简得 m(m-2p)=0,169参考答案 解得 m=0或 m=2p.(1)当 m=0时,x=ty,lAB 过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;(2)当m=2p 时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB 过定点(2p,0),此时 m=2p 满足pt2+2m0.综上所述,lAB 过定点(2p,0).评注(1)巧设直线方程:x=ty+m,对于焦点在x 轴上的抛物线消x 后计算得到简化;(2)当求得 m 有两值时必须讨论,并检验0是否成立;(3
70、)一般地,曲线过定点只需把曲线方程变为f1(x,y)+f2(x,y)=0,为参数.由 f1(x,y)=0f2(x,y)=0,即得定点.此过程称为“参变分离,系常为零”.例如,直线x=ty+2p 中令参数t的系数y 为0,可解得x=2p,y=0,故直线x=ty+2p 过定点(2p,0).同理,直线y=kx+1必过定点(0,1),故关于直线l:x=ty+m 过定点问题有以下重要结论:若m 为常数b,则直线l必过定点(b,0).如本题中x=ty+2p,则直线l必过定点(2p,0);若 m=nt(其中n 为常数),则直线l 必过定点(0,-n).如x=ty+3t=t(y+3),则直线l必过定点(0,-
71、3);若 m=nt+b(其中n,b 为常数),则直线l必过定点(b,-n).如x=ty-3t+2,即x=t(y-3)+2,则直线l必过定点(2,3).例23 变式2分 析 用 向 量 法 的 夹 角 公 式 cosMON=OMONOMON 求角.解析 由题意知l的斜率不为0(否则l与抛物线交于一点),故可设l:x=ty+a,联立方程组 y2=2pxx=ty+a,消x 得,y2-2pty-2pa=0,从而=(-2pt)2+4(2pa)=4p(pt2+2a)0成立(a,p0).且有y1+y2=2pty1y2=-2paOMON=x1x2+y1y2=(ty1+a)(ty2+a)+y1y2=(t2+1)
72、y1y2+at(y1+y2)+a2.把式代入化简得,OMON=(t2+1)(-2pa)+at(2pt)+a2=a2-2pa,所以当a=2p 时,OMON=0.从而OMON,即MON=90.评注 本题证明了结论十九(3)的逆命题成立,即直 线 MN 过 定 点(a,0),若 a=2p,则MON=90;同 理 可 证:当 a 2p 时,MON 为锐角;当0a2p 时,MON 为钝角.例23 变式3解析 由结论十九(3)的逆命题成立可知,当a=1时,AOB=90;同 理 可 证,当 0a90;当a1 时,AOB 为锐角.故若该抛物线上存在点C,使得ACB=90,则a 的取值范围为1,+).评注 当A
73、OB 为锐角或直角时,才存在点 C满足题意.24解析 如图2-40所示,因为MAMB=0,所以MAMB,故点 M 在以AB 为直径的圆上.又准线 为 x=-2,直 线 AB 经 过 焦 点F(2,0),由 结 论 二 十(2)知 MF AB,又 kMF=2-2-2=-12,所以kAB=2.故选 D.图2-40例24 变式1解析 证法一:如图2-41所示,当a=p2时,点A p2,0 为抛物线的焦点,l为其准线x=-p2,由抛物线定义得MA=MM1,NA=NN1,所以MAM1=MM1A,NAN1=NN1A.因为 MM1NN1,所以M1MA+N1NA=170 临门一脚(含密押三套卷)(理科版),所
74、 以 MM1A+MAM1+NN1A+NAN1=180,则MAM1+NAN1=90,即M1AN1=90,故AM1AN1.图2-41证法二:依题意,可设直线 MN 的方程为x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有 M1(-a,y1),N1(-a,y2).由 x=my+ay2=2px,消去x,可得y2-2mpy-2ap=0,故 y1+y2=2mpy1y2=-2ap当a=p2时,点A p2,0 为抛物线的焦点,l为其准线x=-p2,此时M1-p2,y1,N1-p2,y2.由式可得y1y2=-p2.因为AM1=(-p,y1),AN1=(-p,y2),所以AM1AN1=p2+y1y2=0,即
75、AM1AN1.证法三:因为kAM1=-y1p,kAN1=-y2p,由证法二知,y1y2=-p2,所以kAM1kAN1=-1,即 AM1AN1.25解析 设双曲线C2 的方程为x2a22-y2b22=1,则有a22+b22=c22=c21=4-1=3.又四边形AF1BF2 为矩形,所以焦点AF1F2 的面积为b21tan45=b22tan45,即b22=b21=1.所以a22=c22-b22=3-1=2.故双曲线的离心率=c2a2=c22a22=32=62.故选 D.例25 变式1解析 在焦点PF1F2 中,PF1PF2,故SPF1F2=12PF1PF2.又PF12+PF22=F1F22,PF1
76、+PF2=2a,则(PF1+PF2)2-2PF1PF2=F1F22,即4a2-2PF1PF2=4c2,所以PF1PF2=2b2,则SPF1F2=b2=9,故b=3.评注 本题F1PF2=90,由结论二十一(1)知SPF1F2=b2tan45=b2=9,易得b=3.例25 变式2解析 设 点 M 到x 轴 的 距 离 为h.由MF1 MF2=0可知F1MF2=90.由双曲线的方程可得a2=1,b2=2,则c2=3,即F1F2=2 3.由 结 论 二 十 一(2)得,SF1F2M=2tan902=2.又SF1F2M=12F1F2h,所以 3h=2,得h=2 33.故选 C.例25 变式3解析 证明:点 P 在椭圆x2a2+y2b2=1上,又在双曲线x2m2-y2n2=1上,由结论二十一(1)得,SF1PF2=b2tan,由结论二十一(2)得,SF1PF2=n2tan,则b2tan=n2tan.所以tan2=n2b2.因为02180,所以090,故tan=nb.171参考答案
