1、高二年级第二学期期中考试数学试题一（理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 设复数z满足zi12i(i为虚数单位)，则z的模为 2. 在平面上，若两个正方形的边长的比为12，则它们的面积比为14；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为12，则它们的体积比为 183. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 种124. “因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以函数yx是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 错误导致结论错大前
2、提错5. 用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开的式子是 (k3)36. 设a、b、c均为正实数,则下列关于三个数a、b、c的结论，正确的序号是 都大于2; 都小于2; 至少有一个不大于2; 至少有一个不小于2.7. 如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于 8. 如果函数f(x)在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x1，x2，xn，有f成立已知函数ysin x在区间上是“凸函数”，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是 9. “海山联合2012”中俄联合军演在中国青岛海
3、域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 种18010. 若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为 811. 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 (用数字作答)2012. 已知复数z1满足 (z12)(1i)1i(i为虚数单位)，
4、复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2 42i13. 设函数f(x)(x0)，观察： f1(x)f(x)， f2(x)f(f1(x)， f3(x)f(f2(x)， f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x) 14. 数字1,2,3，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有 种12二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本题满分14分）为了响应学校“学科文化节”活
5、动，数学组举办了一场数学知识竞赛，共分为甲、乙两组其中甲组得满分的有个女生和个男生，乙组得满分的有个女生和个男生现从得满分的学生中，每组各任选个学生，作为数学组的活动代言人（1）求选出的个学生中恰有个女生的概率；（2）设为选出的个学生中女生的人数，求的分布列和数学期望试题分析：（1） 从甲乙两组中各选出两名学生的基本事件的总数为，恰有一名女生的基本事件的总数为，可求概率；（2）可能的取值为0,1,2,3，分别计算其相应的概率，可得概率分布列和期望.试题解析：解:（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学;从乙组内选出的2个同学中,1个是男同学,1个为女同学”为事件,“从乙组内选出的2个同学均为
6、男同学;从甲组内选出的2个同学中1个是男同学,1个为女同学”为事件,由于事件互斥, 且-4分选出的4个同学中恰有1个女生的概率为: （2）可能的取值为0,1,2,3, 的分布列为0123P的数学期望16.（本题满分14分）已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，3分当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，5分当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的
7、系数为C7273 432. 7分(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)10分设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，12分9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11， T11C2210x1016896x10. 14分17. （本题满分15分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。解：(1)证明：在三角形ABD中，因
8、为该三角形为直角三角形，所以, 取得，于是，因此二面角的余弦值是。18. （本题满分15分）源:（）学&科&网Z为迎接2015年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动抽奖盒中装有大小相同的个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取次已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为（1）求盒中印有 “兰州马拉松”标志的小球个数； （2）用表示某位嘉宾抽奖的次数，求的分布列和期望试题解析：（
9、1）设印有“绿色金城行”的球有个，同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件，则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是 由对立事件的概率: = 即，解得 7分（2）由已知，两种球各三个，可能取值分别为， ， （或）则 的分布列为：所以 8分19.（本题满分16分）如图，在四棱锥中，,四边形是菱形，且交于点，是上任意一点（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值（1）因为平面，所以， 1分因为四边形为菱形，所以 2分又因为 6分（2）解法1: 连接在中，所以分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，xyz设则， 9分由（1）知，平面的一个法向量为
10、（1,0,0）， 设平面的一个法向量为，则得，令，得 8分因为二面角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以 13分设与平面所成的角为因为，所以与平面所成角的正弦值为 16分20. （本题满分16分）所已知数列前项和且，（1）试求（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明猜想.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】试题分析：（1）当时，由将代入得到，再令分别带入中求得的值；（2）根据（1）中求得数列中，猜想：，用数学归纳法证明：第一步：先证当时命题成立；第二步：假设时命题成立，再证明当时命题也成立，结合以上可证明命题成立即猜想正确.试题解析：函数 (2) 猜想证明如下：当命题成立假设当时命题成立，即当时整理得:,所以当时命题也成立综上，.
