1、第8讲空间向量的应用(二) 空间角及其计算A级训练(完成时间：10分钟)1.已知二面角l的大小为60，m、n为异面直线，且m，n，则m、n所成的角是()A30 B60C90 D1202.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.3.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为()A. B.C. D.4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，那么直线BA1与CC1所成角的大小为45；直线BA1与B1C所成角的大小为60.5.三棱锥PABC中，ABC90，PA平面ABC，
2、且CPB30，则PCB60.6.如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点(1)求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；(2)求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值B级训练(完成时间：29分钟)1.限时2分钟，达标是()否()如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0,2,1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90 B60C45 D302.限时2分钟，达标是()否()若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()A. B.C. D.3.限时2分钟，达标是()否()如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD
3、平面ABCD，PDAD，则PA与BD所成角的度数为()A30 B45C60 D904.限时3分钟，达标是()否()如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P是底面A1B1C1D1的中心，M是CD的中点，则P到平面AMD1的距离为_5.限时6分钟，达标是()否()如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D为AB的中点(1)求证ACBC1；(2)求证AC1平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值限时8分钟，达标是()否()(2013辽宁)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB
4、2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值7.限时8分钟，达标是()否()(2014辽宁)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值C级训练(完成时间：15分钟)1.限时7分钟，达标是()否()(2014福建)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值限时8分钟，达标是()否()(2014广东)如图，四边形ABCD为正方形，PD平
5、面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值第8讲空间向量的应用(二)空间角及其计算【A级训练】1B解析：因为m，n，且m，n是异面直线，所以它们所成的角与二面角l的大小相等2D解析：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即O1OD1，cosO1OD1.3C解析：令AB1，则AA12，连A1B，因为C1DA1B，异面直线BE与CD1所成的角即A1B与BE所成的角，在A1BE中由余弦定理易得cosA1BE，故选C.44560560解析：三棱锥PABC中，因为A
6、BC90，PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCAB，BCPA，因为PAABA，所以BC平面PAB.因为PB平面PAB，所以PBC90，因为CPB30，所以PCB60.6解析：(1)建立坐标系，以D为原点，DA为x轴建立坐标系，A(1,0,0)，E(，0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，F(1，1)，(，0,1)，(0，1)，cos ，异面直线AE和BF所成的角的余弦值是；(2)连接AC，BD，两者相交于点M，则平面BDD1的一个法向量为(，0)，设平面BFC1的法向量为n(x，y，z)，所以，取z1得平面BFC1的一个法向量n(1,2,1)，cos，n，所以所求的余弦值为.【B
7、级训练】1D解析：cos，因此a与b的夹角为30.2B解析：以正三棱锥OABC的顶点O为原点，OA、OB、OC为x、y、z轴建系(图略)设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，侧面OAB的法向量为(0,0,1)，底面ABC的法向量为n(，)，所以cos，n.3C解析：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间直角坐标系，因为点P在正方形ABCD所在平面外，PD平面ABCD，PDAD，令PDAD1，所以A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，D(0,0,0)所以(1,0，1)，(1，1,0)，所以cos，故两
8、向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60.4.解析：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P是底面A1B1C1D1的中心，M是CD的中点，所以A(2,0,0)，M(0,1,0)，D1(0,0,2)，P(1,1,2)，所以(2,1,0)，(2,0,2)，(1,1,2)，设平面AMD1的法向量n(x，y，z)，则，取x1，得n(1,2,1)，所以P到平面AMD1的距离d.5解法1：(1)直三棱柱ABCA1B1C1的底面三边长AC3，BC4，AB5，所以ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，所
9、以ACBC1；(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，因为D是AB的中点，E是BC1的中点，所以DEAC1，因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1；(3)因为DEAC1，所以CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，EDAC1，CDAB，CECB12，所以cos CED，所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.解法2：(1)因为直三棱锥ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，所以AC，BC，CC1两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)因为(3,0,0)
10、，(0，4,4)，所以0，所以.即ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，则E(0,2,2)，因为(，0,2)，(3,0,4)，所以，所以.因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1.(3)因为(3,0,4)，(0,4,4)，所以cos ，所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.6解析：(1)证明：如图，由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面APC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC.(2)过C作CMAB于M，因为PA平面ABC，CM平面ABC，所以PACM
11、，故CM平面PAB.过M作MNPB于N，连接NC.由三垂线定理得CNPB，所以CNM为二面角CPBA的平面角在RtABC中，由AB2，AC1，得BC，CM，BM，在RtABP中，由AB2，AP1，得PB，因为RtBNMRtBAP，所以，故MN，又在RtCNM中，CN，故cosCNM，所以二面角CPBA的余弦值为.图(1)7解析：方法一：(1)证明如图(1)，过E作EOBC，垂足为O，连接OF.由题意得ABCDBC，可证出EOCFOC.所以EOCFOC，即FOBC，EOBC， 又EOFOO，因此BC平面EFO.又EF平面EFO，所以EFBC.(2)如图(1)，过O作OGBF，垂足为G，连接EG.
12、由平面ABC平面BDC，从而EO平面BDC.又OGBF，由三垂线定理知EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角在EOC中，EOECBCcos 30，由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2，从而sinEGO，即二面角EBFC的正弦值为.图(2)方法二：(1)由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)，因而E0，F，0，所以，0，(0,2,0)，因此0.从而，所以EFBC.(2)如图(2)，平面B
13、FC的一个法向量为n1(0,0,1)设平面BEF的法向量为n2(x，y，z)，又，0，0，由得其中一个n2(1，1)设二面角EBFC的大小为，且由题意知为锐角，则cos |cosn1，n2|.因此sin ，即所求二面角的正弦值为.【C级训练】1解析：(1)证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，所以AB平面BCD.又CD平面BCD，所以ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，所以ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得
14、B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，)，则(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1,1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin |cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.2解析：(1)证明：因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又CDAD，PDCDD，所以AD平面PCD.又PC平面PCD，所以ADPC.又AFPC，ADAFA，所以PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)设AB1，则在RtPDC中，CD1，又DPC30，所以PC2，PD，PCD60.由(1)知CFDF，所以DFCDsin60，CFCDcos60.又FECD，所以，所以DE.同理EFCD.如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，E(，0,0)，F(，0)，P(，0,0)，C(0,1,0)设m(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则又(，0，1)，(0，0)，所以 .令x4，则z，m(4,0，)由(1)知平面ADF的一个法向量为(，1,0)，设二面角DAFE的平面角为，可知为锐角，故cos |cosm，|.故二面角DAFE的余弦值为.