1、1 学好复数三体会复数系是高中阶段对原有的实数系的一次大扩充，为了帮助同学们更好地把握复数的概念、复数的运算及其几何意义，现从以下三方面加以总结1一个核心复数问题实数化是解决复数问题的基本原则，即最终都统一到 abi(a，bR)这一代数形式上来2三个热点(1)注意扩充后的实数系与其他数系的联系正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集之间用集合关系可表示为N*NZQRC，且还有 R虚数C，R虚数，Q无理数R，Q无理数.(2)注意复数相等的条件复数 zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要方法，注意前提条件是 a，b，c，dR.若忽
2、略这一条件，则不能成立(3)注意复数的几何应用复数 zabi(a，bR)与平面上的点 Z(a，b)形成一一对应关系，从而与向量OZ一一对应(其中 O 为原点)；在解决有关复数问题时，可以利用复数加减的几何意义和向量的几何表示在复平面上结合图形进行解决3四个策略(1)复数相等策略：主要用于解复数方程，一般都是求其中的实系数(参数)值，在应用时，首先要看参数是否为实数(2)分母实数化策略：在进行复数除法或解答与复数商有关的问题时，一般采用此策略，通过分母实数化，把求商的值或商形式的复数的实部和虚部分离开来，复数分式的分母实数化类似于无理分式的分母有理化(3)点、向量策略：复数与复平面内的点一一对应
3、，复数的实部和虚部分别是点的横、纵坐标，因此，我们可通过复数的实部和虚部的符号来判定复数对应的点所在的象限我们又可以把复数视为向量，利用它们的几何意义和向量知识解答问题，利用这个策略可化数为形，从而使待解问题直观化(4)整体策略：要学会从整体出发去分析问题如果遇到复数就设 zabi(a，bR)，有时会给问题的解答带来运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍.2 化虚为实复数相等的妙用在汉语中，两个或两个以上才有“复”的内涵，这样我们才有理由称由实数确定的含虚数单位 i 的数 zabi(a，bR)为复数那么复数集 C 的理论体系与实数集 R 的理论体系之间存在着
4、怎样的联系和差异呢？1对于复数 zabi(a，bR)，如果 b0，则 z 就是我们过去熟知的实数因此，学习复数，后续理论的一个基本点是“b0”2解决复数问题的一条主线是化虚为实其实质就是复数相等的充要条件，即实部与虚部分别相等利用复数相等的充要条件可以解决求根、求模及求参数等问题，现精选几个典例，供大家赏析1求参数例 1 已知 x，yR，x22x(2yx)i3x(y1)i，求复数 zxyi.解 由复数相等的充要条件，得x22x3x，2yxy1.解得x0，y1，或x1，y0.所以 zi 或 z1.点评 复数相等的充要条件是复数实数化的桥梁，是解复数问题的重要手段2求模例 2 若复数 z 满足 z
5、12i|z|，求|z|.解 设 zabi(a，bR)，则由题意得，abi12i a2b2，即(a1)bi a2b22i，由复数相等的充要条件得，a1 a2b2，b2，解得a32，b2，所以 z322i，所以|z|52.3求方程的根例 3 已知关于 x 的方程 x2(k2i)x2ki0 有实数根，求实数根 x0 及 k 的值分析 设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解解 x0 是方程的实数根，代入方程并整理得(x20kx02)(2x0k)i0.由复数相等的充要条件得x20kx020，2x0k0，解得x0 2，k2 2或x0 2，k2 2.所以 x0 的值为 2，相应的
6、k 的值为2 2.易错警示 求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以(k2i)24(2ki)0，解得 k2 3或 k2 3.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.3 复数有了“形”才完美因为有了复平面，使得复数与复平面内点的坐标、平面向量三者之间有了一一对应关系，复数的有关问题借助平面向量或几何意义能使问题的解决更加快捷和直观下面用实例来说明1复数与点的坐标例 1 若 i 为虚数单位，图中复数平面内的点 Z 表示复数 z，则表示复数 z(1i)的点是_解析 因为点 Z 的坐标为(2，1)，所以 z2i.所以 z(1i)(2i)(1i)3i，即该复数对应
7、的点的坐标为(3,1)答案 H点评 本题主要考查复数的几何意义，体现了数形结合的思想复数的几何表示：复数 zabi(a，bR)与复平面内的点 Z(a，b)是一一对应的，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应这种以点的坐标形式给出复数的题目打破了原来的出题方式，给人耳目一新的感觉2复数与平面向量例 2 设复数 z1，z2 满足|z1|z2|4，|z1z2|4 3，求|z1z2|.分析 设复数 z1 和 z2 在复平面内表示向量OA 与OB，则复数 z1z2 表示向量OA 与OB 的和，画出复数所对应的向量，用余弦定理可求解解 复数 z1 和 z2 在复平面内表示向量OA 与OB，画出如图
8、所示的平行四边形，依题意，有|OA|4，|OB|4，|OC|4 3.cosOBC42424 3224412.因为AOBOBC180，所以 cosAOB12.所以 AB24242244cosAOB16，得 AB4，即|z1z2|4.点评 解决此类问题是要根据已知条件画出图形，通过图形得到数量关系，由复数与向量的一一对应关系，把复数问题转化为向量问题3复数方程的几何意义例 3 已知复数 zxyi(x，yR)，且|z2|3，求yx的最大值与最小值分析 利用复数的几何意义可知，|z2|3的轨迹为一个圆，yx就是圆上的点与原点连线的斜率解 复数 z 在复平面上对应的点 Z(x，y)在以 C(2,0)为圆
9、心、3为半径的圆上，而yx的几何意义是点 Z(x，y)与原点连线的斜率，当连线与圆 C 相切时，连线的斜率分别取到最大值 3，最小值 3.点评|z(abi)|r 的几何意义为复平面上以点 C(a，b)为圆心，r 为半径的圆，清楚常见的轨迹方程的复数形式，就不用再转化为普通方程了.4 复数四则巧运算对于复数的运算问题，若能总结其变化规律，掌握解答复数题的方法和技巧，定能快速、简捷地解题现举例说明1灵活运用一些结论利用结论：i21，i41，(1i)22i，12 32 i 31，可以使一些复数问题得到简捷、快速的解决例 1 计算：(22i3i)7(22i1 3i)7.分析 本题考查复数的运算法则，运
10、用 1ii(1i)，1 3ii(3i)对式子进行化简解 原式2i1i3i721ii 3i72i1i3i72i1i3i7222i3i721i 3i272(1i)23(1i)(i)712 32 i 72(8i)(1i)i1 3i288 3(88 3)i.点评 先化为同类项，再凑成12 32 i n 形式注意12 32 i 31 的应用2挖掘隐含条件所谓隐含条件，就是隐藏在题目之中但又没有明确说明的条件挖掘出这些隐含条件，往往能使解题变得事半功倍例 2 计算：26i62i.分析 本题直接运用复数除法运算，比较繁琐，注意到分子、分母中实部和虚部的关系，可将分子、分母同乘以 i 来处理解 26i62i2
11、6ii62ii26ii6i2 i.3差异分析通过分析条件和结论之间的差异，促使两者向统一的方向发展，往往能使问题简捷获解例 3 已知 z71(zC，且 z1)，求 1zz2z3z4z5z6 的值分析 整体思考 1zz2z3z4z5z6，乘以 z 即可解决问题解 因为 z(1zz2z3z4z5z6)zz2z3z4z5z6z71zz2z3z4z5z6，所以 z(1zz2z3z4z5z6)(1zz2z3z4z5z6)0.所以(z1)(1zz2z3z4z5z6)0.又 z1，所以 1zz2z3z4z5z60.5 精析复数中的易错点1对概念理解不清致误例 1 给出下列命题：(1)若(a21)(a23a2
12、)i(aR)是纯虚数，则实数 a1；(2)1i2 是虚数；(3)在复平面中，实轴上的点均表示实数，虚轴上的点均表示纯虚数其中真命题的个数为()A0B1C2D3错解(1)若(a21)(a23a2)i(aR)是纯虚数，则 a210，解得 a1，故正确；(2)因为 1i2 中含有 i，所以正确；(3)虚轴上所有点的横坐标都为 0，故正确所以选 D.错因分析 1对复数 zabia，bR为纯虚数的条件a0，b0把握不准；2复数未化简到最简形式就判断类型；3未注意原点在虚轴上.正解(1)若(a21)(a23a2)i(aR)是纯虚数，则 a210 且 a23a20，解得 a1，所以错误；(2)1i2110
13、是实数，所以错误；(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为 0，所以错误故答案为 A.点评 将复数化为标准代数形式，并正确理解复数是实数、虚数和纯虚数的条件，以及复数的几何意义是避免此类错误的关键2忽视题中的隐含条件致误例 2 m 取何值时，复数 zm24m5m7(m26m7)i(mR)是实数？错解 要使 z 为实数，需 m26m70，解得 m1 或 m7，即 m1 或 m7 时，z是实数错因分析 未注意分式m24m5m7的分母中含有参数m.正解 要使 z 为实数，需m26m70，m70，解得 m1.即 m1 时，z 是实数点评 研究一个复数在什么情况下是实数、虚数时，要注意复数
14、的实部、虚部有意义这一隐含条件3忽视复数相等的前提条件致误例 3 已知 xC，x24x3(x1)i0，求 x.错解 由复数相等的定义，得x24x30，x10，解得 x1.错因分析 未注意 xC，误把 x24x3(x1)i 看成 abi(a，bR)的标准形式，错用复数相等的前提条件正解 原方程可化为(x1)(x3)(x1)i0，即(x1)(x3i)0，故 x10 或 x3i0，解得 x1 或 x3i.点评 复数相等的充要条件的用途非常广泛，是复数问题实数化的主要途径，但应用其解题时，需审清题意，注意复数相等的前提条件，并将复数化为标准代数形式4忽视复数不一定能比较大小致误例 4 求使不等式 m2
15、(m23m)i10(m24m3)i 成立的实数 m 满足的条件错解 由m210，m23mm24m3，解得 10m12或 3mcdia，b，c，dRac，且 bd.正解 因为不等式两边必须都是实数，所以有m23m0，m24m30，m20，r，sR”限制下进行的，在复数集中arsars 是在条件“r，sN*”限制下进行的，所以不能盲目推广.正解 1i1i51i1i41i1i(i)4(i)i.故选 C.点评 实数中的有些运算律和常用结论在复数范围内要慎用6误用实系数方程 0例 6 已知关于 t 的一元二次方程 t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)有实数根，求点(x，y)的轨迹错解 方程有实根
16、，(2i)2412xy(xy)i0，44i14(2xyxiyi)0，38xy(44x4y)i0.38xy0，44x4y0.xy1 且 xy38.点(x，y)的轨迹为直线的一部分错因分析 只有在实系数一元二次方程中才能利用判别式 讨论方程根的个数，本题正确的处理方法是首先设出方程根的形式，然后利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.正解 设实根为 t0，则 t20(2i)t02xy(xy)i0，即(t202t02xy)(t0 xy)i0，根据复数相等的充要条件得t202t02xy0，t0 xy0，由得 t0yx，代入得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22，所求点的轨迹方程为(
17、x1)2(y1)22，轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆点评 对于复系数一元二次方程 ax2bxc0(a，b，c 为复数)，讨论其根的个数时，需先设 xmni(m，nR)，将上述方程利用复数相等的充要条件转化为实系数方程后再处理.6 复数中的数学思想数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，掌握以下两种数学思想方法，有利于复数问题的解决1化归与转化思想复数集是由实数集扩充而来的，因此实数集内的一些性质在复数集内仍然成立利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题方法例 1 设 a，b，c，dR，若abicdi为实数，则()Abcad0Bbc
18、ad0Cbcad0Dbcad0解析 由已知，得abicdiacbdc2d2 bcadc2d2 i.因为abicdi为实数，所以虚部bcadc2d2 0，即 bcad0.答案 C点评 这里先把分母“实数化”，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，这是解决复数问题的常见思路2数形结合思想由于复数既可以用代数形式也可以用几何形式表示，因此解复数题常以形助数，数形结合例 2 求满足条件|z|1，且z12 z32 的复数 z 的集合解 因为|z|1，所以 z 在复平面内对应的点在单位圆上又z12 z32，所以 z 在复平面内对应的点在直线 x12上，如图所示由图形可知只有点 A，B 所表示的复数满足条件易得点 A，B 的坐标分别为12，32，12，32.所以点 A，B 所对应的复数分别为12 32 i 和12 32 i.故复数 z 的集合是12 32 i，12 32 i.点评 本题充分挖掘出复数所隐含的几何因素，通过构造图形，借助几何计算，有效地实现了“复数问题实数化”