1、北京市朝阳区 2020-2021 学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题（共 10 题；共 50 分）1.设 ，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.展开式中 的系数为（）A.-20B.-10C.10D.203.函数 在区间 上的最大值为（）A.B.1C.7D.4.袋子里有 8 个红球和 4 个黄球，从袋子里有放回地随机抽取 4 个球，用 表示取到红球的个数，则 （）A.B.C.D.5.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （）A.1B.2C.3D.46.从 4 名高一学生和 5 名高二学生中，选 3 人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至
2、少有 1 名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）A.50B.70C.80D.1407.小王同学进行投篮练习，若他第 1 球投进，则第 2 球投进的概率为 ；若他第 1 球投不进，则第 2 球投进的概率为 .若他第 1 球投进概率为 ，他第 2 球投进的概率为（）A.B.C.D.8.为了研究某校男生的脚长 (单位；)和身高 (单位：)的关系，从该校随机抽取 20 名男生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系.设 关于 的经验回归方程为 .已知 ，该校某男生的脚长为 ，据此估计其身高为（）A.B.C.D.9.已知 .以下四个命题：对任意实数 ，存在 ，使得 ；对任意 ，存在实数
3、 ，使得 ；对任意实数 ，均有 成立；对任意实数 ，均有 成立.其中所有正确的命题是（）A.B.C.D.10.一个圆的周上有 8 个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（）A.70B.140C.210D.280二、填空题（共 6 题；共 30 分）11.判断对错，并在相应横线处划“”或“”.样本相关系数 时，称成对数据正相关，时，称成对数据负相关_.样本相关系数的绝对值 越接近于 1，线性相关程度越弱，越接近于 0，线性相关程度越强_.12.某单位工会组织 75 名会员观看光荣与梦想觉醒年代跨过鸭绿江三部建党百
4、年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：观看情况观看人数只看过光荣与梦想12只看过觉醒年代11只看过跨过鸭绿江8只看过光荣与梦想和觉醒年代7只看过光荣与梦想和跨过鸭绿江4只看过觉醒年代和跨过鸭绿江5同时看过光荣与梦想觉醒年代和跨过鸭绿江21则会员中看过跨过鸭绿江的共有_人，三部电视剧中，看过至少一部的有_人.13.我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的详解九章算法里，出现了图 1 这张表.杨辉三角的发现比欧洲早 500 年左右.如图 2，杨辉三角的第 行的各数就是 的展开式的二项式系数.则第 10 行共有_个奇数；第 100 行共有_个奇数.14.函数 的定义域为_，极大值点的集合为_.1
5、5.已知 ，则 的最小值为_.16.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于 2001 年发起了一项全球性的活动将每年的 3 月 54 日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：性别人数睡眠质量好睡眠质量一般睡眠质量差男220 999031女250 5012080合计470 149210111假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取 1 人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是_.三、解答题（共 5 题；共 70 分）17.已知集合 ，.（1）若 ，全集 ，求
6、 ；（2）从条件和条件选择一个作为已知，求实数 的取值范围.条件：若 ；条件：若 .如果选择条件条件分别解答，则按第一个解答计分.18.设函数 ，（1）求 的单调递增区间；（2）当 ，时，求证：.19.根据国家电影局发布的数据，2020 年中国电影总票房为 204.17 亿，年度票房首度超越北美，成为 2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片八佰和金刚川合力贡献了国内全年票房的 .我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了 100 名观众，得到结果如下：图 1 是购票观众年龄分布情况；图 2 是购票观众性别分布情况.（1）记 表示事件：“观看电影八佰的观众年龄低
7、于 30 岁”，根据图 1 的数据，估计 的概率；（2）现从参与调查的电影金刚川的 100 名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第 1 次抽到男性观众的条件下，第 2 次仍抽到男性观众的概率.（3）填写下面的 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？影片 女性观众 男性观众 总计 八佰 47a53b100金刚川 39c61d100总计 861142002()aP xx0.10.050.010.001ax2.7063.8416.63510.828附：20.某工厂生产的 10 件产品有 8 件优等产品，2 件不合格产品.（1）
8、若从这 10 件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率；（2）若从这 10 件产品中随机抽取 3 件，设抽到的不合格产品件数为 ，求 的分布列和数学期望；（3）某工作人员在不知情的情况下，从这 10 件产中随机抽取了 3 件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对 3 件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件 200 元，所有返厂产品的运输费用为一次性 80 元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本 300 元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损
9、失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？21.已知函数 .（1）求 的极值；（2）已知 ，且 对任意的 恒成立，求 的最大值；（3）设 的零点为 ，当 ，且 时，证明：.答案解析部分一、单选题（共 10 题；共 50 分）1.设 ，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】，因此，“”是“”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据不等式的范围可得所对应集合的关系，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断，即可得出答案。2.展开式中 的系数为（）A.-20B.-10C.10D.
10、20【答案】C 【考点】二项式定理【解析】【解答】，令 ，解得 .所以 的系数为 .故答案为：C【分析】先求出二项展开式的通项公式，通过通项公式确定 x 的系数.3.函数 在区间 上的最大值为（）A.B.1C.7D.【答案】D 【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】依题意：，而 ，于是得 或 时，时，时 取得极大值 ，时 取得极小值 ，而 ，所以 最大值为 .故答案为：D【分析】求导，令导数为零,再求 f(x)0.得到单调增区间，令 f(x)0，得到单调减区间，判定函数在给定的区间 x-3,3上，先增再减再增，利用极值和端点值函数值的大小比较可得最值.4.袋子里有 8 个红球和 4 个
11、黄球，从袋子里有放回地随机抽取 4 个球，用 表示取到红球的个数，则 （）A.B.C.D.【答案】B 【考点】极差、方差与标准差【解析】【解答】袋子里有 8 个红球和 4 个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为 ，所以，因此，.故答案为：B.【分析】求出从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率，再由 即可求出答案。5.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】，所以 ，即 .所以 .故答案为：C【分析】根据随机变量 服从正态分布 ，即 ，计算可得答案。6.从 4 名高一学生和 5 名高二
12、学生中，选 3 人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有 1 名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）A.50B.70C.80D.140【答案】C 【考点】组合及组合数公式【解析】【解答】由于选取的 3 人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题，又 3 人中至少有 1 名高二学生，其对立事件是没有高二学生，所求不同选法种数，先从 9 人中任选 3 人有种 选法，没有高二学生的选法种数是 ，所以不同选法种数为 故答案为：C【分析】先从 9 人中任选 3 人有种 选法，没有高二学生的选法种数是 ，根据组合数的计算可得答案。7.小王同学进行投篮练习，若他第 1 球投进，则第 2 球投进的概率为 ；
13、若他第 1 球投不进，则第 2 球投进的概率为 .若他第 1 球投进概率为 ，他第 2 球投进的概率为（）A.B.C.D.【答案】A 【考点】互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】第 2 球投进的事件 M 是第一球投进，第 2 球投进的事件 M1 与第一球没投进，第 2 球投进的事件 M2 的和，M1 与 M2 互斥，则 ，所以第 2 球投进的概率为 .故答案为：A【分析】第 2 球投进的事件 M 是第一球投进，第 2 球投进的事件 M1 与第一球没投进，第 2 球投进的事件 M2 的和，M1 与 M2 互斥，根据互斥事件的概率公式可得答案。8.为了研究某校男生的脚长 (单位；)和身高 (单位
14、：)的关系，从该校随机抽取 20 名男生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系.设 关于 的经验回归方程为 .已知 ，该校某男生的脚长为 ，据此估计其身高为（）A.B.C.D.【答案】C 【考点】线性回归方程【解析】【解答】由题知：，又因为回归直线为 ，所以 ，解得 .即回归直线为 .所该男身高为 .故答案为：C【分析】由已知求得 ，结合 求得 ，可得线性回归方程，取 x=25.5 求得 y 值即可。9.已知 .以下四个命题：对任意实数 ，存在 ，使得 ；对任意 ，存在实数 ，使得 ；对任意实数 ，均有 成立；对任意实数 ，均有 成立.其中所有正确的命题是（）A.B.C.D.【
15、答案】A 【考点】二次函数的性质【解析】【解答】令 ，记 ，因为 为开口向上的二次函数，所以对任意 ，总存在 使得 ，故正确错误；因为当 时，所以方程 无解，所以 恒成立，故正确；因为当 时，所以方程 有一根或两根，所以对任意 ，不恒成立，故错误；故答案为：A.【分析】根据二次函数的性质以及根的情况，逐项进行判断，即可得出答案。10.一个圆的周上有 8 个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（）A.70B.140C.210D.280【答案】B 【考点】组合及组合数公式【解析】【解答】因顺次连接一组“自由弦对”的
16、两条弦的 4 个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，从圆周上 8 个点中任取 4 点可以构成 个圆内接四边形，所以圆上的“自由弦对”总组数为 .故答案为：B.【分析】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的 4 个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，由组合数的运算可得答案。二、填空题（共 6 题；共 30 分）11.判断对错，并在相应横线处划“”或“”.样本相关系数 时，称成对数据正相关，时，称成对数据负相关_.样本相关系数
17、的绝对值 越接近于 1，线性相关程度越弱，越接近于 0，线性相关程度越强_.【答案】；【考点】两个变量的线性相关【解析】【解答】由成对数据正负相关与相关系数的对应关系知，正确，在横线处划“”；因样本相关系数的绝对值 越接近于 1，线性相关程度越强，越接近于 0，线性相关程度越弱，则不正确，在横线处划“”.故答案为：；【分析】根据线性回归中，相关系数的定义，利用相关系数 r 进行判断，而且|r|越接近于 1,相关程度越强;|r 越接近于 0，相关程度越弱，即可得答案.12.某单位工会组织 75 名会员观看光荣与梦想觉醒年代跨过鸭绿江三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：观看情况观看
18、人数只看过光荣与梦想12只看过觉醒年代11只看过跨过鸭绿江8只看过光荣与梦想和觉醒年代7只看过光荣与梦想和跨过鸭绿江4只看过觉醒年代和跨过鸭绿江5同时看过光荣与梦想觉醒年代和跨过鸭绿江21则会员中看过跨过鸭绿江的共有_人，三部电视剧中，看过至少一部的有_人.【答案】38；68 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】【解答】解：根据题意，将数据利用韦恩图表示，如图所示：由图可知看过跨过鸭绿江的共有 人；三部电视剧中，看过至少一部的有 人.故答案为：38；68.【分析】根据题意，将数据利用韦恩图表示，即可得出答案。13.我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的详解九章算法里，出现了图 1
19、 这张表.杨辉三角的发现比欧洲早 500 年左右.如图 2，杨辉三角的第 行的各数就是 的展开式的二项式系数.则第 10 行共有_个奇数；第 100 行共有_个奇数.【答案】4；4 【考点】归纳推理【解析】【解答】由杨辉三角可得如下表：第 1 行，2 个；第 2 行，2 个；第 3 行，4 个；第 4 行，2 个；第 5 行，4 个；第 6 行，4 个；第 7 行，8 个；第 8 行，2 个；第 9 行，4 个；第 10 行，4 个；第 11 行，8 个；第 12 行，4 个；第 13 行，8 个；第 14 行，8 个；第 15 行，16 个；第 16 行，2 个；第 17 行，4 个；第 1
20、8 行，4 个；第 19 行，8 个；第 20 行，4 个；第 21 行，8 个；第 22 行，8 个；第 23 行，16 个；第 88 行，2 个；第 89 行，4 个；第 90 行，4 个；第 91 行，8 个；第 92 行，4 个；第 93 行，8 个；第 94 行，8 个；第 95 行，16 个；第 96 行，2 个；第 97 行，4 个；第 98 行，4 个；第 99 行，8 个；第 100 行，4 个；第 101 行，8 个；第 102 行，8 个；第 103 行，16 个；故答案为：4；4【分析】利用题中所给的规律进行推理，即可得出答案。14.函数 的定义域为_，极大值点的集合为
21、_.【答案】；【考点】利用导数研究函数的极值，余弦函数的定义域和值域【解析】【解答】依题意得 ，即 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ；，由 ，即 得 ，时，时，于是得 是 极小值点，时 ，时 ，时，时，于是得 是 极大值点，所以极大值点的集合为 .故答案为：；【分析】依题意得 ，即 ，求解可得函数 的定义域；求导，可得函数的极大值。15.已知 ，则 的最小值为_.【答案】【考点】基本不等式【解析】【解答】因为 ，则 ，当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为 .故答案为：【分析】由 结合基本不等式可得 的最小值。16.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于 2001 年发起了一
22、项全球性的活动将每年的 3 月 54 日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：性别人数睡眠质量好睡眠质量一般睡眠质量差男220 999031女250 5012080合计470 149210111假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取 1 人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是_.【答案】0.47 【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】从该中学男生中随机抽取 1 人，这个人睡眠质量好的概率为 ，从该中学女生中随机抽取 1 人，这个
23、人睡眠质量好的概率为 ，因此，该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是 .故答案为：0.47.【分析】根据相互独立的概率公式求解，即可得出答案。三、解答题（共 5 题；共 70 分）17.已知集合 ，.（1）若 ，全集 ，求 ；（2）从条件和条件选择一个作为已知，求实数 的取值范围.条件：若 ；条件：若 .如果选择条件条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ；（2）若选：因为 ，所以 ，又因为 恒成立，所以 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围是 ；若选：因为 恒成立，所以 ，又因为 ，或 ，所以 或 ，即 的取值范围是
24、或 .【考点】并集及其运算，补集及其运算，子集与交集、并集运算的转换【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，求得 A，化简 B，根据补集的定义即可求得 ；（2）若选：因为 ，所以 ，得 ，求解可得 的取值范围；若选：因为 恒成立，所以 ，由 求解可得 的取值范围。18.设函数 ，（1）求 的单调递增区间；（2）当 ，时，求证：.【答案】（1），当 时，在 恒成立，在 单调递增；当 时，在 单调递增，综上，当 时，的单调递增区间是 ，当 时，的单调递增区间是 ；（2）因为 ，要证 ，只需证 ，设 ，令 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，即 上恒成立，所以 单调递增，即 ，得证.【考点】利用导
25、数研究函数的单调性，分析法和综合法【解析】【分析】（1）求导得 ，分 ，讨论函数的单调性可得 的单调递增区间；（2）要证 ，只需证 ，设 ，令 恒成立，求解可证得 .19.根据国家电影局发布的数据，2020 年中国电影总票房为 204.17 亿，年度票房首度超越北美，成为 2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片八佰和金刚川合力贡献了国内全年票房的 .我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了 100 名观众，得到结果如下：图 1 是购票观众年龄分布情况；图 2 是购票观众性别分布情况.（1）记 表示事件：“观看电影八佰的观众年龄低于 30 岁”，根据图 1 的
26、数据，估计 的概率；（2）现从参与调查的电影金刚川的 100 名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第 1 次抽到男性观众的条件下，第 2 次仍抽到男性观众的概率.（3）填写下面的 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？影片 女性观众 男性观众 总计 八佰 47a53b100金刚川 39c61d100总计 861142002()aP xx0.10.050.010.001ax2.7063.8416.63510.828附：【答案】（1）由图 1 知，“观看电影八佰的观众年龄低于 30 岁”的频率为 ，由此估计事件 C 的概率为
27、 ；（2）由图 2 知，参与调查的电影金刚川的 100 名购票观众中男性有 61 人，从 100 名观众中依次抽两名，在第一次抽到男性的条件下，第二次仍抽到男性的事件 B，相当于从含 60 名男性观众的 99 名观众中任抽 1 人，抽到男性的事件，其概率为 ，（3）观察图 2 得 列联表如下：影片女性观众男性观众总计八佰4753100金刚川3961100总计86114200则 的观测值为 ，由独立性检验知，没有 99%的把握认为对这两部历史战争题材影片的选择与性别有关.【考点】独立性检验的基本思想，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数即可;（2）根据古典概
28、率的计算公式可得；（3）根据列联表中的数据，计算 K2 的观测值，对照临界值即可得出结论.20.某工厂生产的 10 件产品有 8 件优等产品，2 件不合格产品.（1）若从这 10 件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率；（2）若从这 10 件产品中随机抽取 3 件，设抽到的不合格产品件数为 ，求 的分布列和数学期望；（3）某工作人员在不知情的情况下，从这 10 件产中随机抽取了 3 件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对 3 件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件 200 元，
29、所有返厂产品的运输费用为一次性 80 元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本 300 元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？【答案】（1）记 A=“第二次取出的是不合格产品”，则 ；（2）由题意：可以取 0,1,2.，则分布列为：X012P 所以 .（3）若选择方案一：需要付出的损失费用为：元；若选择方案二：需要付出的损失费用为：元.所以选择方案二损失较小.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据古典概率的计算公式可得；（2）由题意：可以取 0
30、,1,2，分别求出对应的概率，可得 的分布列和数学期望；（3）分别记计算出方案一 和方案二 需要付出的损失费用，比较可得答案。21.已知函数 .（1）求 的极值；（2）已知 ，且 对任意的 恒成立，求 的最大值；（3）设 的零点为 ，当 ，且 时，证明：.【答案】（1）函数 定义域为 ，时 时 ，时，取得极小值 ，无极大值，所以 的极小值为-1，无极大值；（2），令 ，由(1)知 在 上单调递增，而 ，即 ，当 时，当 时，于是得 在 上递减，在 上递增，则 时，从而有 ，而 ，则 ，所以 的最大值是 3；（3）由(1)知 在 上递增，即 大于 1 的零点 ，令 ，显然 在 上单调递减，于是得 ，在 上单调递减，且 时，即 ，所以 ，且 时，.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）用一阶导数求极值即可；（2）令 ，求导可得单调性，进而得出 的最大值；（3）由(1)知 在 上递增，根据零点判断定理可得 大于 1 的零点 ，令 ，求导可得 在 上单调递减，进而可证得 .
