1、昌平区20202021学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷2021.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回.第一部分（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. （ ）A. B. C. D. 3. 已知角终边经过点，且，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知中，则（ ）A. 2B. C. 4D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则，
2、分别是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，6. 在中，若，则（ ）A. B. C. D. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，是单位圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角是以为始边，为终边.则“点在上”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体
3、的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）A. 点可以是棱的中点B. 线段的最大值为C. 点的轨迹是平行四边形D. 点轨迹的长度为第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 函数的定义域是_.12. 设，复数.若复数是纯虚数，则_；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_.13. 已知单位向量，满足，则与夹角的大小为_；_.14. 已知是平面外的一条直线.给出下列三个论断：；.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.15. 已知，则_.16. 设向量，函数.若函数的定义域为，值域为.给出下列四个结论：； ； ；
4、 .则的值可能是_.（填上所有正确的结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知，且是第二象限角.（）求及的值；（）求的值.18. 已知向量，.（）求；（）求向量与向量的夹角的余弦值；（）若，且，求向量与向量的夹角.19. 在中，.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）的大小；（）和的值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图，在直四棱柱中，为上一点，.（）求证：；（）求证：平面；（）设平面与棱交于点，确定点的位置，并求出线段的长度.21. 已知函数.（）若的最小正周期为，求的单调递
5、增区间；（）若在上恒成立，求实数的取值范围；（）若，证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得.昌平区20202021学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2020.7一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1-5：ABACD6-10：DCCAB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 12. -1；1 13. ；14. 若，则.若，则.15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 解：（）已知，且是第二象限角.所以，.所以，.（）因为.1
6、8. 解：（）因为，所以.所以.（）因为，所以.（）因为，所以.即.所以.即，所以.因为，所以.19. 解：选择：.（1）在中，因为，所以由正弦定理得.因为，所以.所以.所以.（）因为，所以.所以.因为，所以.所以.法一：所以.由正弦定理得，即.因为，所以.法二：因为，所以.因为，所以.所以.所以.所以.所以.（或.即）所以或.因为，所以（舍）.所以.解：选择：.（）在中，因为，所以由正弦定理得.在中，所以.所以.（）因为，所以.所以.因为，所以.所以.法一：所以.因为，所以.由正弦定理得，所以.法二：因为，所以.所以.所以.所以.20. 解：（）在直四棱柱中，因为平面，平面，所以.因为，所以
7、平面.因为平面，所以.（）法一：因为，所以平面平面.因为平面，所以平面.法二：取中点，连接.因为，所以且.所以是平行四边形.所以且.在上取点，使，连接.所以且.所以是平行四边形.所以且.所以且.所以是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面.（）法一：延长，交于点，连结，延长交于点，连接.因为，所以，分别为，的中点.因为，所以为的中点.所以.法二：由（）法二，在平面中作，交于点，连接.所以.所以点即为平面与棱的交点.因为为中点，所以为中点.因为，所以.21. 解：（）因为，因为的最小正周期为，所以.所以.因为函数的单调递增区间为，由，得.所以的单调递增区间为.（）由第（）问可知，.要使在上恒成立，只需在上恒成立.因为，所以.当时，即时，；当时，.所以要使在上恒成立，只需，即.所以的取值范围是.（）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即.由可知，存在，使得.由正弦函数的性质可知，当时，均有.因为的周期为，所以当时，均有.因为对任意的整数，因为，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得.亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得.
