1、第8课时 函数的奇偶性与周期性【学习目标】1、了解函数奇偶性的概念、图象特征及性质，并能判断一些简单函数的奇偶性。2、了解函数周期性的概念及图象特征，并能应用它解决一些简单的问题。【学习重点】函数的奇偶性的图象特征及其性质的应用。【必记知识点】1、函数的奇偶性：（1）对于函数，其定义域关于原点对称： 如果对于函数定义域内的任意一个，都有_，那么函数为奇函数； 如果对于函数定义域内的任意一个，都有 ，那么函数为偶函数.（2）奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称.（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .（4）若奇函数在处有定义，则必有。（5）若函数是偶函数，则，从而
2、的图象关于 对称。（6）若函数是奇函数，则，从而的图象关于 对称。2、函数的周期性对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T为这个函数的周期.3、与函数周期有关的结论：设为非零常数，若对定义域内的任意，恒有下列条件之一成立：；，则函数的周期为 。【基础练习】 1(2013南通三模)对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：若f(2)f(2)，则f(x)为偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)不是偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)一定不是奇函数其中正确命题的序号为_2已知f(x)ax2bx是定义在上的偶函数，那么ab 的值是_3. 已知定义在R上
3、的函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 014)_.4、已知函数是定义在上的偶函数，当时，则时， 。5、已知函数，其中为常数，若，则_。【典型示例】考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)考点二函数奇偶性的应用(1)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.(2)已知奇函数f(x)的定义域为，且在区间上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围本例(2)中条件在区间上“递减”变为“递增”，试想m的范围改变吗？若改变，求m的取值范围. 1已知函数y
4、f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_2(2013苏北四市期中)已知定义在R上的偶函数f(x)在恒成立，则实数a的取值范围是_例3、函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x的取值范围.考点三函数的周期性及其应用已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x3)，且当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f
5、(3)f(2 014)_.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x时，求f(x)的解析式例5、设函数是定义在R上的奇函数，对于都有成立。（1）证明是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值。变式1：设是上的奇函数，当时，则等于 。变式2：函数对于任意实数满足条件，若则_。 1设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.2(2010江苏高考)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_3设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.5设定义在上的偶函数f(x)在区间上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围
