1、四川省宜宾市第四中学校2020届高三数学下学期第二次月考试题 文（含解析）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合A的补集，再进行交集运算.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.2.已知为虚数单位，复数满足：，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算法则求出，结合共轭复数的概念，即可求出结论.【详解】由，得，复数的共轭复数为，在复平面内
2、对应的点为.故选：A.【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.3.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的运用得，可得的值.【详解】因为 所以，故选：B【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和等差中项的运用，灵活选择前项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.4.若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由渐近线上点的坐标得出，然后结合可求得离心率【详解】由题意，故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线的斜率与离
3、心率的关系，属于基础题5.已知是两条不同的直线是两个不同的平面,则的充分条件是（ ）A. 与平面所成角相等B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A，若与平面所成角相等，则可能相交或者异面，故A错；对于B，若，则可能相交或者异面，故B错；对于C，若，由线面平行的性质定理可得，故C正确；对于D，若，则可能异面，故D错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题6.已知函数，若，则的太小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由指数函数和幂
4、函数的性质得出的大小，再由函数的单调性得出结论【详解】在上是减函数，所以，故选：B.【点睛】本题考查比较函数值大小，考查函数的单调性在比较幂的大小时，要注意同底数的幂用指数函数的单调性确定大小，同指数的幂用幂函数的单调性确定大小7.下列函数中，同时满足：图像关于轴对称；，的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到为偶函数，且在区间为增函数.依次判断选项的奇偶性和单调性即可.【详解】由题知：图像关于轴对称，则为偶函数，在为增函数.选项：，为奇函数，故错误.选项：，为偶函数，且在区间为增函数，故正确.选项：，为偶函数，且在区间有增有减，故错误.选项：，为非奇非偶函数，
5、故错误.故选：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性为解题的关键，属于简单题.8.我国宋代数学家秦九韶（12021261）在数书九章（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，求三角形面积，即.若的面积，则等于（ ）A. 5B. 9C. 或3D. 5或9【答案】C【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得【详解】由题意得，整理得，或5，即或3故选：C【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知代入面积公
6、式解方程即可得9.与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.【详解】由题意，圆的圆心坐标，设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，满足，解得，即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，所以所求圆的方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知是第二象限角，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式得，进而由同角三
7、角函数的关系及角所在象限得，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由，得.因为是第二象限角，所以.故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.11.定义在上的奇函数满足：，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由可知函数是周期为的周期函数，所以，故选D.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立. .令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造
8、函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.第II卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.计算_【答案】【解析】【分析】根据指数幂及对数的运算性质，计算可得.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查指数幂的运算及对数的运算，属于基础题.14.设函数，则函数的定义域为_.【答案】（-9，1）【解析】【分析】先求出,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.【详解】解:因为,所以.由,得,所以,所以函数的定义域为.故答案为:.【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.15.如图，点
9、是椭圆右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于两 点，满足，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】确定OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率.【详解】因为BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB，又ACBC，BC=2AC，所以OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则A（a，0），C（，），B（，），AB=a，所以+=1，则a2=3b2，所以c2=2b2，e=.故答案为【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的
10、方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【详解】在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接.由，得，由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，三棱锥外接球的表面积为.故答案：【点睛】本题考查三棱锥的外接
11、球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.设数列满足,(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】（1）计算得到，得到证明.（2）计算，利用分组求和法计算得到答案.【详解】(1),，故 故是首项为1,公比为的等比数列.(2) 故故【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法，公式
12、的综合应用.18.某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.（I）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由.（II）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”.根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？非手机迷手机迷合计男女合计附：随机变量（其中为样本总量）.参考数据0.150.100.050.0252.0722.7063.841
13、5.024【答案】（）高一年级，理由见解析；（）列联表见解析，90%【解析】【分析】（）根据频数分布表和频率分布直方图，分别计算两个年级学生是“手机迷”的概率，即可比较，作出判断.（）根据题意，求出手机迷人数和非手机迷人数，完善列联表，即可由独立性检验的公式求得，进而作出判断即可.【详解】（）由频数分布表可知，高一学生是“手机迷”的概率为由频率分布直方图可知，高二学生是“手机迷”的概率为=（0.0025+0.010）20=0.25因为P1P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大.（）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机迷”有（0.010+0.0025）20100=25（人），非
14、手机迷有10025=75（人）.从而22列联表如下：非手机迷手机迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得结合参考数据，可知3.0302.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关.【点睛】本题考查了频率分布表与频率分布直方图的简单应用，独立性检验中卡方计算与简单应用，属于基础题.19.在如图如示的多面体中，平面平面，四边形是边长为的正方形，,且. （1）若分别是中点，求证：平面（2）求此多面体的体积 【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】试题分析：（1）在平面中，作交DC于连接，根据条件可得四边形是平行四边形，于是，由线面平行的判定定
15、理可得结论成立（2）结合图形将多面体的体积分为两部分求解，由题意分别求得两个椎体的高即可试题解析：（1）证明：在平面中，作交DC于连接 是中点，且是正方形， ,，又,， ， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面 （2）解：如图，连BD,BF,过F作FGEF，交BC于点G 四边形BEFC是等腰梯形， 平面 平面，平面平面，FGEF，DFEF， 平面, 平面 ， ， 故多面体的体积20.已知椭圆的短轴长为，离心率为（）求椭圆的标准方程；（）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，为坐标原点，求的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由椭圆的短轴长可得，结合离心率求得a的值即可确定椭圆方
16、程；（）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算公式可得，结合k的范围确定的取值范围即可.【详解】（）因为椭圆的短轴长为，所以，所以，又椭圆的离心率为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（）由题可设直线的方程为，将代入，消去可得，所以，即，且，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.已知函数.（1）求函数的最值；（2）函数图象在点处的切线斜
17、率为有两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【详解】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值；当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值.（2）依题知，即，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设.因为，所以，变形为.欲证，只需证，即证.令，则只需证对任意的都成立.令，则所以在上单增，即对任意的都成立.所以点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将
18、求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）若圆心到直线的距离等于2，求的值.【答案】（1）圆的普通方程为；（2）.【解析】试题分析：()消去参数可得圆的普通方程及直线的直角坐标方程分别为, ；()由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得试题解析：（）消去参数，得到圆的普通方程为.由，得.所以直线的直角坐标方程为.（）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可【详解】（）可化为，即或或解得或，或；不等式的解集为 （）易知； 所以，又在恒成立； 在恒成立；在恒成立；【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题