1、湘阴一中2007年暑期高三月考数学试题（理科） 命题人：熊佳硕本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试用时120钟。第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个单位有职工160人，其中业务人员96人 , 管理人员40人 ，后勤人员24人，为了解职工身体情况 ，要从中抽取一个容量为20的样本 ，如用分层抽样,则管理人员应抽到多少个 （）. . . .2.已知质点运动的方程为，则该质点在时的瞬时速度为（）. .120 .80 .503.若二项式（）的展开式中含有常数项，则
2、的最小值为（B） . 4. 5. 6. 84.设有个样本，其标准差为，另有个样本，且，其标准差为，则下列关系正确的是 （B） 5.如果事件A、B互斥，那么 （B）.A+B是必然事件 .+是必然事件 .与一定互斥 .与一定不互斥6.在公路的某检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有（ C ）辆. 30 . 6. 60 . 127.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（A）. . . . 8.把名同学分配到物理、化学、生物实验室进行操作实验，若
3、每个实验室分配人，则不同的分配方案有（A）种种种种9.抛物线，轴及直线围成了如图的阴影部分，与轴交于点，把线段分成等分，作以为底的内接矩形如图，阴影部分的面积等于这些内接矩形面积之和当时的极限值，则（ B ） . . . .10. 若则（B ） . 0. 1. 2 . 3第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案直接填在答题卡上.11. 用数学归纳法证明,第一步验证不等式 成立；12. 求得 2 .13.对于线性回归分析（表示相关系数），下列说法错误的有 .样本点在一条直线上当且仅当；越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小；设回归方程，
4、则当变量（单位）时，（单位）； 设回归方程若变量增加一个单位，则平均减少1.5个单位；因为由任何一组样本点都可以求得一个回归直线方程，所以没必要进行相关性检验14. 设为在上的可导函数，则15. 如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.分析要使这段时间内线路正常工作只要排除开且与至少有1个开的情况。三、解答题：本大题有6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本题满分为12分）有一批数量很大的产品，其次品率为，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果是抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到
5、抽出次品.设抽查次数为随机变量.（）若抽查次数最多不超过5次，求的分布列；（）若抽查次数可以无限进行，求解：（）因为抽查次数最多不超过5次，所以据题意可知：每次抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则且时，12345前4次抽到的都是正品，第五次无论抽到次品还是正品抽查将终止，故.其分布列为：（）若抽查次数可以无限进行，则令所以：，设，得：.（或用求导数方法也可求得）17. （本题满分为12分）设中的项的系数为，又，求.解：据题意可知：，则问题等价于求 的项的系数为（或），18. （本题满分为12分）已知函数（）试讨论在处的连续性；（）在处是否可导？并证明你的结论.解：（），当时，；当时，=0；当
6、时，；则：不存在，故在处不连续.（）故在处连续，但：，所以，故在处不可导.19. （本题满分为12分）放学后，在湘阴一中校门口，有甲、乙、丙三位同学分别独立在等候1、2、4路环线公交车的到来，设每个人的等车时间，求三人中至少有两人等车时间不超过2分钟的概率.（计算结果：保留3位小数；参考数据：）解：每个人的等车时间， 三人分别独立等车，三人中“等车时间不超过2分钟”的人数服从二项分布，即，20. （本题满分为14分）已知曲线：，点在曲线上 ，若，点的坐标为，以为切点的曲线的切线为 .（）当时，求的方程；（）设切线交轴的正半轴于点，若为已知常数，在曲线上存在切点使得成立，求实数的取值范围 解：（）求得，时，则切线的斜率为，所以的方程为：（）因为点在曲线上，所以，由（）知的方程可为，即：令得切线与轴的正半轴的交点的横坐标是由椭圆的定义知，所以：，令它的对称轴若在曲线上存在切点使得成立在区间上有解i）当即时，在区间上有解ii）当即时，在区间上有解21. （本题满分为13分）已知，数列满足.（）对于自然数，证明：；（）设是满足的正实数，若表示数列的前项和，试证明.证明：（）当时，成立；假设时，成立，当时，这说明不等式对亦成立；从而，对于自然数，成立.（） 由得：，又由得: ,若，因为，所以，这与矛盾！所以，那么由及得，又因为对所有都成立，所以成立.