1、配餐作业(十一)函数与方程一、选择题1(2016温州十校联考)设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：法一：f(1)ln11210，f(2)ln20，f(1)f(2)0，函数f(x)lnxx2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)。法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)lnx，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)。答案：B2(2016河北质检)若f(x)是奇函数，且x0是yf(x)ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点()Ayf
2、(x)ex1Byf(x)ex1Cyexf(x)1Dyexf(x)1解析：由已知可得f(x0)ex0，则ex0f(x0)1，ex0f(x0)1，故x0一定是yexf(x)1的零点，故选C。答案：C3(2016大连模拟)f(x)是R上的偶函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则函数yf(x)|log5x|的零点个数为()A4 B5C8 D10解析：由零点的定义可得f(x)|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。答案：B4(2016宁德模拟)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的范围是()A(，0) B(0,1)C(1,2)
3、 D(1，)解析：方程f(x)xa0，即f(x)xa，亦即函数yf(x)与yxa有且只有一个交点，在同一坐标系中作出yf(x)与yxa的图象知，a1，故选D。答案：D5(2016资阳一诊)已知x0是函数f(x)ex的一个零点(其中e是自然对数的底数)。若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0解析：f(x)ex在(1，)上是增函数，且x0是f(x)的一个零点，f(x0)0。又x1(1，x0)，x2(x0，)，f(x1)f(x0)0，f(x2)f(x0)0，故选B。答案：B6已知函
4、数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)解析：当a0时，f(x)3x21有两个零点，不符合题意，故a0.f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x0或x，由题意得a0且f0，解得a2，故选B。答案：B二、填空题7若二次函数f(x)x22ax4在(1，)内有两个零点，则实数a的取值范围为_。解析：方法一：据二次函数图象应满足：即解得2a。方法二：运用根与系数的关系。设x1，x2为方程x22ax40的两根，则有x1x22a，x1x24。要使原方程x22ax40的两根x1，x2均大于1，则需满足将代
5、入上述不等式组中，解之，得2a。方法二：运用求根公式。方程x22ax40的两根为x1,2a；且0，得a2或a2。要使两根均大于1，只需小根a1即可，解之得2a。答案：8定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_。解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点。根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3。答案：39已知函数f(x)有3个不同的零点，则实数a的
6、取值范围是_。解析：依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x0时，方程2xa0，即2xa必有一个根，此时0a1；当x0时，方程x23axa0有两个不等的实根，即方程x23axa0有两个不等的正实根，于是有由此解得a。因此，满足题意的实数a需满足即a1。答案：三、解答题10设函数f(x)ax2bxb1(a0)。(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围。解析：(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1。所以函数f(x)的零点为3或1。(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根，所以b
7、24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得0a1，因此实数a的取值范围是(0,1)。11已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x。(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围。解析：(1)当x(，0)时，x(0，)，因为yf(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(x)22(x)x22x，所以f(x)(2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1；当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为1。所以据此可作出函数yf(x)的图象(如图所示)，
8、根据图象，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(1,1)。11题图12.已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)。(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根。解析：(1)方法一x0时，g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点。所以m的取值范围是2e，)。方法二作出g(x)x(x0)的大致图象如图。可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e。所以m的取值范围是2e，)。(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象。f(x)x22exm1(xe)2m1e2。其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2。故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根。m的取值范围是(e22e1，)。
