1、高一数学下学期期末备考正弦定理和余弦定理的应用实际测量中的常见问题求 AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形 ABatan 底部不可达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形ABatan tan tan tan 求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理 ABa2b22abcos 河两岸ACB，ABC，CBa用正弦定理ABasin sin河对岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC 中，ACasin sin在BDC中，BCasin sin；在ABC 中，应用余弦定理求 AB2仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方
2、时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图)3方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30等【考点精炼】考点一：高度问题（已知仰角或俯角）例 1、(2019山东青岛月考)如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB_.【答案】32a由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，AD3a，所以在 RtADB 中，AB12AD32a.练习 1、(2019河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的
3、高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角，则电视塔 CD 的高度为_m.【答案】6002在ACM 中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得AMsinMCAACsinAMC，即1 20022AC32，解得 AC6006.在ACD 中，tanDACDCAC33，DC6006336002.求解高度问题的 3 个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实
4、际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题考点二：高度问题（已知方位角或方向角）例 2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.【答案】1006由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin
5、30，解得 BC3002 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 303002331006(m)考点三：距离问题例 3、(2019山东临沂联考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m.(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，31.73)【答案】60如图，过点 A 作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D，则在 RtABD 中，ABD67，AD46，AB46sin 67.在ABC 中，根据正弦定理得 BCABs
6、in 37sin 3046sin 37sin 67sin 3060.训练 3、如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离，即 ABa2b22abcos.若测得 CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算 AB 的长解在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000，AB2007(m)，即 A，B 两点间的距离为 2007 m.求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形
7、问题(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答考点四：角度问题例 4、如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 n mile 的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_.【答案】2114在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，得 BC207.由正弦定理，得ABsinACBBCsinBAC
8、，即 sinACBABBCsinBAC217.由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB277.由ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 302114.训练 4、(2019山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.【答案】60203如图，AOB60，由余弦定理知 OC2202202800cos 1201 200，故
9、OC203，COy303060.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用训练 5、(2019河南安阳调研)如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处(31)n mile 的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 n mile 的 C 处的我方缉私船奉命以 103 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜问
10、：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD 103t n mile，BD10t n mile，在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosA(31)2222(31)2cos1206，解得 BC6.又BCsinAACsinABC，sinABCACsinABC2sin120622，ABC45，故 B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得BDsinBCDCDsinCBD，sinBCDBDsinCBDCD10tsin120103t12.BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在BCD 中，CBD 120，BCD30，D30，BDBC，即 10t6，解得 t610小时15 分钟缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟
