1、高一数学下学期期末备考一元二次不等式及其解法1一元一次不等式 axb(a0)的解集(1)当 a0 时，解集为 x|xba；(2)当 a0 时，解集为 x|xba.2“三个二次”的关系判别式b24ac000二次函数 yax2bxc(a0)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根 x1x2b2a没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx2x|xb2aR一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx23、解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于 0，另一端为 0，即化为 ax2bxc0(a0
2、)或 ax2bxc0(a0)的形式；(2)计算相应的判别式；(3)当0 时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集【考点精炼】考点一：解不含参数的一元二次不等式例 1(全国卷)设集合 Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则 ST()A2，3B(，23，)C3，)D(0，23，)【答案】D因为 Sx|(x2)(x3)0 x|x3 或 x2，又 Tx|x0，所以 ST(0，23.)练习(2019广东肇庆月考)不等式x23x40 的解集为_.(用区间表示)【答案】(4，1)由x23x40 得 x23x40，解得4x0 的解集为(4，1)知识点4、解含参数的一元
3、二次不等式的步骤(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与 0 的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式考点练习考点二、含参数的一元二次不等式问题例 2(2019山东烟台检测)关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1，)，则关于 x 的不等式(axb)(x3)0 的解集是()A(，1)(3，)B(1，3)C(1，3)D(，1)(3，)【答案】C由题意知，a0 且ba1，即 ab，故不等式(axb)(x3)0 即为(x1)(x3
4、)0，解得1x3.练习、解不等式：ax2(a1)x10)解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以 ax1a(x1)1 时，解集为1ax1；当 a1 时，解集为；当 0a1 时，解集为 1x1a.综上，当 0a1 时，不等式的解集为 x|1x1 时，不等式的解集为 x|1ax0(a0)恒成立的充要条件是：a0 且 b24ac0(xR)(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0 且 b24ac0(xR)7、一元二次不等式恒成立问题的求解思路(1)形如 f(x)0 或 f(x)0(xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解(2)形如 f(x)0 或 f(x)0(xa
5、，b)的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(3)形如 f(x)0 或 f(x)0(参数 ma，b)的不等式确定 x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数考点练习考点四、形如 f(x)0(xR)求参数的范围例 4、(2019甘肃张掖月考)不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.【答案】(2，2当 a20，即 a2 时，不等式即为40，对一切 xR 恒成立，当 a2 时，则有220421620aaa 即a2，2a2，2a2.综上，可得实数 a 的取值范围是(2，2练习、(2
6、019山东莱芜检测)不等式 x22x5a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a的取值范围是_.【答案】1，4x22x5(x1)244，由条件可知，只需 a23a4，即1a4 成立即可考点五、形如 f(x)0(xa，b)求参数的范围例 5、设函数 f(x)mx2mx1(m0)，若对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求m 的取值范围解要使 f(x)m5 在1，3上恒成立，则 mx2mxm60，即 mx12 234m60，在 x1，3上恒成立有以下两种方法：方法一令 g(x)mx12 234m6，x1，3当 m0 时，g(x)在1，3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60.所以 m6
7、7，则 0m67.当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60.所以 m6.所以 m0.综上所述，m 的取值范围是m|0m67或 m0.方法二因为 x2x1x12 2340，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12 234在1，3上的最小值为67，所以只需 m67即可因为 m0，所以 m 的取值范围是m|0m67或 m0.练习、若不等式 x2mx10 对于任意 xm，m1都成立，则实数 m 的取值范围是_.【答案】22，0由题意，得函数 f(x)x2mx1 在m，m1上的最大值小于 0，又抛物线 f(x)x2mx1 开口向上
8、，所以只需 2221011110f mmmf mmm m 即2m210，2m23m0，解得22m0.考点六、形如 f(x)0(参数 ma，b)求 x 的范围例 6、对任意的 k1，1，函数 f(x)x2(k4)x42k 的值恒大于零，则 x 的取值范围是_.【答案】x|x3对任意的 k1，1，x2(k4)x42k0 恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在 k1，1时恒成立只需 g(1)0 且 g(1)0，即x25x60，x23x20，解得 x3.考点七、成立问题例 7、(2019河南洛阳诊断)若不等式 x2ax20 在区间1，5上有解，则 a 的取值范围是()A235，B235，1C(1，)D，235【答案】A由a280 知方程恒有两个不等实根，又因为 x1x220，解得 a235.练习、若不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为()A(3，0)B3，0)C3，0D(3，0【答案】D当 k0 时，显然成立；当 k0 时，即一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则k0，k242k38 0，解得3k0.综上，满足不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(3，0