1、教材习题答案第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念 向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量练习解析 悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度解析 图中的有向线段表示一个竖直向下、大小为 的力，图中的有向线段表示一个水平向左、大小为 的力图图解析 ，解析（）终点、的位置相同（）由题意可知，当与同向时，如图 图 ，向量与的方向相反当与反向时，如图 图 ，向量与的方向相同习题 6.1复习巩固解析 如图解析 与 相等的向量有，；与 相等的向量有，；与 相等的向量有，综合运用答案（）（）（）（）（）（）理由略拓广探索解析 相等的向量共有 对模为 的相等向量有 对（其中与同向的共有 对，
2、与反向的也有 对，与同向的共有 对，与反向的也有 对）；模为 的相等向量有 对；模为 的相等向量有 对6.2 平面向量的运算 向量的加法运算练习解析（）（）（）（）解析 当 与 共线且方向相反时答案（）（）（）（）答案（）（）（）解析 如图，设表示小船的速度，表示河水的速度，以、为邻边作平行四边形，则就是小船实际航行的速度由已知条件可得 ，小船实际航行速度的大小为 ，方向与河水的速度间的夹角为 向量的减法运算练习解析答案；解析 当，其中有一个为 时，（）显然成立；当，不共线时，作图如图 所示，显然 （）；图 当，共线时，作图如图 所示，显然（）图 向量的数乘运算练习解析 如图答案 ；解析（）（
3、）（）（）练习解析（）因为 ，所以，共线（）因为 ，所以，共线解析（）原式（）原式 （）原式 解析 与 是共线向量，存在实数，使 ，即 （），向量的数量积练习解析 解析 当 时，为钝角，为钝角三角形；当 时，为直角，为直角三角形解析 当 时，向量 在向量 上的投影向量为 ；当 时，向量 在向量 上的投影向量为 ；当 时，向量 在向量 上的投影向量为 ()练习解析 设向量 与 的夹角为，向量 与 的夹角为（），（）（），（）证明 与 垂直，（）（），即 又 ，证明 证法一：（）（）（）（）证法二：（）（）（）（）习题 6.2复习巩固解析（）向东走 ，再向东走，即向东走 （）向东走 ，再向西走 ，
4、即向东走（）向东走 ，再向北走 ，即向东北走 （）向西走 ，再向南走 ，即向西南走 （）向西走 ，再向北走 ，再向西走，即向西北走 （）向南走 ，再向东走 ，再向南走，即向东南走 解析 飞机飞行的路程为 ；两次位移的合成是向北偏西约 方向飞行 解析 如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以、为邻边作，则就是船实际航行的速度，在 中，故船实际航行的速度大小为 ，方向与水流速度间的夹角约为 解析（）（）（）（）（）（）（）证明 如图所示，在平行四边形 中，设，（）（），（）因为，所以 （）（）（）（），（），因为，所以 （）（）解析（）如图（）不一定能构成三角形结合向量加法的三角形法则知
5、，当三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形本题不一定能构成三角形解析（）如图（）当、成垂直的位置关系时，解析（）（）（）（）（）证明 因为，所以 （）答案（）；（）解析（），（），（），证明 设 与 的夹角为（）当 时，等式显然成立（）当 时，与，与 的夹角都为，则（），（），（），所以（）（）（）（）当 时，与，与 的夹角都为，则（）（），（），（）（），所以（）（）（）综合运用解析（）四边形 为平行四边形，证明略（）四边形 为梯形证明如下：因为 ，所以，且，所以四边形 为梯形（）四边形 为菱形证明如下：因为，所以，且 ，所以四边形 为平行四
6、边形又 ，所以四边形 为菱形解析 如 图，（），（），（）证明 ，（）（）又、分别为、的中点，即 解析 如图，丙地在甲地的北偏东 方向，距甲地 解析（）（）（）证明：原式 解析（）（），于是可得 ，所以 ，所以 解析 ，证明 （）（）拓广探索 由 ，得点 为 的中点，为外接圆的直径，又 ，为等边三角形 ，向量在向量上的投影向量为 解析教材习题答案解析（）（）四边形 为平行四边形证明：，四边形 为平行四边形解析的值只与弦 的长度有关，与圆的半径无关如图，取 的中点，连接，则，又 ，所以 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理练习解析；（）解析（）（）（）（）（）由（）得，解析（）点
7、，分别是，的中点，且 ，（）与 垂直证明：，()，即 与 垂直 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示练习解析（）（，）（，）（，），（，）（，）（，）（）（，）（，）（，），（，）（，）（，）（）（，）（，）（，），（，）（，）（，）（）（，）（，）（，），（，）（，）（，）解析（）（，），（，）（）（，），（，）（）（，），（，）（）（，），（，）解析 证明：由点（，），（，），（，），（，），得（，），（，），所以，所以 平面向量数乘运算的坐标表示练习解析 （，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）解析 由已知得 ，解析（，）（，）（，），（，）（，
8、）（，）（）（），与共线解析（）由（，），（，），得线段 的中点坐标为（，）（）由（，），（，），得线段 的中点坐标为（，）（）由（，），（，），得线段 的中点坐标为（，）解析 如图，点 是线段 的三等分点，有两种情况，即 或 当 时，()，()，即点 的坐标为，()当 时，（）()，()，即点 的坐标为，()综上，点 是线段 的三等分点时，坐标为，()或，()平面向量数量积的坐标表示练习解析 ，（，）（，）解析 （，），（，），（，），（）（，），（，），（）（）（）（，），（）（）（，），（）解析 （，），（，），（），习题 6.3复习巩固解析 ，()解析 由 （，），（，），（，），得
9、（，）（，）（，）（，），所以作用在原点的合力 的坐标为（，）解析 设向量 的终点 的坐标为（，）（）由（，）（，），得点 的坐标为（，）（）由（，）（，），得点 的坐标为（，）（）由（，）（，），得点 的坐标为（，）解析 由题意知，设（，），则 ，解得 ，所以点 的坐标为（，）解析 设，的坐标分别为（，），（，），则（，），（，）由 ，得（，）（，）（，），所以点 的坐标为（，）由，得（，）（，）（，），所以点 的坐标为（，）所以（，）（，）（，）解析 由题意得（，），所以 （，），（，），（，），又 （，）（为坐标原点），则 （，），所以点 的坐标为（，）；（，），所以点 的坐标为（，）；
10、（，），所以点 的坐标为（，）解析（）、三点共线证明：因为（，），（，），所以 因为直线 与直线 有公共点，所以、三点共线（）、三点共线证明：因为 （，），（，），所以 因为直线 与直线 有公共点，所以、三点共线（）、三点共线证明：因为（，），（，），所以 因为直线 与直线 有公共点，所以、三点共线解析（）是直角三角形，为直角，图略证明：（，），（，），由，得，为直角，为直角三角形（）是直角三角形，为直角，图略证明：（，），（，），由，得，为直角，为直角三角形（）是直角三角形，为直角，图略证明：（，），（，），由，得，为直角，为直角三角形解析 设（，），则由题意得 ，解得 ，或 ，于是 (，)
11、或 (，)解析 设与 垂直的单位向量 （，），则 ，解得 ，或 ，(，)或 (，)综合运用解析（），（）证 明：()()，即 解析 由题意得（，），（，）当 时，（，），所以点 的坐标为（，）；当 时，（，），()，()，所以点 的坐标为，()；当 时，（，）（，）（，），所以点 的坐标为（，）；当 时，（，）（，）（，），所以点 的坐标为（，）解析 设点 的坐标为（，）由点 在线段 的延长线上，且 ，得 ，即（，）（，），所以 （），（），解得 ，所以点 的坐标为（，）证明 因为（，），（，），（，），所以，所以以（，），（，），（，），（，）为顶点的四边形是一个矩形拓广探索解析（）如图，所
12、以 ，利用三角函数及勾股定理易得（）对于任意向量都存在唯一一对实数，使，所以本题中对向量坐标的规定合理证明 构造向量（，），（，）因为 （其中 为向量，的夹角），所以 ，（）（）（）（）（），不等式中等号成立的条件是，同向或反向6.4 平面向量的应用 平面几何中的向量方法练习证明 已知 （），（），又 ，解析 解法一：，()()解法二：建立如图所示的直角坐标系则 （，），（，），()，()，则，()，()，()（），()，解析 点 是 的中点，又，三点共线，向量在物理中的应用举例练习解析（，）（，）（，），（，）（，）（）（）（）教材习题答案解析 由已知得 ，设，则 ，解析（）如图，设，的合力
13、为，与 的夹角为，则利用三角函数及勾股定理解图中两个直角三角形易得 （），所以 （）（）由（）知 ，所以 与 的夹角为 余弦定理、正弦定理练习解析（），（）由余弦定理，得 ，解析 由余弦定理的推论得 （）（）（），（）（）（），解析 ，由余弦定理得 ，由余弦定理的推论得 ，练习解析（），（）由正弦定理得 ，为锐角，有两解，或 当 时，当 时，解析（）由正弦定理得 ，（）由正弦定理得 （）解析 ，（）由正弦定理得 练习解析 在 中，（），由正弦定理得（）（）到直线 的距离 （）因为，所以这艘船可以继续沿正北方向航行证明在 中，（）（）（）在 中，根据正弦定理得 （）（）（）（）所以山高为 （）（
14、）解析 在 中，根据余弦定理得 根据正弦定理得 ，此船应该沿北偏东 的方向航行，需要航行 习题 6.4复习巩固 由 ，知 的平分线与 边垂直，所以 为等腰三角形，又 ，所以 ，所以 所以 为等边三角形 若 ，则 为 的外心；若 ，则 为 的重心；若 ，则 为 的垂心故选 证明 如图，为圆的直径设圆的半径为，则（）（）（），即直径所对的圆周角是直角解析（）（，）（，）（，）（）设向量 与 的夹角为，在 上的投影向量为，与 方向相同的单位向量为，则 ，()则 ，()解 析 （）实 际 前 进 的 速 度 的 大 小 为（）（），沿与水流方向成的方向前进（）设 沿 与 水 流 方 向 成 的 方 向
15、 游，则（），由计算器计算得，沿与水流方向约成的方向游 （）（），实际前进的速度的大小为 解析（），（），解析（），（），或，解析 在 中，由正弦定理，得 （）在 中，（）解析（）以气象台为坐标原点，正东方向为 轴正方向，建立直角坐标系，现在台风中心 的坐标为（，），设 小时后台风中心移到，则 的坐标为（，），即（，）因为以台风中心为圆心，以 千米为半径的圆上或圆内的点将受台风影响，所以，即（）（），整理得 ，解得 ，即 故大约 小时后气象台 所在地将遭受台风影响，大约持续 小时 分钟解析 （其中，分别为三角形三个角，为相应对边）综合运用解析（）设（，），则 （，）将绕点 沿顺时针方向旋转 得
16、到，相当于沿逆时针方向旋转 得到，又（，），于 是 (，)（，）所以 ，解得 ，所以（，）解析 （），（）()()()（）（），解析 如图，设 与 的夹角为，合速度为，与 的夹角为，行驶距离为，则 ，所以当 ，即船垂直于对岸行驶时所 用时间最短解析 由已知，得 ，合速度的方向为北偏西 （），此时小货船航行速度的大小为 证明 根据余弦定理，得()()()（）()（）所以 （）同理，（），（）证明 根据余弦定理的推论，得 ，所以（）()()（），所以所证等式成立证明 只需证 ，其中 为外接圆的半径若 为锐角（如图所示），作直径，连接，则 ，在 中，即 ；图图图若 是直角（如图所示），在 中，可直接
17、得 ；若 为钝角（如图所示），作直径，连接，则，在 中，（），即 由得 同理可证 ，证明 根据 ，得 所以 拓广探索解析 证明：，为 的中点，（）()同理 ，证明（）根据余弦定理的推论，得 ，由同角三角函数之间的关系得，()，代入 ，得 ()，（）（）（）（）（）（）（）（），（），（），（），（）代入可证得，（）（）（）（）三角形的面积 与三角形内切圆半径 之间有关系式 ，所以 （）（）（）（）根据三角形面积公式 ，得 （）（）（），即 （）（）（）同理，（）（）（），（）（）（）解析 方案一：（）需要测量的数据有：教材习题答案点到，点的俯角，；点到，的俯角，；，的距离（如图所示）（）第一步
18、：计算 由正弦定理得 （）；第二 步：计 算 由 正 弦 定 理 得 （）；第三步：计算 由余弦定理得（）方案二：（）需要测量的数据有：点到，点的俯角，；点到，点的俯角，；，的距离（如图所示）（）第一步：计算 由正弦定理得 （）；第二 步：计 算 由 正 弦 定 理 得 （）；第三 步：计 算 由 余 弦 定 理 得 （）解析（）由正弦定理，得 （），又 ，即 ()又，（），而 ，故 ，解得 （负值已舍去）解析 略复习参考题 6复习巩固答案（）（）（）（）答案（）（）（）（）（）（）解析 如图，与 交于点，则 ，解析（）（，），（）（，），（，）（）解析 设（，），由题意知（，）（，），所以
19、，所以（，）解析 由题意得（，）（，）（，），整理得 ，解得 ，解析 由题意得 （，），（，），（，），解析 由题意得（），解得 解析 （），（）解析 如图，过点 作，交 的延长线于点 设，则（），解得 ，解析（），（），或，（），（），解析 设海轮在 处望见小岛在北偏东，在 处望见小岛在北偏东，从小岛 向海轮的航线 作垂线段，如图所示在 中，在 中，由正弦定理，得 在 中，所以这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险综合运用答案（）（）（）（）（）（）证明（）先证 （），（）因为，所以 ，于是 再证 由于 ，所以由 可得 ，于是 所以 几何意义是矩形的两条对角线相等（）先证 （）（），因为
20、，所以 所以 再证 由 得 ，即（）（），所以 几何意义是菱形的对角线互相垂直证明 如图，设，因为，所以，又 ，所以 易得 ，同理可得 所以 同理可得 ，所以 为等边三角形 解 析 连 接，由 对 称 性 可 知，是 的中位线，所以 解析 如图，由余弦定理得 ()，由正弦定理得 ，故由 地到 地位移的大小为 ，方向约为北偏东 拓广探索解析 略解析 略第七章 复数7.1 复数的概念 数系的扩充和复数的概念练习解析 的实部是，虚部是 ；的实部是 ，虚部是；的实部是 ，虚部是；的实部是，虚部是 ；的实部是，虚部是；的实部和虚部都是 解析 ，是实数；，（），是虚数；，（）是纯虚数理由略解析（）由 ，得
21、 ，（）由 ，得 ，复数的几何意义练习解析 在复平面内，点，对应的复数分别为，解析 略解析（）略（），习题 7.1复习巩固解析（）存在，如 （且）（）存在，如 （）（）存在，只能是 解析（）或 （）且（）解析（），（），解析（）点 在第一象限（）点 在第二象限（）点 在 轴的非正半轴上（）点 在 轴的下方（不包括 轴）解析 ，()（），综合运用解 析 （）若 位 于 第 四 象 限，则 有，或，或（）若位于第一象限或第三象限，则有（）（），即（）（）（）（），解得 或 或（）若位于直线 上，则实部与虚部相等，必有 ，解得 解析（）因为的起点在原点，所以终点坐标为向量对应的坐标，故（，），而点
22、关于实轴的对称点是（，），所以向量对应的复数为（）（，）关 于 虚 轴 的 对 称 点 是（，），故点 对应的复数为解析（）满足条件 的点 的集合是以原点 为圆心，以 为半径的圆（）满足条件 的点 的集合是以原点为圆心，分别以 和 为半径的两个圆所夹的圆环，包括内圆的边界但不包括外圆的边界解析 复数 对应的点应位于直线 （）上拓广探索解析 设 （），或 解析 在复平面内指出复数对应的点，略这 个点在同一个圆上证明：因为 ，所以这 个点在同一个圆上7.2 复数的四则运算 复数的加、减运算及其几何意义练习解析（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）解析 略证明 设 （，），
23、（，），（，）（）交换律：（）（）（）（），（）（）（）（），（）结合律：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）解析（）（）（）（）（）（）复数的乘、除运算练习解析（）（）（）解析（）（）（）解析（）（）（）（）解析（），（），习题 7.2复习巩固解析（）（）（）（）解析 由题意得 （，），（，），所以（，），故对应的复数为，又因为 （，），所以对应的复数为 解析（）（）（）（）（）（）（）()（）（）()()（）（）（）（）解析（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）综合运用解析 由复数的几何意义，知，分别
24、对应复平面内的点（，），（，），（，），因为四边形 是平行四边形，所以 ，设（，），则有（，）（，），所以 ，故点 对应的复数为 教材习题答案解析（），（）（），解析 因为 是关于 的方程 的一个根，所以有（）（），整理得（）（）故有，拓广探索解析（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）解析 （）（）（）（）（），（）（）表示点（，）与点（，）的距离为定长，故复平面内满足 （）的点 的集合是以（，）为圆心，为半径的圆解析 略7.3*复数的三角表示 复数的三角表示式练习解析（）（），图略（），图略（）()()，图略（），图略解析（）不是，原式 ()()（）不是，原式 ()（）不是，原式 ()（）
25、是（）不是，()()解析（）()（）（）()()复数乘、除运算的三角表示及其几何意义练习解 析 （）原 式 ()()()()（）（）（）原式 ()()()()()（）原式 （）（）（）()（）原 式 （）（）（）解析 （）原 式 ()()()()（）原式 （）（）（）()（）原 式 （）()()()（）原式（）（）（）（）（）解析 ()()()()()()()习题 7.3复习巩固解析 图略（）（）（）()()（）()()（）解析（）()()（）原式 ()（）原式（）（）原式 ()解析（）原式 ()()()（）原式 ()()()（）原式 ()()()()（）原式 ()()()()解析（）原式 (
26、)()（）（）原 式 （）（）（）（）()（）原式 （）（）（）()（）（）（）原式 ()()()()()()几何解释略综合运用解析（）证明：（）（）右边（）()，()()，故 的模为 ，辐角为 ，故 的模为，辐角为 ，（），故 的模为，辐角为 ，证明（）左边 （）（）右边（）左边（）（）（）（）（）（）右边解 析 （）原 式 （）（）（）原式（）（）（）（）解析 ()（）（）逆时针方向旋转 所得的复数为 （）（）（）顺时针旋转 所得的复数为 （）（）（）拓广探索解析 向量对应的复数为 （），向量对应的复数为 （）（）（），()，()证明 如图所示，向量对应的复数 （），向量对应的复数 （），
27、向量对应的复数 （），（）（）（）（）（），（）（），（），（），复习参考题 7复习巩固答案（）（）（）（）答案（）或（）（）（）证明 设（，），则，（）（），解析 设（，且），则（）（）（）（），由题意知，所以 解析（），（）（）（）可化为 ，（），综合运用解析 解法一：，（）（）（）（）（）（）（）解法二：（），（）（）解析 解法一：（），解法二：设（，），则，（），（）（），即（）（），则有 ，（）（）（）解析（），（），拓广探索解析 由 得（）（），由复数相等的定义知，得 ，则 （）()()，()，故 的取值范围是 ，解析 向量对应的复数为（）（）（）()()()，即 点对 应 的 复
28、 数 为()()向量对应的复数为（）（）（）()()()，即 点 对 应 的 复 数 为()()第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形练习解析 略答案（）（）答案（）直五棱柱（）；三棱锥（四面体）教材习题答案解析练习解析（）圆台（）圆柱（）球（）圆锥解析（）圆柱和圆锥组合而成（）正六棱柱内挖一个圆柱解析如图，是由两个圆锥组合而成的简单组合体解析 略习题 8.1复习巩固解析 经过顶点 的棱：、经过顶点 的面：平面、平面、平面 答案（）（）（）解析（）不是台体，因为该几何体的“侧棱”的延长线不交于一点；（）（）也不是台体，因为不是由平行于棱锥和圆锥底面的平面截得的几何体解析（）由圆锥和圆台组合而
29、成的简单组合体（）由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体综合运用答案（）（）（）（）解析 剩下的几何体为五棱柱 ，截 去 的 几 何 体 为 三 棱 柱 解析这个几何体是从圆柱的上面挖去一个圆锥放到圆柱的下面拓广探索解析（）不正确虽然这个几何体满足题中条件，但这个几何体不是棱柱（）不正确如图几何体，满足题中条件，但不是棱台8.2 立体图形的直观图练习答案（）（）（）（）解析 略练习解析解析解析习题 8.2复习巩固答案（）（）（）（）解析（）（）解析解析综合运用解析解析解析 上面是一个球，下面是一个圆锥组成的几何体拓广探索解析 略8.3 简单几何体的表面积与体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习
30、解析 上表面 （），下表面 （），侧面 （）（）表 上表面下表面侧面（）解析（）（）三面红色的小立方体位于大立方体 个顶点处，共 个，每个小立方体表面积为，故表面积之和为 （）大立方体每条棱中间两个小立方体为两面红色，共有 （个）表面积之和为（）大立方体每个面中间 个小立方体为一面红色，共有 （个）表面积之和为（）六个面均没有颜色的小立方体共有 个，表面积之和为 ，占有 的空间解析 正方体 ，棱锥 ，石凳的体积 正方体棱锥 证明 设直三棱柱底面三角形三边分别为，侧棱为 则直三棱柱三个侧面积分别为，因为三角形任意两边之和大于第三边，所以任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 圆柱、圆锥、圆台、
31、球的表面积和体积练习解析 设圆锥的母线长为 ，底面半径为，圆锥侧面展开图是一个半圆，如图所示，即 由 表 （）得 ，底面直径为 解析 球 ，球 ，时，体积和表面积的数值相等解析 当 即 时，体积最大，最大体积 解析 根据长方体的体积公式可得，水槽的容积为 水槽 ，木球在 水 中 部 分 的 体 积 ()，水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为 ，故水不会从水槽中溢出习题 8.3复习巩固解析 该图形为正八面体，每个面的面积 ，则表面积 解析 设长方体的长、宽、高分别为、，则 三棱锥 ，剩余几何体的体积 长方体 三棱锥 ，所以棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为 解析 当三棱柱的侧面 水平放置
32、时，有水的部分是四棱柱形，其高即为原三棱柱的高，侧棱长 ，设当底面 水平放置时，水面高为，由已知条件，知四棱柱与三棱柱的底面面积之比为 ，不妨设四棱柱和三棱柱的底面面积分别为，（），由于两种状态下水体积相等，所以，解得 即当底面 水平放置时，水面高为 解析 圆锥 的表 面 积 ()，体积 ，挖去圆柱的半径 ，则圆柱的侧面积 ，圆柱的体积 ()，则剩下几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去圆柱的体积，即 ，体积 解析 设球的半径为 ，因为正方体的顶点都在球面上，所以正方体的体对角线是球的一条直径，如图所示，由 ，得 ，所以球的体积 ()综合运用解析 四棱
33、柱侧 （），四棱 台 的 斜 高 ()（），四棱台侧 （），故需要 瓷 砖 的 面 积 约 为 （）解析 一个六角螺母的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即 ()，螺 帽 的 个 数 为 （）解析（）以斜边所在直线为轴旋转而成的几何体的直观图如图（）（）以较长直角边所在直线为轴旋转而成的几何体的直观图如图（）所示（）以较短直角边所在直线为轴旋转而成的几何体的直观图可类比（）中所画图形（图略）设直角三角形的两直角边长分别为，（），斜边长为 则（）中所得几何体的体积为 ()，（）中所得几何体的体积为 ，（）中所得几何体的体积为 要比较，的大小，只需比较 ，的大小不妨设 ，则 ，所以 ，即 ，所以 拓
34、广探索解析 由三视图画出它的直观图如图所示，且 ，球的直径为 ，四棱台的 面上的斜高()（），四棱台的 面上的斜高()（），球 （），球 （），四棱柱侧（）（），四棱柱 （），四棱台全 四棱台侧 上底面 下底面教材习题答案 （），四棱台 （）（）奖杯的表面积 球四棱柱侧 四棱台全 （），奖杯的体积 球四棱柱 四棱台 （）奖杯的表面积约为 ，体积约为 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 平面练习答案（）（）（）解析 不共面的四点可以确定 个平面解析（）；（）；（）；空间点、直线、平面之间的位置关系练习答案（）（）解析 与 相交，与 平行，与 异面，与 异面答案（）（）（）（）解析 直线 与
35、 平行或异面理由略习题 8.4复习巩固解析（）（）答案（）（）答案（）（）（）答案（）（）平行或在平面内（）平行或相交解析 正方体各面所在平面将空间分成 部分平面 与平面 把空间分成三层，每层中竖直的四个平面将空间分成 部分，故正方体各面所在平面将空间分成 部分综合运用解析 共面理由如下：设平行直线为，则 则，共面，设为平面 设 ，则，同理 ，共面于 解析 若三条直线两两平行且不共面，则一共可以确定三个平面；若三条直线交于一点，则最多可以确定三个平面证明 如图，平面，平面 又，在平面 与平面 的交线上同理可证 和 均在这条交线上，所以，三点共线拓广探索解析 如图，把展开图还原成正方体可知 与，
36、与，与 为异面直线解析 略8.5 空间直线、平面的平行 直线与直线平行练习解析 平行理由略解析 与棱 平行的棱共 条，分别是，证明 且，四边形 为平行四边形，同理，解析 和 相似，且，直线与平面平行练习答案（）平面，平面（）平面，平面（）平面，平面 解析 直线 平面 理由如下：如图，连接 交 于点，连接，在 中，为三角形的中位线，平面，平面，平面 答案（）（）（）（）证明 ，又 ，平面与平面平行练习解析（）当 时，与 可能相交（）理由略（）可能相交（）理由略（）理由略 不正确以长方体为模型，如图，在平面 内与 平行的所有直线都与平面平行，但平面 与平面 是相交的 不正确以长方体为模型，如图，平
37、面，平面，但平面 与平面 相交 不正确以长方体为模型，如图，平面，平面，但平面 与平面相交 正确故选 证明 连接，由已知得，平面，平面，平面 连接，则，四边形 为平行四边形，平面，平面，平面 又，平面 平面 解析，理由如下：，又，又，习题 8.5复习巩固答案（）（）答案 平行或相交解析 如图解析 ，可过点 画一条直线与 平行则此线与棱 平行证明 连接 、分别是、的中点，证明（），分别是，的中点，又 平面，平面，平面（）同（）可得 平面 解析 在直线 上任取一点，过 作，则由 与 确定的平面 即为所求，如图，且，证明 ，同理，证明 ，平面，平面，平面，同理，平面 ，平面 平面 综合运用证明 连接
38、 ，分别为，的中点，四边形 为平行四边形，又，四边形 为平行四边形，同理，又 与方向相同，证明 连接 ，由、可确定平面，则，且 与 交于 ，四边形 为平行四边形 证明 设两条平行直线分别为 和，其中过直线 作平面，使其与平面 相交，交线为 ，又，又，故另一条直线也平行于这个平面解析 过点 作，交 于点，交 于点，过点 作，交 于点，过点 作，交 于点，连接，则平面 即为所求，如图所示证明 连接 交 于 点，连接，则，同理，连接，拓广探索证明 过 作平面 交 于直线，异面，与 相交，答案（）（）（）（）解析 平面 平面，有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面都易证是平行四边形（水面与
39、两平行平面的交线互相平行），（）（）是正确的在题图（）中，水面面积 ，在题图（）中，而题图（）中的 小于题图（）中的，（）是错的由（）（）的正确性知（）是正确的因为水的体积一定，形成柱体的高始终是，底面 的面积是定值，为 定 值，而 为，为定值，（）是正确的8.6 空间直线、平面的垂直 直线与直线垂直练习答案（）（）答案（）（）（）（）解析（），就是 与 所成的角，又 ，直线 与 所成的角是（），就是 与 所成的角，直线 与 所成的角是 证明取 的中点，连接，取 的中点，连接、，四边形 为平行四边形，又 ，在 中，又，直线与平面垂直练习解析 这两条直线不一定平行，它们也可以相交，也 可 以 异
40、 面 如 图 所 示，在 正 方 体中，、分别是、的中点，易知、与平面 所成的角都相等，其中，与 异面证明 平面，平面，又底面 为正方形，又，平面 解析 四棱柱 为直四棱柱，若，则 平面，又，当，即底面四边形 的对角线互相垂直时，答案（）外（）中（）垂解析连接、且 为公共边，为 的外心当 时，为 边的中点（）、（）两问的答案即证出连接、并延长分别交、于、两点教材习题答案，平面，又 ，平面，同理，点 为 三条高的交点，即点 为 的垂心练习答案 或 证明 过点、分别作，分别交 于点、连接 ，与 距离相等，即 又，四边形 为平行四边形，又，证明 证法一：取 中点，连接、，是 中点，则 又、都垂直于平
41、面，四边形 为平行四边形，则 又 是 中点，又 ，则平面 平面 又 平面，平面 证法二：取 的中点 连接、，又，四边形 为平行四边形，又 平面，平面，平面 证明 设平面，都与直线 垂直，过直线 作平面，与，分别相交于直线，又，都在平面 上，分别是平面，上任意两条交线，平面与平面垂直练习解析 如图，因为，且 根据线面垂直的判定定理，可得，又，根据面面垂直的判定定理，可得 解析 平面 平面 平面 平面 平面 平面 理由如下：平面，平面，平面，平面 平面，平面 平面由 平面，得 又，平面，平面 平面 证明 三棱柱 为正三棱柱，则 为正三角形又 为棱 中点，又 底面，又，平面，平面 平面 练习答案（）
42、（）（）错误若一平面内的已知直线垂直于另一个平面内的任意直线，则已知直线就垂直于另一平面，而一个平面内的直线与另一平面还存在平行和相交两种情况正确在另一平面内存在无数条与两平面的交线垂直的直线，而这些直线都与第一个平面的已知直线垂直错误（参考的分析）正确（参考性质定理）故选 时，不一定垂直于 是不充分条件 时，一定垂直于 是必要条件故“”是“”的必要不充分条件解析 直线 与平面 的位置关系是 理由如下：设过直线 与平面 内的一点的平面与 的交线为 ，即直线 与平面 的位置关系是习题 8.6复习巩固答案（）（）（）答案（）（）（）（）（）解析（）正确因为另一条直线与这个平面垂直，则另一条直线垂直
43、于这个平面内的任意一条直线所以另一条直线一定垂直于平面内与已知直线平行的直线故两条直线互相垂直（）正确理由略（）错误比如正方体两个相对的侧面，都垂直于底面，但两侧面平行证明（）取 中点 连接、分别为、中点，又 平面，平面，由 平面 可知，又 ，四边形 为平行四边形，又，为 中点，（）平面，又，（），又 ，平 面，平面，证明 底面，又，平面，解析 与平面、平面、平面、平面 所成的二面角均为 与平面、平面 所成的二面角均为 解析 平面 平面 理由如下：，平面，又 ，又 ，平面，平面 平面 证明 设，为两两互相垂直的直线，且它们交于公共点，确定一平面，确定一平面 ，又，同理可证，确定的平面与，都垂直
44、证明 设，在平面 内作直线 ，过 作一平面与平面 相交于直线，又，证明 ，则三个面相交于一点，设为点，过点 作直线，满足 ，且点 在平面 上，直线 在平面 内同理，在平面 内 ，综合运用证明 取 中点，连接 与 交于点 ，又 四边形 为 正 方形，为 中点，又，证明 设，确定的平面为 ，、相交，同理，证明 设两平行直线、与平面 相交于、两点，与平面 所成的角为、在，上分别取点，这两点在平面 的同侧且 ，连接 和 因为 ，所 以 四 边 形 是平行四边形所以 又 ，所以设，分别是平面 的垂线，的垂足，连接，则 在 和 中，因为 ，所 以，所以 ，即 解析 能理由如下：如图所示，平面，又，平面 平
45、面，为 的中点，解析 平面，平面，平面 证明如下：折成的四面体如图所示，由平面正方形可知，折成四面体后，平面 同理，平面，平面 证明 设、为两个平行平面，直线 交点为 过点 和平面 内任意一条直线 作平面，则 与 相交，设交线为 ，又，是 内任意一条直线，证明 设三个平面为、，在平面 上任取一点，作 于，于 由，在平面 内，同理，又、在平面 内，且相交于点，、在 内，同理，可证，三条交线两两垂直解析 由题意知，、为边长为 的正三角形取 中点，连接、，则，为二面角 的平面角，又易知 ，且 ，（）（）拓广探索证明 连接 三棱柱 为直三棱柱，四边形 为 平 行 四 边 形，平 面，又，平面，又 ，平
46、 行 四 边 形 为正方形，又 ，平面，解析 直线 与平面 垂直理由如下：是 的直径，点 是 上的动点，又 垂直于 所在的平面，在所在平面上，又 ，平面 又，分别是，的中点，平面 解析 平面 平面 证明如下：底面 为正方形，又 底面，又 ，平面，又，为 中点，又 ，平面，平面 平面 复习参考题 8复习巩固答案多面体顶点数 棱数 面数 棱柱 棱锥 棱台解析（）（）三棱柱答案（）；（）；解析（）设所截等腰三角形的底边边长为 在 中，所以 于是 依题意函数的定义域为解析 当三个平面两两平行时，可以把空间分成 部分；当两个平面平行，第三个平面分别与它们相交时；或三个平面同时交于一条直线时，可以把空间分
47、成 部分；当三个平面两两相交且不共线时，可以把空间分成 部分；当三个平面相互垂直时，可以把空间分成 部分解析（）证明：，又，三线共点（），理由如下：，又，又，又，证明 ，平面 四边形 是平行四边形，教材习题答案又 平面，平面，平面 又 ，平面 平面 平面 平面，平面 平面，同理可证，四边形 是平行四边形解析 设经过点 在上底面画直线 与 垂直 是正方体，平面，平面，又，且 ，平面，平面，故在平 面 中，画 出 经 过 点 与 垂直的直线即可证明（），分别是，的中点，又 平面，平面，平面（）底面，底面，平面，平面，平面，平面，综合运用 解 析 （）证 明：由 正 方 形 知，平面 又 平面，（）
48、连接，交 于点 正方形 的边长为，、分别为、的中点，即 ，作 底面 ，在直线 上由（）知 平面，可得 ，证明 取 的中点，在线段 上取点，使得 ，连接，因为 ，所以，且 因为，分别为，的中点，所以 是 的中位线，所以，且 又点 是 的中点，所以，且 从而 ，且 ，所 以 四 边 形 是平行四边形，故 又 平面，平面 证明（）连接、，则 又因为 平面，所以 又因为 ，所以 平面 又因为 平面，所以 同理，又因为 ，所以 平面（）连接、，由（）知，所以 为 的高的交点又因为 为正三角形，所以、为各边上的中线，所以 为 的重心解析（）证明：底面，平面 平面，平面 平面（）取 的中点，连接，由（）知平
49、面 平面，平面 平面 ，平面，则 就是 与平面 所成的角设 ，则 ，在 中，与平面 所成角的正切值是 解析（）证明：平面 平面，交线为 又底面 为正方形，平面 又 平面，又 是正三角形，是 的中点，又，平面（）取、的中点分别为、，连接、由题意知 ，为平面 与平面 的交线，又，为侧面 与底面 所成的二面角设正方形边长为，可求得 ，即侧面 与底面 所成二面角的余弦值为 拓广探索解析 略 设，则由 知，而，所以，与，为异面直线矛盾，所以平面 与平面 相交由 平面，且，可知，同理可知，所以 与两平面，的交线平行故选 第九章 统计9.1 随机抽样 简单随机抽样练习解析（）总体是一个班级的学生，个体是一个
50、学生，适合用全面调查（）总体是该地区所有的人，个体是该地区一个人，适合用抽样调查（）总体是一批炮弹，个体是一个炮弹，适合用抽样调查（）总体是水库中所有鱼，个体是水库中一条鱼，适合用抽样调查例子：调查某批灯泡的使用寿命理由：该调查具有破坏性，不宜用全面调查解析（）是等可能的（）是解析 两种情况都属于简单随机抽样，因为每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等解析 略解析 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号后的号签搅拌不均匀，会导致抽样不公平，随机数法的优点与抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍不是很方便，但比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体
51、容量较少的抽样类型练习解析 小华不一定只有当数据相差不是很大时，样本量越大对总体平均数的估计才越准确解析 略 分层随机抽样练习证明 解析 有道理统计的基本思想方法是用样本估计总体，样本对总体的代表性在能保证样本估计总体达到一定精度的前提下，样本量越小越好，操作也越方便解析（）男生有 人，女生有 人，全体学生的平均身高为 （）把多种抽样方法组合起来使用，在层内再进行分层可将男生、女生样本按身高分层按比例抽取解析 不合理色盲是伴 染色体隐性遗传病，男性发病率高于女性选择分层随机抽样时应注意，使得各层间差异明显，层内差异不大 获取数据的途径练习解析 略解析 略习题 9.1复习巩固解析（）调查范围大，
52、适合用抽样调查（）调查的范围较小，适合用全面调查（）适合用全面调查，理由略（）调查玉米种子的发芽率，是具有破坏性的调查，因而适合用抽样调查（）调查范围大，适合用抽样调查（）调查范围大，适合用抽样调查解析 是一项抽样调查样本抽取不属于简单随机抽样因为该刊物仅对其读者进行抽取调查，是定性的解析 可能性不大三种方案产生的样本有较大程度的片面性，不能保证样本产生的随机性，对总体的代表性较差解析（）是简单随机样本（）不是简单随机样本（）是简单随机样本解析 男运动员应抽取 人，女运动员应抽取 人所以男、女运动员应分别抽取 人、人综合运用证明 ，（）（）（）（），（）解析（）不能还需要各层的样本量、，则总体
53、平均数 （）证明：因为样本量按比例分配，设 ，所以解析 略解析 首先要掌握所在地区耕地的分布情况，按田间管理水平划分小区，在各小区内按土质的优劣划分等级，确定抽取比例然后用分层随机抽样按比例确定各小区的抽取数目，再用分层随机抽样确定各小区各等级的抽取数目，在各等级内用简单随机抽样抽取，最终取出样本拓广探索解析 略解析 略解析 略9.2 用样本估计总体 总体取值规律的估计练习答案（）（）解析（）由（），得 （）（）解析（），故通话时长在区间，），）内的次数分别为，（）说明通话时长在区间，）上的数据密度大于在区间，）上的数据密度解析 略练习 解 析 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示通过图
54、可以看出，该市 年 月空气质量指数在区间，）内的天数最多，在区间，）内的空气质量为优的天数次之，在区间，内的天数最少，故 月空气质量总体良好解析 略 总体百分位数的估计练习解析 由书中表 可知，月均用水量在 以下的居民用户比例约为 ；在 以下的居民用户比例约为 因此，分位数一定位于，）内，由 可以估计月均用水量的样本数据 分位数为所以居民用户月均用水量标准定为 合适解析 把 名男生的样本数据按从小到大排列，由 ，可知样本数据的第，百分位数分别为第，项数据，分别为，如果要减少估计的误差，应增加男生的样本量解析 由书中图（）可知，分位数一定位于 ，）内，由书中图 （）可知，分位数一定位于，）内，与
55、书中图 估计的结果不一样同理，在估计 分位数过程中也能发现，由书中图（）估计更加准确，因为当图中组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，得出的估计月均用水量的样本数据越准确 总体集中趋势的估计练习解析 平均数：()()()()中位数：由书中图可知，中位数在区间（，中，设 中 位 数 为，则 （），解得 第 百分位数：由书中图可知，第 百分位数一定位于区间（，中，设该数为，则（），解得 解析 因为一条公路建设投资 万元，属极端情况，大多数在 万元至 万元之间，此时平均数难以正确客观反映各项目投资的实际分布状况，不宜选用，而众数 教材习题答案万元只说明投资 万元的项目最多，不能反映其他项目的投
56、资数额中位数对极端值不敏感，能回避极端数额的影响 万元比较客观，故选中位数 万元作为平均投资金额解析 去掉一个最低分和一个最高分后的平均数分别为甲 （），乙 （），甲乙，不去掉一个最低分和一个最高分的平均数分别为甲 （），乙 （），甲乙，甲、乙两位选手排名会发生变化第一种评分办法更好，去掉一个最低分、去掉一个最高分能够防止被数据中的极端值误导，使平均数更加准确地反映数据信息 总体离散程度的估计练习解析（）（）（）（）证明（）因为 （），所以 （）（）（）（）（）（）（）（）解析 经计算可得甲 ，乙 ，甲，乙，甲乙，所以甲种水稻的产量比较稳定解析（）用科学计算器计算可得 袋白糖的平均质量标准差（
57、）有 袋所占的百分比约为 解析（）不能因为缺少男生样本量和女生样本量（）男生 女生 ，（）（）（），（）（），它们分别作为总体平均数和方差的估计不合适因为男、女生的身高差异较大，不能等量抽取样本习题 9.2复习巩固解析（）作图略从频率分布直方图分析，发现这批棉花的纤维长度不是特别均匀，有一部分棉花的纤维长度比较短，所以抽取的样品中有一部分的棉花质量较差（），则第 百分位数为第 项、第 项数据的平均值，为，第 百分位数为第 项、第 项数据的平均值，为 解析 甲机床的平均数甲 ，标准差 甲；乙机床的平均数乙 ，标准差乙 比较发现乙机床的平均数小而且标准差也比较小，说明乙机床生产出的次品比甲机床少，
58、而且更为稳定，所以乙机床的性能更好解析（）是正确的，从平均数的角度考虑（）是正确的，从标准差的角度考虑（）是正确的，从平均数和标准差的角度考虑（）是正确的，从平均数的角度考虑证明 （）（）（）（）（），因为 ，所以 证明 设，的平均数为，则 （），所有的（，）都相同综合运用解析 先查阅一下这所大学招生的其他统计信息因为中位数 分约是录取新生的平均分，分与 分差距不是很大应查录取的最低分解析 甲班数学成绩的平均数甲 ，标准差 甲，乙班数学成绩的平均数乙，标准差 乙，说明这次考试成绩，甲、乙两班平均成绩相同，但甲班学生成绩差距比较大，乙班学生成绩差距比较小，成绩比较稳定解析（）列出频率分布表如下分
59、组频数频率，），），），），）续表分组频数频率，），），），），），画出频率分布直方图如图所示：汞含量分布偏向于大于 的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于 的区域（）样本平均数，样本标准差（）不一定因为我们不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同即使各批鱼的汞含量分布相同，题中的数据只能为这个分布作出 估 计，不 能 保 证 平 均 汞 含 量 大 于（）有 条鱼的汞含量在以平均数为中心、倍标准差的范围内解析（）能因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数，现在已经知道至少有一个人的收入为 万元，那么其他员工的收入之和为 （万元），平均收入约为 万元如果再有几个收入特别高者，那
60、么其他员工的平均收入将更低年薪为 万元高于其他员工的平均收入，算高收入者（）不能要看中位数是多少（）根据这条信息可以确定有 的员工工资在 万元及以上，有 的员工工资在 万元及以上，所以可以决定受聘（）收入的中位数大约是 万元，因为受年收入 万元这个极端值的影响，使得平均数比估计出的中位数高很多解析（）总体平均数为，总体标准差约为（）可以使用抓阄法进行抽样，样本平均数和标准差的计算结果和抽取的样本有关（）结果不相同的可能性相当大，相同的可能性很小理由略（）随着样本容量的增加，用样本估计总体的精度越来越高拓广探索证明（）（），（）（）（）（）（）（）（）解析 略复习参考题 9复习巩固 易知 正确
61、不正确，例如，满足选项，但不满足题意；不正确，例如，满足选项，但不满足题意；不正确，例如，满足选项，但不满足题意，故选 解析（）一定是错误的如果数据是近似对称的，那么中位数应与平均数相同或相近答案（）该组中的数据个数；该组的频数除以全体数据总数（）解析（）这个结果只能说明 城市中光顾这家服装连锁店的人比其他人较少倾向于选择咖啡色，因为光顾这家服装连锁店的人群是一个样本，不能代表 城市其他人群的看法（）这两种调查的差异是由样本的代表性所引起的因为 城市的调查结果来自于该城市光顾这家服装连锁店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点综合运用解析 频率分布表略可以估计出句子中所含单词数的分布，以
62、及与该分布有关的数字特征，如平均数、标准差等解析（）可以用样本标准差来衡量，（）由于专业评判小组给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此小组 更像是由专业人士组成的解析（）略（）平均数 ，中位数 ，标准差 解析（）由题目可知，中位数 ，平均数，极差 ，标准差（）将 天苹果日销量由小到大排序，则，可知样本数据的第 百分位数为第 项、项数据的平均数，为 所以每天应该进 千克苹果解析 频率分布表如下：分组频数频率累计频率，（，（，（，续表分组频数频率累计频率（，（，（，（，（，（，由表可知，当把指标定为 千元时，约的推销员能完成销售指标解析 ，则第 百分位数是第 项，项数据的平均数，为，第 百分位数
63、是第 项，项数据的平均数，为，则第一档为 ，第二档为 ，第三档为 以上拓广探索解析 略第十章 概率10.1 随机事件与概率 有限样本空间与随机事件练习解析（）样本空间 男，女（）样本空间，（）样本空间 （男，男），（男，女），（女，女），（女，男）（）用 表示“中靶”，用 表示“脱靶”，则样本空间 （，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）（）样本空间，解析 （）样本空间 （正常，正常），（正常，失效），（失效，正常），（失效，失效）（）事件“电路是通路”包含的样本点是（正常，正常）（）事件“电路是断路”包含的样本点是（失效，失效）解析（）样本空间 ，（）事件 用集合表示为
64、，；事件 用集合表示为，；事件 用集合表示为，事件的关系和运算练习“至少一次中靶”表示两次射击中一次中靶，另一次没中靶或两次都中靶，其对立事件为两次都没有中靶故选 解析（）正确（）不正确（）正确（）正确（）正确（）正确（）正确（）正确（）正确（）正确 古典概型练习解析 不正确理由如下：样本空间所包含的样本点个数为，但每一个样本点的可能性不一定相等 所以这不一定是古 典 概 型 不 能 用 来计算解析 从 张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，样本空间 包含 个样本点（）设事件 “抽到的牌是”，则（）（）设事件 “抽到的牌不是”，则（）（）设事件 “抽到的牌是方片”，则（）（）设事件“抽到 或
65、 或”，则（）（）设事件 “抽到的牌既是红心又是草花”，则（）（）设事件 “抽到的牌比 大比 小”，则（）（）设事 件 “抽 到 的 牌 是 红花色”，则（）（）设事件 “抽到的牌是红花色或黑花色”，则（）解析 从 这 个数中随机选择一个数的样本空间为，所包含的样本点的个数为（）设事件 “这个数平方的个位数字为”，则事件 的样本点为，共有 个样本点，所以（）（）设事件 “这个数的四次方的个位数字为”，则事件 的样本点为，共有 个样本点，所以（）概率的基本性质练习答案（）；（）；解析（）因为 ，所以 （）（），（）（）（）因为，互斥，所以（）（）（），由于，互斥，所以，不能同时发生，即（）解析（
66、）因为明天下雨与明天不下雨是对立事件，且明天下雨的概率为，所以明天不下雨的概率为（）当事件 与事件 互斥且不对立时，（）（）；当事件 与事件 对立时，（）（）所以“如果事件 与事件 互斥，那么一定有（）（）”，这句表述是错误的答案；解析（），教材习题答案（），（），（），（），（）（）（）（），（）习题 10.1复习巩固解析（）分别用，表示蓝、黄两枚质地均匀的正四面体骰子底面上的数字，试验结果用（，）表示，则该试验的所有可能结果如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）事件 包含的样本点有（，），（，），（，），（，）；事件 包含
67、的样本点有（，），（，），（，），（，）；事件 包含的样本点有（，），（，），（，），（，）解析（）样本空间 ，（）事件 包含的所有可能结果为，（）事件 包含的所有可能结果为，解析 记“”为硬币正面朝上，记“”为硬币反面朝上（）第一次的结果记为，第二次的结果记为，用（，）表示可能的结果，则样本空间（，），（，），（，），（，），事件 包含的样本点为（，），（，），事件 包含的样本点为（，），（，）（）（）（），故选 解析（）错误互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件例如：掷一颗质地均匀的骰子，事件 “点”，事件“点”，则事件 与事件 是互斥事件，但不是对立事件（）正确（）错误例如，
68、练习的第 题，由于事件，为对立事件，所以事件，中至少有一个发生的概率（），事件，中恰有一个发生的概率（）（），所以（）（）（），所以“事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大”是错误的（）错误例如事件，是相同的，且是概率大于 的事件，那么、同时发生的概率就是（），且（），、恰有一个发生是不可能事件，其概率是，所以“事件 与事件 同时发生的概率一定比 与 中恰有一个发生的概率小”是错误的解析 ，解析 游戏：甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，所以游戏 是公平的游戏：样本空间（红，红），（红，白），（红，白），（红，红），（红，白），（红，白），（白，红），（白，红），（白，白）
69、，（白，红），（白，红），（白，白），共有 个样本点，事件“两个球同色”所包含的样本点有（红，红），（红，红），（白，白），（白，白），共 个，所以甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，所以游戏 是不公平的游戏：样本空间（红，红），（红，红），（红，白），（红，红），（红，红），（红，白），（红，红），（红，红），（红，白），（白，红），（白，红），（白，红），共有 个样本点事件“两个球同色”所包含的样本点有（红，红），（红，红），（红，红），（红，红），（红，红），（红，红），共 个甲获胜的概率为 ；乙获胜的概率为 ，所以游戏 公平综上所述，游戏公平的有游戏 和游戏 解析设事件 为“两张标签上
70、的数字为相等整数”（）当标签的选取是不放回时，样本空间（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共有 个样本点事件 所包含的样本点为 个，所以（）（）当标签的选取是有放回时，样本空间（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共有 个样本点事件 所包含的样本点为（，），（，），（，），（，），（，），共有 个，所以（）解析 样本空间 （，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）
71、，（，），共有 个样本点，这三条线段能构成一个三角形的样本点为，所以所求概率为 综合运用解析（）（）（）（）（）（）解析 样本空间 （，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共有 个样本点（）（）；（）；（）（）（）；（）（）（）（）解析 随机地取一把钥匙试着开门，若把不能开门的钥匙扔掉，则第二次能打开门的概率为 ；随机地取一把钥匙试着开门，若试过的钥
72、匙又混进去，则第二次能打开门的概率为 解析 样本空间，共有 个样本点（）女孩 得到一个职位包含的样本点为，共有 个样本点所以女孩 得到一个职位的概率为 （）女孩 和 各得到一个职位包含的样本点为，只有 个样本点，所以女孩 和 各得到一个职位的概率为 （）女孩 或 得到一个职位包含的样本点为，共有 个样本点，所以女孩 或 得到一个职位的概率为 解析（）命中 环的概率为（）命中的环数大于 环的概率为 （）命中的环数小于 环的概率为 （）命中的环数不超过 环的概率为 解析（）没有出现 点的概率为（）至少出现一次 点的概率为 （）三个点数之和为 的概率为 拓广探索解析（）区域 代表的事件为“数学、语文
73、、英语学习资料都订阅”；区域 代表的事件为“数学、语文学习资料订阅但英语学习资料没有订阅”；区域 代表的事件为“仅订阅语文学习资料”；区域 代表的事件为“没有订阅数学、语文、英语学习资料”（）事件“至少订阅一种学习资料”可表示为；事件“恰好订阅一种学习资料”可表示为 ；事件“没有订阅任何学习资料”可表示为解析 事件 包含的样本点为，；事件 包含的样本点为，（）设事件 为“这个数既能被 整除也能被 整除”，则事件 所包含的样本点为，故（）（）（）设事件 为“这个数能被 整除或能被 整除”，则事件 的概率为（）（）（）（）（）解法一：设事件 为“这个数既不能被 整除也不能被 整除”，则事件 所含的
74、样本点为，故（）解法二：设事件 为“这个数既不能被 整除也不能被 整除”，则（）（）解析（）事件概率事件，满足两两互斥，但不满足等可能性（）（）（）（）10.2 事件的相互独立性练习解析 事件 与事件 相互独立解析 ，（）（）（），（）（）（），（）（）（），（），（）（）（），（）（）（），（）（）（），即，三个事件两两独立，但（）（）（）（）解析（）甲、乙两地都降雨的概率为 （）甲、乙两地都不降雨的概率为（）（）（）解法一：至少一个地方降雨的概率为（）（）解法二：由（）知，甲、乙两地都不降雨的概率为，所以至少一个地方降雨的概率为 证明 必然事件 总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样
75、，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响所以必然事件 和不可能事件与任意事件相互独立习题 10.2复习巩固答案；解析（）（）（）；（）（）（）（）证明 假设事件，相互独立与，互斥能同时成立，即（）（）（）与（）（）（）（）（）（）（）（）同时成立所以（）（），所以（）或（），这与（），（）相矛盾，所以假设不成立，所以当（），（）时，事件，相互独立与，互斥不能同时成立综合运用解析 设事件 “甲能独立破译一份密码”，“乙能独立破译一份密码”，则（），（）（）设事件 “两人都成功破译”，则（）（）（）（）设事件“密码被成功破译”，则（）（）（）解析 设事件 “数字为奇数”，事件 “数字小
76、于”，事件 “数字为，”，则（），（），（），所以（）（）（），而（），所以（）（）（）（），但（），（），（），所以（）（）（），故不满足，两两独立拓广探索解析（）：抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空 间 （正，正），（正，反），（反，正），（反，反），：向一个目标射击两次的样本空间 （中，不中），（中，中），（不中，中），（不中，不中），：从包含 个红球、个黄球的袋子中依次任意摸出两球的样本空间 （红，红），（红，黄），（红，黄），（红，黄），（红，红），（红，黄），（红，黄），（红，黄），（黄，红），（黄，红），（黄，黄），（黄，黄），（黄，红），（黄，红），（黄，黄），（黄，黄），（黄，红
77、），（黄，红），（黄，黄），（黄，黄）（）这三个试验的共同特征：试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果这三个试验的区别：这三个试验的样本空间中的样本点不一样（）（），（），（）10.3 频率与概率 频率的稳定性练习解析（）不正确抛掷两枚硬币，样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以抛掷两枚硬币，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，只能说“出现一次正面朝上，一次反面朝上的概率为”（）不正确不能说概率为，只能说正面朝上的频率为（）正确理由略（）不正确一次试验，只能说事件发
78、生和不发生的频率各是 解析 这个游戏是公平的理由如下：掷两枚 质 地 均 匀 的 硬 币 的 样 本 空 间 （正，正），（正，反），（反，正），（反，反），则两枚硬币同时出现正面或同时出现反面的概率为 ，即甲胜的概率为 ，一个正面、一个反面的概率为 ，即乙胜的概率为 ，所以用掷两枚硬币做胜负游戏是公平的解析（）血型人数 人 频率 （）他是 型血的概率大约是 解析 事件“买福利彩票双色球中一等奖”的概率很小；事件“每个初中生都能上高中或中职学习”的概率很大 随机模拟练习解析（）（）（）用计算机产生 之间的随机数，当出现随机数为 时表示硬币正面朝上，当出现随机数为 时表示硬币反面朝上，然后产生
79、个数字，计算事件 发生的频率解析（）不可能事件它的概率为（）随机事件它的概率为 （）必然事件它的概率为（）略解析（）教材习题答案（）略（）相差不大因为概率是稳定值，而频率随着试验次数增多越来越接近于概率习题 10.3复习巩固解析（）（）（）解析 解析（）略（）比较接近存在差异的原因是频率是个波动值，跟每次试验的结果有关解析父母 血 型 的 基 因类型组合子女血型的概率综合运用解析 正确举例略解析（）放回摸球：（），（），（）不放回摸球：（），（），（）（）略（）差别不大差别不大因为在两种摸球方式下，事件，的概率相等，所以其频率的差别也不大复习参考题 10复习巩固解析（）试验的样本空间 （蓝球，
80、蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），（绿球，蓝球），（绿球，红球），（绿球，绿球）（）（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（）（蓝球，蓝球），（红球，红球），（绿球，绿球）答案（）；解析（）（）（）（）（）（）解法一：（）（）（）（）解法二：（）（）（）（）事件 与 不互斥事件 与 相互独立解析（）（）（）解析（）（）（）综合运用解析（）（）（），整理得 ，解得 或 （舍去）解析（）（）解析（）样本空间 ，共有 个样本点（）（）（）（）（）故，且 拓广探索解析（）样本点从上到下依次为，样 本 空 间 ，（）李明第二次答题通过面试的概率为 （）李明最终通过面试的概率为 解析 如果摸到的是红球，则选择的是 号盒子理由如下：选择 号盒子摸到的是红球的概率为 ；选择 号盒子摸到的是红球的概率为 所以如果摸到的是红球，则选择的是 号盒子
