1、配餐作业(三十一)等比数列及其前n项和一、选择题1(2016南昌模拟)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24B0C12 D24解析：由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24。答案：A2(2016福州模拟)已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为()A. BC. D解析：当n1时，a1S1x，当n2时，anSnSn1x(3n13n2)2x3n2，因为an是等比数列，所以a1，由得x，解得x。答案：C3(2016昆明模拟)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是(
2、)A2 BC D.解析：根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，a3a70，所以a30，a70，即a50，由a3a7a，所以a5。答案：B4已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则()A4n1 B4n1C2n1 D2n1解析：由除以可得2，解得q，代入得a12，an2n1，Sn4，2n1，选D。答案：D5等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35解析：由题意可知a5a6a4a7，又a5a6a4a718得a5a6a4a79，而log3a1log3a2log3a10lo
3、g3(a1a2a10)log3(a5a6)5log395log331010。答案：B6已知各项均为正数的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，则2a7a11的最小值为()A16 B8C2 D4解析：由题意知a40，a140，a4a148，a70，a110，则2a7a112228，当且仅当即a72，a114时取等号，故2a7a11的最小值为8，故选B。答案：B二、填空题7在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_。解析：设公比为q，则由a8a62a4，得a1q7a1q52a1q3，q4q220，解得q22(q21舍去)，所以a6a2q44。答案：48等比数列a
4、n的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_。解析：由等比数列的性质可知a1a5a2a4a，于是，由a1a54得a32，故a1a2a3a4a532，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2325。答案：59(2016徐州模拟)若等比数列an满足：a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_。解析：由a2a420，a3a540，得即解得q2，a12，所以Sn2n12。答案：22n12三、解答题10(2016河南八市质检)已知递增的等比数列an的前n项和为Sn，a664，且a
5、4，a5的等差中项为3a3。(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn。解析：(1)设等比数列an的公比为q(q0)，由题意，得，解得，所以an2n。(2)因为bn，所以Tn，Tn，所以Tn，故Tn。11(2016天津模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S1,2S2,3S3成等差数列，且S4。(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn。解析：(1)设等比数列an的公比为q。因为S1,2S2,3S3成等差数列，所以4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)，所以a23a3，所以q。又S4，即，解得a11，所以ann1。(2)证明：由(1)得Sn。12
6、(2016华中师大附中期中)已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1b12，b454，a1a2a3b2b3。(1)求数列an和bn的通项公式；(2)数列cn满足cnanbn，求数列cn的前n项和Sn。解析：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，由b4b1q3，得q327，从而q3，bn23n1。又a1a2a33a2b2b361824，a28，da2a1826，ana1(n1)d26(n1)6n4。an6n4，bn23n1。(2)cnanbn4(3n2)3n1。令Sn4130431732(3n5)3n2(3n2)3n1，则3Sn4131432733(3n5)3n1(3n2)3n。两式相减得2Sn4133133233n1(3n2)3n，2Sn132333n(3n2)3n2(76n)3n7。Sn7(6n7)3n。