1、高一数学下学期期末备考基本不等式知识点知识点总结：1重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当 ab 时等号成立)2基本不等式ab ab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时等号成立；(3)其中ab2叫做正数 a，b 的算术平均数，ab叫做正数 a，b 的几何平均数.3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果 x，y(0，)，且 xyP(定值)，那么当 xy 时，xy 有最小值 2P(简记：“积定和最小”)(2)如果 x，y(0，)，且 xyS(定值)，那么当 xy 时，xy 有最大值S24(简记：“和定积最大”)4常用的几个重要不等式(1)a
2、b2ab(a0，b0)(2)abab22(a，bR)(3)ab22a2b22(a，bR)(4)baab2(a，b 同号)以上不等式等号成立的条件均为 ab5、利用基本不等式求最值问题的解题策略(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式(3)“当且仅当 ab 时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它
3、往往会导致解题错误(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致(5)注意基本不等式成立的条件是 a0，b0，若 a0，b0，b0，再运用基本不等式求解考点练习考点一、通过配凑法求最值例 1、若函数 f(x)x1x2(x2)在 xa 处取得最小值，则 a 等于()A12B13C3D4【答案】Cx2，x20，f(x)x1x2(x2)1x222x21x22224，当且仅当 x21x2，即(x2)21 时等号成立，解得 x1 或 3.又x2，x3，即 a 等于 3 时，函数 f(x)在 x3 处取得最小值练习、(2019山东济宁月考)已知 0 x1，则 x(33x)取得最大
4、值时 x 的值为()A13B12C34D23【答案】B0 x1，x(33x)3x(1x)3212xx34.当且仅当 x1x，即 x12时，“”成立练习、(2018湖北荆州期末)已知 x54，则 f(x)4x214x5的最大值为_.【答案】1因为 x0，则 f(x)4x214x554x154x 3231.当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x214x5的最大值为 1.考点二、通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值例 2、(2019山东聊城检测)已知 a0，b0，且 2ab4，则1ab的最小值为()A14B4C12D2【答案】Ca0，b0，42ab22ab，ab2，1
5、ab12，等号在 a1，b2 时成立练习、已知 a0，b0，ab1，则1a1b的最小值为_.【答案】4a0，b0，ab1，1a1babaabb2baab22baab4，即1a1b的最小值为 4，当且仅当 ab12时等号成立考点三、通过消元法利用基本(均值)不等式求最值例 3、已知正实数 x，y 满足 xy2xy4，则 xy 的最小值为_.【答案】263因为 xy2xy4，所以 x4yy2.由 x4yy20，得2y0，则 0y4，所以 xy4yy2y6y2(y2)3263，当且仅当6y2y2(0y4)，即 y62 时取等号练习、(2019广东梅州月考)设 a，b，c 均为正数，满足 a2b3c0
6、，则b2ac的最小值是_.【答案】3a2b3c0，ba3c2，b2aca29c26ac4ac6ac6ac4ac3，当且仅当 a3c 时取“”知识总结6、用基本不等式求实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解考点练习考点四、基本不等式的实际应用例 4、(2019山东聊城月考)某化工企业 2018 年年底将投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费
7、，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用为 y(单位：万元)(1)用 x 表示 y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解(1)由题意得 y1000.5x2462xx，即 yx100 x1.5(xN*)(2)由基本不等式得：yx100 x1.52x100 x1.521.5，当且仅当 x100 x，即 x10 时取等号故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备练习、(2018四川成都期末)某学校为了支持生物课程基地研究植物生
8、长，计划利用学校空地建造一间室内面积为 900 m2 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为 x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为 S(单位：m2)(1)求 S 关于 x 的函数关系式；(2)求 S 的最大值解(1)由题设，得 S(x8)900 x22x7 200 x916，x(8，450)(2)因为 8x450，所以 2x7 200 x22x7 200 x240，当且仅当 x60 时等号成立，从而 S676.故当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为 676m2.
