1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。12常用逻辑用语12.1命题与量词1.命题定义可供真假判断的陈述语句分类真命题:判断为真的语句假命题:判断为假的语句注意数学中的命题,经常借助符号和式子来表达一个命题,要么是真命题,要么是假命题,不能同时既是真命题又是假命题2.全称量词与全称量词命题(1)全称量词:“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“”表示.(2)全称量词命题:含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(3)符号表示:“对集合M中的所有元素x,r(x)”.可简记为:xM
2、,r(x).常见的全称量词还有哪些?提示:常见的全称量词还有“一切”“全部”“任给”“凡是”等.3.存在量词与存在量词命题(1)存在量词:“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“”表示.(2)存在量词命题:含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)符号表示:“存在集合M中的元素x,s(x)”.可简记为:xM,s(x).常见的存在量词还有哪些?提示:常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”等.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.()(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元
3、素具有某种性质的命题.()(3)全称量词命题一定含有全称量词.()提示:(1).全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.(2).存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.(3).有些命题虽然没有写出全称量词,但其意义具备“任意性”,这类命题也是全称量词命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的.2.下列语句是命题的是()三角形内角和等于180;23;一个数不是正数就是负数;x2;2021央视春晚真精彩啊!A.B.C.D.【解析】选A.,是陈述句,且能判断真假,因此是命题,不能判断真假,是感叹句
4、,故,不是命题.3.(教材例题改编)下列四个命题中的真命题为()A.xZ,14x0【解析】选D.当xR时,x2+x+2=+0.类型一判断命题的真假(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.能说明命题“对于任何实数a,|a|-a”是假命题的一个反例可以是()A.a=-2B.a=C.a=1D.a=2.下列命题是真命题的是()A.空集是任何集合的真子集B.等腰三角形是锐角三角形C.函数y=ax2+x+1是二次函数D.若a(AB),则aB【思路导引】1.举反例说明一个命题是假命题,就是所举例子满足命题题设,而不满足结论.2.由真子集的定义、等腰三角形的特征、二次函数的定义以及集合的运算即可得出选项.【解析】1
5、.选A.说明命题“对于任何实数a,|a|-a”是假命题的一个反例可以是a=-2,当a=-2时,|a|=-a.2.选D.空集是任何非空集合的真子集,故选项A错误;等腰三角形顶角可以为钝角,故选项B错误;函数y=ax2+x+1,当a=0时是一次函数,故选项C错误;若a(AB),则a是集合A,B的公共元素,所以aB.判断一个命题真假的方法(1)判断一个命题是真命题,可从公理或定理出发,用逻辑推理的方法证明.(2)判断一个命题是假命题,首先分清原命题的条件与结论,然后举反例说明这个命题是假命题,就是所举例子满足命题条件,而不满足结论.判断下列命题的真假:(1)一个角的补角必大于这个角.(2)一个有理数
6、必有两个平方根.(3)直径所对的圆周角是直角.(4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.(5)等式两边都加同一个数,结果仍是等式.【解析】(1)是假命题,例如设这个角是90,它的补角是90,而90=90.(2)是假命题,例如有理数-1没有平方根.(3)是真命题,这是关于圆周角的结论.(4)是假命题,两条平行直线被第三条直线所截,同位角才相等.(5)是真命题,这是等式的性质.【补偿训练】判断下列命题的真假:(1)全等的三角形必相似.(2)同角或等角的补角相等.(3)互为相反数的两个数相加得0.(4)若ab=0,则a+b=0.【解析】(1)是真命题,全等的三角形对应角相等,可推出相似.(2)是真
7、命题,互补的两个角和为180,由此可推出同角或等角的补角相等.(3)是真命题,由相反数的定义可知此命题是真命题.(4)是假命题,若a=0,b=4,ab=0,但a+b0.类型二全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.下列命题中,是全称量词命题的有.(填序号)至少有一个x,使x2+2x+1=0成立;对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;存在x,使x2+2x+1=0成立;矩形的对角线垂直平分.2.下列四个命题:没有一个无理数不是实数;空集是任何一个非空集合的真子集;1+12;至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数,其中
8、是真命题的为()A.B.C.D.【思路导引】1.有全称量词的是全称量词命题,有存在量词的是存在量词命题,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.2.根据实数的分类可判断为真命题,根据空集的性质可判断为真命题,根据实数的运算可判断为假命题,通过举例可得为真命题.【解析】1.和中用的是存在量词“至少有一个”“存在”,属于存在量词命题;和用的是全称量词“任意的”,属于全称量词命题,所以,是全称量词命题;中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”,是全称量词命题.答案:2.选C.因为实数由无理数和有理数构成,故所有无理数都是实数,为真命题;因为空集是任何非空集合的真子集,故为真命题;因为1+1=2
9、,故为假命题;取x=1,则x2-x+1=1是整数,故为真命题.全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断.要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题的真假判断.要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.【补偿训练】指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)在平面直角坐标系中
10、,任意有序实数对(x,y)都对应一点.(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.(3)x,yZ,使3x-4y=20.(4)任何数的0次方都等于1.【解析】(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,30-4(-5)=20成立,所以该命题是真命题.(4)全称量词命题.0的0次方无意义,所以该命题是假命题.类型三全称量词命题与存在量词命题的应用(数学运算、逻辑推理)【典例】1.若“xR,x2+2x-a0”是真
11、命题,求实数m的取值范围.【思路导引】1.利用0求a的范围.2.参数与变量分离,求函数y=-(x-1)2+1的最大值.【解析】1.若“xR,x2+2x-a0,即4+4a0,解得a-1,则实数a的取值范围是a|a-1.答案:a|a-12.p:“xR,x2-2x+m0”是真命题,即m-x2+2x=-(x-1)2+1,xR恒成立,设函数y=-(x-1)2+1,由二次函数的性质知,当x=1时,y最大值=1,所以my最大值=1,即实数m的取值范围是(1,+).利用含量词的命题的真假求参数的取值范围(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x20),确定参数的取值范围
12、.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.【补偿训练】(2021营口高一检测)“xR,都有kx2+1恒成立”是真命题,则实数k的取值范围是.【解析】因为x2+11,即x2+1的最小值为1,要使“kx2+1恒成立”,只需k(x2+1)min,即k1.答案:k11.下列命题中,真命题共有()面积相等的三角形是全等三角形;若xy=0,则|x|+|y|=0;若ab,则a+cb+c;矩形的对角线互相垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.,是假命题,是真命题.2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A.锐角三角形的内角是锐角
13、或钝角B.至少有一个实数x,使x20C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使2【解析】选B.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有0,所以D是假命题.3.下列命题中是真命题的是()A.xR,x2+13D.xQ,x2Z【解析】选B.A是假命题.因为xR,x2+11;B是真命题.当x=1时,3x+1=4是整数;C是假命题.如x=2时,|x|3;D是假命题.如x=,x2Z.4.已知命题p:“x0,mx0”是真命题,则实数m的取值范围是.【解析】因为“x0,若p是假命题,p是真命题,则实数m的取值范围为.【解析】若p是假命题,当x=1时,12+21-m0,解得m3,若p是真命题,当x=2时,22+22-m0,解得m8,求交集后实数m的取值范围为3,8).答案:关闭Word文档返回原板块