1、第二节 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2都与x轴_垂直k1k2基础梳理(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率都存在，分别设为k1，k2，则l1l2_.k1k212.三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2_.特别地，原点(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP_.222121xxyy22xy1.(2011西安调研)已知两条直线yax2和 y(a2)x1互相垂直，则a等于_.1基
2、础达标解析：两条直线互相垂直，a(a+2)=-1，a=-1.2.(必修2P84习题2.1(2)第1题改编)直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是_.3x2y10解析：由题意知，直线l的斜率为-，因此直线l的方程为y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0.32323.(2011苏州质检)直线xay30与直线ax4y60平行的充要条件是a_.2解析：由两条直线平行可知a=-2.24063aa 4.若点P(a,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则实数a的值为_.3解析：由=4得a=7或-3，又2a+3-30，得a0，a=-3.|49 1
3、|5a 5.(必修2P94习题2.1(3)第6题改编)若点P(a，b)在直线x-y+2=0上，则的最小值是_22解析：的最小值，就是原点O到直线x-y+2=0的距离d=.22ab|002|22【例1】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，a2)(1)若l1l2，求实数a的值；(2)若l1l2，求实数a的值分析：由C，D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在，由A，B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在，因此要注意对a的取值进行讨论在(1)中首先考虑斜率是否存在，还要排除两直线重合的情况；在(2)中，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0.
4、经典例题题型一 两条直线位置关系的判定和应用解：设直线l2的斜率为k2，则k2.(1)若l1l2，则l1的斜率存在，且k1k2.又k1 ，所以解得a1或a6.经检验，当a1或a6时，l1l2都成立(2)若l1l2，当k20时，此时k1也存在，且a0，k1，当k10时，a2，k2，均不符合题意；22123aa 3a22134aaaa243aaa 1223 已知直线l1：3mx8y3m100和l2:x6my40，问：m为何值时，(1)l1与l2相交；(2)l1与l2平行；(3)l1与l2垂直变式11 解：当m0时，l1：8y100，l2：x40，l1与l2垂直；当m0时，l1：l2：由而无解综上所
5、述，(1)m时，l1与l2相交；(2)m时，l1与l2平行；(3)m0时，l1与l2垂直3103;88mmyx 12.63yxmm 2323312 103228,8638333mmmmmm 或31186mm【例2】(2011江苏镇江模拟)已知两条直线l1：2xya0(a0)，直线l2：4x2y10，且l1与l2的距离是.求a的值分析：直接利用两平行直线间的距离公式求解即可7 510题型二 距离问题解：l2：4x2y10，l2：2xy0，l1与l2距离为d，解得a3或a4.又a0，a3.127 510125a 已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，求一点P使|PA|PB|，且点P
6、到l的距离等于2.3 142 变式21解：设点P的坐标为P(a，b)，A(4，3)，B(2，1)，AB的中点M的坐标为(3，2)，AB的斜率kAB1，所以AB的中垂线方程为y2x3，即xy50.而点P(a，b)在直线xy50上，故ab50.又已知点P到l的距离为2，得2.解，组成的方程组，得或于是P(1，4)和P为所求的点2243243ab14ab 27787ab【例3】求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程分析：本题可以先求交点坐标，然后由直线间的位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解题型三 交点及直线系问题解：方法
7、一：由，得l1，l2的交点P(1,2)又l3的斜率k3，l的斜率k，l：y2(x1)，即5x3y10.32105210 xyxy 3553方法二：ll3，故设l：5x3yC0.又l1，l2的交点可以求得为P(1,2)5(1)32C0，C1，l：5x3y10.方法三：l过l1，l2的交点，故设l：3x2y1(5x2y1)0，R，不包含l2，化简得(35)x(22)y(1)0.ll3，解得，代入上式整理，得l：5x3y10.经检验l2不符合所求直线l的条件15355223 已知直线l：(2ab)x(ab)yab0.证明直线l过某定点，并求该定点的坐标解：将直线l的方程化为：a(2xy1)b(xy1
8、)0，无论a，b如何变化，该直线系都恒过直线2xy10与直线xy10的交点，由得直线l过定点Q(2,3)变式31【例4】已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线l关于点A对称的直线l的方程分析：求对称直线的方程，一是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决题型四 对称问题解：(1)设点A关于l的对称点是A(x，y)，解得，A .(2)设点Q(a，b)是直线l上任意一点，点Q(a，b)关于点A(1，2)的对称点为Q(x，y)，则解得因为点Q(a，b)在直线l上，即2(2x)3(4y)10，化简得：2x3y90，即为直线l的方程2 211 31
9、2231022yxxy 3313413xy 33 4,13 1324.axby 1222axby 光线通过点A(2,4)，经直线l：2xy70反射，若反射线通过点B(5,8)求入射线和反射线所在的直线方程.变式41解：如图所示，已知直线 l：2xy70，设光线 AC经l上点C反射为BC，则12.再设 A关于l的对称点为A(a，b)，则13，23，则B，C，A 三点共线.AAl且AA的中点在l上，解得即A(10，2).直线AB的方程为y2(x10)，即2xy180.直线AB与l的交点为C ，入射线AC的方程为y4(x2)，即2x11y480.入射线方程为2x11y480，反射线方程为2xy180.11422524 25 11,4224270224 212abba 102ab 【例】讨论直线axy20与xay30的位置关系易错警示1a1a错解 两直线的斜率分别是k1a，k2，k1k2a1.两直线垂直正解：若a0，则两直线方程分别为y2和x3，显然两直线垂直；若a0，由k1k2a1知两直线垂直综上可知，题目中的两直线垂直1a(2010 上海)圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.解析：圆心(1,2)到直线3x4y40的距离为3.知识准备：1.圆心坐标的求法；2.点到直线的距离公式的应用链接高考3 14 245