1、福建省福州一中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题（共8小题）.1已知直线l1；2x+y20，l2：ax+4y+10，若l1l2，则a的值为（）A8B2CD22设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a50，则等于（）A11B5C8D113已知两条直线m，n，两个平面，m，n，则下列正确的是（）A若，则mnB若，则mC若，则nD若，则mn4函数f（x）的最大值为（）ABCD15直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D906已知两定点A（2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|2|PB|，
2、点Q是圆（x2）2+（y3）23上的动点，则|PQ|的最大值为（）A5B5+C3+2D327海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点的距离为（）A80B80C160D808已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA平面ABC，PAABBC2，PB与平面PAC所成的角为30，则球O的表面积为（）A6B12C16D48二、多项选择题（共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题
3、目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）.9下列结论正确的是（）AB若ab0，则C若x（x2）0，则log2x（0，1）D若a0，b0，a+b1，则10设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a6a71，则下列结论正确的是（）A0q1B0a6a81CSn的最大值为S7DTn的最大值为T611瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A（4，0），B（0，4），其欧拉线方程为xy+20，则顶点C的坐标可以是（
4、）A（2，0）B（0，2）C（2，0）D（0，2）12已知正方体ABCDA1B1C1D1，过对角线BD1作平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，下列正确的是（）A平面分正方体所得两部分的体积相等B四边形BFD1E一定是平行四边形C平面与平面DBB1不可能垂直D四边形BFD1E的面积有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），且x2x115，则a 14如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 15已知数列an的前n项和为Sn，a11，an+1+2Sn+1Sn0，则a3 ，Sn 16在ABC中
5、，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin2A+cosB1，则的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在平行四边形ABCD中，A（1，4），B（2，3），C（2，2）（1）求直线AD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积18已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，S315，an0，d1，且_从“a21为a11与a3+1的等比中项”，“等比数列bn的公比q，b1a2，b3a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列an存在并作答（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn19如图
6、，四棱锥PABCD的底面是菱形，ABAC2，PA2，PBPD（1）证明：平面PAC平面ABCD；（2）若PAAC，M为PC的中点，求三棱锥BCDM的体积20如图，在ABC中，AB2，cosB，点D在线段BC上（1）若ADC，求AD的长；（2）若BD2DC，ACD的面积为，求的值21习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的
7、维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元（1）每台充电桩第几年开始获利？（）（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大22已知圆C1：（x4）2+（y2）220与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PMPN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1已知直线l1；2x+y20，l2：ax+4y+10，
8、若l1l2，则a的值为（）A8B2CD2【分析】由直线方程分别求出l1、l2的斜率，再由l1l2得斜率之积为1，列出方程并求出a的值解：由题意得，l1：2x+y20，l2：ax+4y+10，则直线l1的斜率是2，l2的斜率是，l1l2，（）（2）1，解得a2，故选：D2设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a50，则等于（）A11B5C8D11【分析】由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得解：设等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得8a2+a58a1q+a1q40，解得q2，故11故选：D3已知两条直线m，n，两个平面，m，n，则下列正确的是（）A若，则mnB若，则mC若，则nD若
9、，则mn【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可解：对于A，由，n，所以n；又m，所以nm，A正确；对于B，由m，且，得出m，或m，所以B错误；对于C，由n，且时，得出n或n，所以C错误；对于D，m，时，m可能与平行，也可能相交，也可能在内；，且n，则n或n，所以mn不一定成立，D错误故选：A4函数f（x）的最大值为（）ABCD1【分析】分子、分母同除以分子，出现积定、和的最值，利用基本不等式解得解：当x0时，f（x）0当x0时，当且仅当，即x1时取等号x1时，函数的最大值为故选：B5直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则
10、异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D90【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角解：延长CA到D，使得ADAC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1DA1BDBAB，则三角形A1DB为等边三角形，DA1B60故选：C6已知两定点A（2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|2|PB|，点Q是圆（x2）2+（y3）23上的动点，则|PQ|的最大值为（）A5B5+C3+2D32【分析】设出P的坐标，利用|PA|2|PB|求动点P的轨迹，画
11、出图形，数形结合得答案解：设点P（x，y），由|PA|2|PB|，得，所以P的轨迹方程为x2+y24x0，即（x2）2+y24又点Q是圆（x2）2+（y3）23，如图，由图可知，圆（x2）2+y24上，当P为（2，2）时，P到（2，3）距离最大为5，又圆（x2）2+（y3）23的半径为，|PQ|的最大值为故选：B7海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点的距离为（）A80B80C
12、160D80【分析】根据题意画出图形，BCD中利用正弦定理求出BD的值，ACD中利用等角对等边求出AD的值，再在ABD中由余弦定理求出AB的值解：如图所示：BCD中，CD80，BDC15，BCDACB+DCA120+15135，CBD30，由正弦定理，得，解得BD80，ACD中，CD80，DCA15，ADCADB+BDC135+15150，CAD15，ADCD80，ABD中，由余弦定理，得AB2AD2+BD22ADBDcosADB802+（80）228080cos1358025，AB80，即A，B两点间的距离为80，故选：D8已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA平面ABC，PAAB
13、BC2，PB与平面PAC所成的角为30，则球O的表面积为（）A6B12C16D48【分析】由题意画出图形，可得底面三角形ABC为等腰直角三角形，找出三棱锥PABC的外接球的球心，进一步求得半径，代入球的表面积公式得答案解：如图，由PA平面ABC，得平面PAC平面ABC，取AC中点H，连接BH，PH，则BHAC，可得BH平面PAC，则BPH30，PAAB2，PB2，得BH，求得AHHC，则H为底面三角形ABC的外心，过H作HO底面ABC，且HOPA（O在球内部），则O为三棱锥PABC的外接球的球心，可得球O的表面积为4R24312故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小
14、题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列结论正确的是（）AB若ab0，则C若x（x2）0，则log2x（0，1）D若a0，b0，a+b1，则【分析】A，当x0时，x+2；B，当ab0时，根据函数yx3的单调性即可判定；C，可得0x2，由ylog2x的图象即可判定；D，由ab，即可判定解：对于A，当x0时，x+2，故错；对于B，当ab0时，则，故正确；对于C，若x（x2）0，则0x2，则log2x（，1），故错；对于D，若a0，b0，a+b1，则有ab，即，故正确故选：BD10设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足
15、条件a11，a6a71，则下列结论正确的是（）A0q1B0a6a81CSn的最大值为S7DTn的最大值为T6【分析】由条件a11，a6a71，可得：1a6，0a71即可判断出结论解：由条件a11，a6a71，可得：1a6，0a71q（0，1），a6a8（0，1），Sn中没有最大值，Tn的最大值为T6则下列结论正确的是ABD故选：ABD11瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A（4，0），B（0，4），其欧拉线方程为xy+20，则顶点C的坐标可以是（）A（2，0
16、）B（0，2）C（2，0）D（0，2）【分析】利用重心与三个顶点的关系代入欧拉线方程可得C的横坐标与纵坐标的关系，即可得结果解：设C（a，b），由欧拉线的定义知重心在xy+20上，重心可以有三角形三个顶点坐标表示，即为，ab20，故选：AD12已知正方体ABCDA1B1C1D1，过对角线BD1作平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，下列正确的是（）A平面分正方体所得两部分的体积相等B四边形BFD1E一定是平行四边形C平面与平面DBB1不可能垂直D四边形BFD1E的面积有最大值【分析】利用正方体的对称性即可判断A正确；由平行平面的性质可判断B正确；当E、F为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，
17、判断C错误；当E与A重合，F与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，判断D正确解：如图所示，对于A，由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，A正确；对于B，因为平面ABB1A1CC1D1D，平面BFD1E平面ABB1A1BF，平面BFD1E平面CC1D1DD1E，所以BFD1E，同理可证D1FBE，所以四边形BFD1E是平行四边形，B正确；对于C，当E、F为棱中点时，EF平面BB1D，又因为EF平面BFD1E，所以平面BFD1E平面BB1D，所以C错误；对于D，当E与A重合，F与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，所以D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每
18、小题5分，共20分.13关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），且x2x115，则a【分析】关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），则x1，x2是一元二次方程x22ax8a20（a0）的实数根，利用根与系数的关系即可得出解：关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），x1，x2是一元二次方程x22ax8a20（a0）的实数根，4a2+32a20x1+x22a，x1x28a2x2x115，1524a2+32a2，又a0解得a故答案为：14如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为28【分析】由题意可知，该几
19、何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积圆锥S侧rl8，圆柱侧面+圆柱底面积42r+r216+420，该几何体的表面积为28故答案为2815已知数列an的前n项和为Sn，a11，an+1+2Sn+1Sn0，则a3，Sn【分析】利用已知条件推出是等差数列，然后求解通项公式，再求解Sn解：数列an的前n项和为Sn，a11，an+1+2Sn+1Sn0，则Sn+1Sn2SnSn+1（nN*），可得2，所以是等差数列，首项为1，公差为2，所以2n1，Sn，nNa3S3S2故答案为
20、：；16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin2A+cosB1，则的取值范围为（2，3）【分析】由条件可得B2A，C3A，可求出A的取值范围，利用正弦定理可得2cosA+1，根据A的取值范围可得的取值范围解：因为2sin2A+cosB1，所以cosB12sin2Acos2A，因为A、B（0，），所以B2A，由正弦定理2cosA+1，因为0B2A，0C3A，所以0A，故cosA（，1），则2cosA+1（2，3），故（2，3），故答案为（2，3）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在平行四边形ABCD中，A（1，4），B（2，3）
21、，C（2，2）（1）求直线AD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积【分析】（1）借助于线段AC的中点也为线段BD的中点求出D的坐标；（2）求出点A到直线BC的距离d，和线段BC的长度，BC与d的乘积即为平行四边形ABCD的面积解：如图所示：（1）AC中点为（，1），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得：，则D（5，1），直线AD的方程为：y4（x+1），即5x4y+210；（2）直线BC的方程为：y3（x2），化简得：5x4y+20，点A（1，4）到BC的距离为：d，又BC，平行四边形ABCD的面积为：BCd1918已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，S315，an0，d1，
22、且_从“a21为a11与a3+1的等比中项”，“等比数列bn的公比q，b1a2，b3a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列an存在并作答（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn【分析】（1）若选，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；若选，由等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，判断不符题意；（2）把（1）中求得的数列an的通项公式代入，再由数列的裂项相消求和，计算可得Tn解：（1）若选，a21为a11与a3+1的等比中项，则，由an为等差数列，S315，得3a215，a
23、25，把a25代入上式，可得（4d）（6+d）16，解得d2或d4（舍）a13，an2n+1；若选，等比数列bn的公比q，b1a2，b3a3，可得b3b1q2，即a3a2，即有（a1+2d）（a1+d），又S315，可得3a1+32d15，即a1+d5，解得d1，不符题意，故选，此时an2n+1；（2），Tn（+）（）19如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，ABAC2，PA2，PBPD（1）证明：平面PAC平面ABCD；（2）若PAAC，M为PC的中点，求三棱锥BCDM的体积【分析】（1）设BD交AC于点O，连接PO，证明ACBD，POBD，再由线面垂直的判定可得BD平面PAC，进一步得到平面
24、PAC平面ABCD；（2）连接OM，证明OM平面ABCD，再由等积法求三棱锥BCDM的体积【解答】（1）证明：设BD交AC于点O，连接PO，在菱形ABCD中，ACBD，又PBPD，O是BD的中点，POBD，ACPOO，AC平面PAC，PO平面PAC，BD平面PAC，又BD平面ABCD，故平面PAC平面ABCD；（2）解：连接OM，M为PC的中点，且O为AC的中点，OMPA，由（1）知，BDPA，又PAAC，则BDOM，OMAC，又ACBDO，OM平面ABCD，又，OM，三棱锥BCDM的体积为120如图，在ABC中，AB2，cosB，点D在线段BC上（1）若ADC，求AD的长；（2）若BD2DC
25、，ACD的面积为，求的值【分析】（1）ABD中，由正弦定理可得AD的长；（2）利用BD2DC，ACD的面积为，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，利用正弦定理可得结论解：（1）ABC中，cosB，sinBADC，ADBABD中，由正弦定理可得，AD；（2）设DCa，则BD2a，BD2DC，ACD的面积为，4，a2AC4，由正弦定理可得，sinBAD2sinADB，sinCADsinADC，sinADBsinADC，421习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年中国的汽
26、车总销量将达到3500辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元（1）每台充电桩第几年开始获利？（）（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大【分析】（1）设第n年的维修费用为an，求出an的前n项和，得出前n年的总利润f（n），令f（n）0得出n的范围即可；（2）根据基本不等式求出的最大值即可解：（1）设第n年的维修费用为an，则an是以1000为首项，以400为公差的等差数列，设an的前n项和为Sn，则Sn1000n+40020
27、0n2+800n，设一台充电桩前n年的累计利润为f（n），则f（n）6400n200n2800n12800200（n228n+64），令f（n）0，可得n228n+640，解得：142n14+2，即2.6n25.4，每台充电桩从第3年起开始获利（2）每台充电桩的平均年利润为200（n+28），n+216，当且仅当n即n8时取等号，200（1628）2400，当且仅当n8时取等号每台充电桩在第8年时，年平均利润最大22已知圆C1：（x4）2+（y2）220与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点
28、为N，在平面内是否存在定点P使得PMPN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由【分析】（1）由（x4）2+（y2）220，令x0，解得y0或4圆C2过0，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）直线C2O的方程为：yx，即x2y0利用直线C20与圆C1相切的性质即可得出（2）存在，且为P（3，4）设直线OM的方程为：ykx代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x0可得M的坐标同理可得N的坐标设P（x，y），线段MN的中点E，利用kPEk1即可得出解：（1）由（x4）2+（y2）220，令x0，解得y0或4圆C2过O，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）直线C2O的方程为：yx，即x2y0直线C2O与圆C1相切，解得a1，圆C2的方程为：（x+1）2+（y2）2，化为：x2+y2+2x4y0（2）存在，且为P（3，4）设直线OM的方程为：ykx代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x0xM，yM代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2（8+4k）x0xN，yN设P（x，y），线段MN的中点E则k1，化为：k（4y）+（3x）0，令4y3x0，解得x3，y4P（3，4）与k无关系在平面内是存在定点P（3，4）使得PMPN始终成立
