1、四川省宜宾市高中 2020 届高三数学第一次诊断测试试题 文（含解析）1.已知集合 U1，3，4，5，7，9，A1，4，5，则UA（）A.3，9 B.7，9 C.5，7，9 D.3，7，9【答案】D【解析】【分析】利用补集的运算,直接求出 A 在 U 中的补集即可.【详解】解:因为集合 U1,3,4,5,7,9,A1,4,5,所以3,7,9U A.故选:D.【点睛】本题考查了补集的运算,属基础题.2.已知 i 是虚数单位，复数 m+1+（2m）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是（）A.（，1）B.（1，2）C （2，+）D.（，1）（2，+）【答案】A【解析】【分析】根
2、据复数对应的点在第二象限,可得1 020mm ,然后解不等式组得到 m 的取值范围.【详解】解:因为复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限,所以1 020mm ,解得 m1.所以实数 m 的取值范围为(,1).故选:A.【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题.3.已知向量a 1m，2,1b r且abb，则实数 m（）A.3 B.12 C.12 D.3【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于 m 的方程,然后解方程求出 m 的值.【详解】解:由(1,),(2,1)am b,得(1,1)abm,因为()abb,所以()0
3、ab b,所以 1 2 1(1)0m ,所以3m .故选:D.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积,属基础题.4.某车间生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量之比分别为 5：k：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本进行检验，已知 B 种型号的产品共抽取了 24件，则 C 种型号的产品抽取的件数为（）A.12 B.24 C.36 D.60【答案】C【解析】【分析】根据题意可得 2412053kk,解方程求出 k值,再根据C 种型号的产品所占的比例,求出C 种型号的产品应抽取的数量.【详解】解:由题意,得 2412053kk,所以 k2,所以 C 种型
4、号的产品抽取的件数为 120352336.故选:C.【点睛】本题考查了分层抽样的定义和特点,属基础题.5.要得到函数24ycosx的图象，只需要将函数 ycosx 的图象（）A.向左平行移动 8 个单位长度，横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变 B.向左平行移动 4 个单位长度，横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变 C.向右平行移动 8 个单位长度，横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变 D.向右平行移动 4 个单位长度，横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数图象的平移和伸缩变换,得到由 ycosx 变换为24ycosx的方式.【详解】解:要得到函数2
5、4ycosx的图象,只需要将函数 ycosx 的图象向左平移 4个单位,得到 ycos(x4),再把横坐标缩短为原来的 12,纵坐标不变即可.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和伸缩变换,属基础题.6.设直线 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.mn，mn B.mn，m，n C.m，m D.，mm【答案】B【解析】【分析】在 A 中,n 与 平行或n ;在 B 中,由线面垂直的性质定理得;在C 中,与 相交或平行;在 D 中,/m,m与 相交、平行或m.【详解】解:因为 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面,所以在 A 中,mn,mn 或 n
6、,故 A 错误;在 B 中,mn,m,n,由线面垂直的性质定理得,故 B 正确;在 C 中,m,m 与 相交或平行,故 C 错误;在 D 中,m,m 与 相交、平行或 m,故 D 错误.故选:B.【点睛】本题考查了命题真假的判断和空间中线线、线面、面面间的位置关系,属基础题.7.已知412ln33332e3abc，则（）A.bca B.cba C.cab D.bac【答案】A【解析】【分析】将,a b c 都化为13x 的形式，根据幂函数的单调性判断出三者的大小关系.【详解】依题意13111ln333316,3,9abec，而13yx为 R 上的增函数，故bca.故选：A.【点睛】本小题主要考
7、查指数运算，考查幂函数的单调性，考查指数幂比较大小，属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：2,2ak；第二次循环：4,3ak；第三次循环：8,4ak；第四次循环：16,5ak，此时满足判断条件，终止循环，输出5k，故选 B.9.函数 f（x）1lnxx的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出 f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由 f(x)1lnxx,得 f(x)211(0)(1)lnxxxx,令 g(x)11lnxx,则 g(x)
8、22111xxxx 0,所以 g(x)在(0,+)上单调递减,又 g(e)1e 0,g(e2)2221111lneee 0,所以存在 x0(e,e2),使得 g(x0)0,所以当 x(0,x0)时,g(x)0,f(x)0;当 x(x0,+)时,g(x)0,f(x)0,所以 f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减.故选:C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.10.已知0 2，且 3sin25cos2+sin20，则 sin2+cos2（）A.1 B.2317 C.2317或 1 D.1【答案】A【解析】【分析】利 用 同 角 三 角 函 数
9、基 本 关 系 式 化 弦 为 切,求 出 tan,再 求 出 的 值,进 一 步 求 出sin2+cos2.【详解】解:由 3sin25cos2+sin20,得22223520sincossin cossincos,所以2232501tantantan,即 3tan2+2tan50,解得 tan1 或 tan53 .因为0,2,所以 tan1,所以4,所以 sin2+cos2sin 2 cos12.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值和同角三角函数基本关系式,考查了转化思想和计算能力,属基础题.11.如图，在 RtABC 中，2C，6B，AC4，D 在 AC 上且 AD：DC3：1
10、，当AED最大时，AED 的面积为（）A.32 B.2 C.3 D.3 3 【答案】C【解析】【分析】根据条件得到AEDAECDEC ,然后设AED,AEC,DEC,用两角差的正切公式求出 tan,再用基本不等式求出 tan 最大值,从而得到当AED 最大时,AED 的面积.【详解】解:因为 AD:DC3:1,所以 DC14AC1,所以 SAEDSACESDEC12ACCE12DCEC 12ACCE12 14ACCEACCE(113)288ACEC.因为 AC4,CECB,而在 RtABC 中,26CB,AC4,所以 CB4 3,AEDAECDEC.设AED,AEC,DEC,则 tantan(
11、)211ACDCACDCECtantanECECAC DCtantanECAC DCECEC 2333344442ECECECCEECEC 当且仅当 EC4EC,即 EC2 时,取等号,所以 tan 的最大值为 34,此时AED 最大,所以当AED 最大时,AED 的面积AEDS=38 423.故选:C.【点睛】本题考查了三角形的面积公式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算能力,属中档题.12.已知函数 f（x）4alnx3x，且不等式 f（x+1）4ax3ex，在（0，+）上恒成立，则实数 a 的取值范围（）A.34，B.34，C.（，0）D.（，0【答案】B【解析】【分析】不等式
12、f(x+1)4ax3ex,在(0,+)上恒成立等价于(1)()xf xf e在(0,)上恒成立,然后利用函数 f(x)单调性进一步求出a 的范围.【详解】解:f(ex)4ax3ex,所以 f(x+1)4ax3ex在(0,+)上恒成立,等价于 f(x+1)f(ex)在(0,+)上恒成立,因为 x(0,+)时,1x+1ex,所以 f(x)在(1,+)上递减,所以当 x1 时,f(x)0 恒成立,即 x1 时,430ax 恒成立,所以 a34x,所以 a34,所以 a 的取值范围为3,4.故选:B.【点睛】本题考查了函数恒成立问题和利用函数的单调性求参数范围,考查了转化思想和计算能力,属中档题.13
13、.书架上有 6 本不同的数学书，4 本不同的英语书，从中任意取出 1 本，取出的书恰好是数学书的概率是_【答案】35【解析】【分析】先算出“任意取出 1 本书”的基本事件总数,再算出事件“取出的书恰好是数学书”包含的基本事件个数,然后利用概率公式求出概率.【详解】解:从 6 本不同的数学书,4 本不同的英语书中任意取出 1 本的基本事件总数为 10,取出的书恰好是数学书包含的基本事件个数为 6,则取出的书恰好是数学书的概率 P=63105,故答案为:35.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算,关键属熟悉古典概型的概率计算步骤,属基础题.14.已知函数 f（x）2x3ax2+2 在 x2 处取得
14、极值，则实数 a_【答案】6【解析】【分析】先求出()fx,再根据2x 是()f x 的一个极值点,得到 f (2)0,然后求出a 的值.【详解】解:由 f(x)2x3ax2+2,得 f(x)6x22ax.因为在 x2 处取得极值,所以 f(2)244a0,所以 a6.经检验 a=6 时 x=2 是 f(x)的一个极值点,所以 a=6.故答案为:6.【点睛】本题考查了函数极值点的定义,考查了方程思想,属基础题.15.若ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，其面积为 S，484bBA ACS，则 a_【答案】2 10 【解析】【分析】根据8BA AC,b=4 得到 cos2cA
15、,再根据4S 得到 sin2cA,联立解出 A 和 c,然后在ABC 中利用余弦定理求出a.【详解】解:因为8BA AC,4b,所以48AB ACbccosAccosA ,所以 ccosA2.因为1 442ScsinA,所以 csinA2.联立,得 tanA1,所以34A,所以22cosA ,所以22 2ccosA,在ABC 中,由余弦定理,得22222168 16 2402abcbccosA ,所以2 10a.故答案:2 10.【点睛】本题考查了平面向量的数量积、三角形的面积公式和余弦定理,考查了方程思想和计算能力,属基础题.16.同学们有如下解题经验：在某些数列求和中，可把其中一项分裂为两
16、项之差，使某些项可以抵消，从而实现化简求和如：已知数列an的通项11nan n，则将其通项化为111nann，故数列an的前 n 项的和11111111223111nnSnnnn 斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列an中，a11，a21，*21nnnaaanN，若 a2021a，那么 S2019_【答案】a1【解析】【分析】根据题意可得21nnnaaa,然后类比数列的裂项相消法求出 S2019.【详解】解:由题意,得 anan+2an+1,则 S2019a1+a2+a3+a2019a3a2+a4a3+a5a4+a2021a2010 a2021a2a1.故答案为:a1.【点睛】本
17、题考查了数列的裂项相消法求和,考查了类比推理能力,属基础题.（一）必考题：共 60 分.17.已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足122nnS（1）求数列an的通项公式；（2）设 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn【答案】（1）2nna；（2）123 26nnTn【解析】【分析】(1)根据数列的递推式可知,当1n 时,11Sa,当2n 时,1nnnaSS,进一步求出通项公式;(2)先求出 nb的通项公式,再利用错位相减法求出bn的前 n 项和 Tn.【详解】解:(1)因为122nnS,所以当1n 时,112Sa,当2n 时,1122222nnnnnnaSS,上式对1n 也成
18、立,所以2nna.(2)由(1)知(21)(21)2nnnbnan,所以231 23 25 2(21)2nnTn,234121 23 25 2(21)2nnTn,两式相减,得23122(222)(21)2nnnTn 114(12)22(21)212nnn,所以16(23)2nnTn.【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式和错位相减法求数列的前 n 项和,考查了分类讨论思想和计算能力,属中档题.数列前 n 项和的求法有公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法和分组求和法.18.在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且满足53acosCbc cosA（1）若15
19、sinC，a+c10，求 c；（2）若 a4，5c，求ABC 的面积 S【答案】（1）2c；（2）225【解析】【分析】(1)利用正弦定理,将边化为角,然后求出sin A,进一步求出c;(2)利用余弦定理,得到关于b 的一元二次方程,并求出b,然后代入面积公式中求出 S.【详解】解:(1)因为5cos()cos3aCbcA,所以5sincos(sinsin)cos3ACBCA,所以 5sincossincoscossinsin()sin3BAACACACB,因为sin0B,所以3cos5A,4sin5A,由正弦定理,知sin:sin4:1:ACa c,所以4ac,又10ac,所以2c.(2)由
20、(1)知3cos5A,4sin5A,所以由余弦定理,得222cos2bcaAbc,所以2351652 5bb,即256 5550bb,所以11 55b,所以ABC 的面积122sin25SbcA.【点睛】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用和三角形的面积公式,考查了转化思想和方程思想,属中档题.19.手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中 a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工 200 人，试估计职工一天行走步数不大于 13000 的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从
21、行走步数大于 15000 的 3 组职工中用分层抽样的方法选取 6人参加远足拉练活动，再从 6 人中选取 2 人担任领队，求这两人均来自区间（150，170的概率【答案】（1）125；（2）112；（3）25【解析】【分析】(1)由频率和为 1,列出关于 a 的方程,然后求出a 的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值;(2)根据一天行走步数不大于 13000 频率样本容量,求出频数;(3)根据分层抽样原理抽取 6 人,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得(0.0020.0060.0080.0100.0080.0020.002)201a,所以0.012
22、a.设中位数为110 x,则 0.002200.006200.008 200.0120.5x,所以15x,所以中位数为 125.(2)由 200(0.002 200.006 200.008 200.012 20)112,所以估计职工一天步行数不大于 13000 步的人数为 112 人.(3)在区间(150,170 中有 200 0.008 2032人,在区间(170,190 中有 200 0.002208人,在区间(190,210 中有 200 0.002208人,按分层抽样抽取 6 人,则从(150,170 中抽取 4 人,(170,190 中抽取 1 人,(190,210 中抽取 1人;设
23、从(150,170 中抽取职工为a、b、c、d,从(170,190 中抽取职工为 E,从(190,210 中抽取职工为 F,则从 6 人中抽取 2 人的情况有 ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF 共 15 种情况,它们是等可能的,其中满足两人均来自区间(150,170 的有ab、ac、ad、bc、bd、cd 共有 6 种情况,所以两人均来自区间(150,170的概率62155P;【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属基础题.20.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是边 CD 的中点，将ADE 沿
24、 AE 翻折得到ASE，且平面 ASE平面 ABCE （1）求三棱锥 BCES 的体积；（2）设线段 SC 上一点 G 满足2SGGC，在 BE 上是否存在点 H 使 GH平面 SAE？若存在，求出 EH 的长度；若不存在，说明理由【答案】（1）2 515；（2）53，理由见解析【解析】【分析】(1)过 S 作 SOAE于O,从而得到 SO 平面 ABCE,进一步得到B CESS BCEVV,由此求出三棱锥 BCES的体积.(2)连接 AC,交 BE 于 H,连接GH,推导出/GHSA,由此能求出结果.【详解】解:(1)过 S 作 SOAE于O,因为平面 ASE 平面 ABCE 交线为 AE,
25、所以 SO 平面 ABCE.在 Rt ASE中由1,2SESA,得25SO,因为112 122BCES ,所以1122 5133155B CESS BCEBCEVVSSO.所以三棱锥 BCES的体积为 2 515.(2)连接 AC,交 BE 于 H,连接GH,因为/CEAB,12CEAB,所以 ABHCEH,所以12CHEHCEHAHBAB,又因为2SGGC,所以12CGGS,所以 CGCHGSHA,所以/GHSA.又因为GH 平面 SAE,SA 平面 SAE,所以/GH平面 SAE,此时1533EHBE.【点睛】本题考查了折叠问题、三棱锥体积的求法和线面平行的判定定理,考查了转化思想和运算求
26、解能力,属中档题.21.已知函数 f（x）lnx12a xx（1）若 a4，求函数 f（x）的单调区间；（2）若函数 f（x）在区间（0，1内单调递增，求实数 a 的取值范围；（3）若 x1、x2R+，且 x1x2，求证：（lnx1lnx2）（x1+2x2）3（x1x2）【答案】（1）见解析；（2）3a；（3）见解析【解析】【分析】(1)将 a=4 代入 f(x)求出 f(x)的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;(2)根据条件将问题转化为434axx 在(0,1上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出a 的范围;(3)根据条件将问题转化为1122123()2xxxln xxx成立
27、问题,令12(0,1)xtx,即3(1)02tlntt成立,再利用函数的单调性证明即可.【详解】解:(1)()f x 的定义域是(0,),22213(43)4()(2)(2)axa xfxxxx x,所以4a 时,2284()(2)xxfxx x,由()0fx,解得 042 3x或42 3x,由()0f x,解得 42 342 3x,故()f x 在(0,42 3)和(42 3,)上单调递增,在(42 3,42 3)上单调递减.(2)由(1)得22(43)4()(2)xa xfxx x,若函数()f x 在区间(0,1递增,则有2(43)4 0 xa x 在(0,1上恒成立,即434axx 在
28、(0,1上恒成立成立,所以只需min434axx,因为函数44yxx在1x 时取得最小值 9,所以min4349axx,所以 a 的取值范围为,3.(3)当12xx时,不等式显然成立,当12xx时,因为1x,2xR,所以要原不等式成立,只需11122121223(1)3()22xxxxxlnxxxxx成立即可,令12(0,1)xtx,则3(1)02tlntt,由(2)可知函数()f x 在(0,1递增,所以()(1)0f xf,所以3(1)02tlntt成立,所以(lnx1lnx2)(x1+2x2)3(x1x2).【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了
29、转化思想和分类讨论思想,属难题.（二）选考题：共 10 分 22.如图所示，“8”是在极坐标系 Ox 中分别以1 1 2C，和232 2C，为圆心，外切于点 O的两个圆过 O 作两条夹角为 3 的射线分别交C1于 O、A 两点，交C2于 O、B 两点 （1）写出C1与C2的极坐标方程；（2）求OAB 面积最大值【答案】（1）1:2sinC；2:4sinC；（2）32【解析】【分析】(1)直接由条件求出1C 与2C 的极坐标方程即可;(2)由(1)得(2sin,)A ,(4sin()3B,)3,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出OAB 面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C
30、和圆2C 的圆心分别为1 1,2C和232,2C,所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin和4sin.(2)由(1)得(2sin,)A ,(4sin()3B,)3,则1 2sin 4sin()sin233ABCS2 3sin(sin coscos sin)33 233sin cossin 33sin(2)62.所以当sin(2)16 时,OAB面积最大值为32.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.23.已知函数 f（x）|x2|t，tR，g（x）|x+3|（1）xR，有 f（x）g（x），求实数 t 的取值范围；（
31、2）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a、b 满足 ab2ab2t2，求 a+2b 的最小值【答案】（1）,5；（2）min(2)9ab【解析】【分析】(1)由条件可知,当 xR 时,|2|3|txx恒成立,因此只需min|2|3|txx,然后利用绝对值三角不等式可求出|2|3|xx的小值即可.(2)根据不等式 f(x)0 的解集为1,3,求出 t 的值,然后将 t 代入222ababt中,得到关于 a,b 的方程,再利用基本不等式求出2ab 的最小值即可.【详解】解:(1)因为 xR,有 f(x)g(x),所以|2|3|xtx在 xR 时恒成立,即|2|3|txx在 xR 时恒成立,所以只需min|2|3|txx 因为|2|3|23|5xxxx,所以 5|2|3|5xx剟,所以min|2|3|5txx,所以 t 的取值范围为(,5.(2)由|2|xt,得 22t xt剟,因为不等式()0f x 的解集为1,3,所以2123tt ,解得1t .将1t 带入222ababt中,得20abab,所以 211ba,所以2122222(2)()5259abababab bababa,当且仅当3ab时取等号,所以2ab 的最小值为 9.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题、不等式的解集与方程根的关系、绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和方程思想,属中档题.