1、高三数学 第1页 共 4 页 绝密考试结束前 高三数学学科 试题 考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.如果事件 A，B 互斥，那么()()()P ABP AP B+=+如果事件 A，B 相互独立，那么()()()P A BP AP B=.如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率()(1)(0,1,2,)kkn knnP kC
2、 ppkn=.棱柱的体积公式VSh=其中 S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高.棱锥的体积公式13VSh=其中 S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高.棱台的体积公式()112213Vh SS SS=+，其中1S，2S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高.球的表面积公式24SR=，其中 R 表示球的半径.球的体积公式343VR=，其中 R 表示球的半径.选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求.1.已知集合40=xxM，0322+=xxxN，则=NM()A.），（），（+01-B.(0
3、,3)C.(-3,4)D.(-1,4)2.已知i 是虚数单位，复数3()ai aRi的虚部为 1，则复数aiz+=2的模为（）A.6 B.5 C.29 D.3 3.已知实数yx，满足约束条件,05012,1+yxyxx则目标函数yxz+=2的最小值是（）A.-4 B.-1 C.2 D.-5 高三数学 第2页 共 4 页 4.已知是不同的直线,是不同的平面,且,则“”是“m ”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某几何体的三视图如图所示，若棱长为a 的正方体的外接球表面积为12，则该几何体的体积为()A.103 B.10 C.143 D.26
4、3 6.函数()sin1axxxf xa=的图像不可能是（）A.B.C.D.7.设 O 为坐标原点，直线 yb=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的两条渐近线分别交于,A B 两点，若 OAB的面积为 2，则双曲线C 的焦距的最小值是()A.16B.8C.4D.28.十三世纪意大利数学家列昂那多.斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列 na满足以下关系：12121,1,(3,)nnnaaaaannN=+，记其前 n 项和为nS，若2020am=（m 为常数）,则2018S的值为（）A.2m B.1m C.m D.1m+9.在正三棱台111ABCA B C中，AB=
5、13AA=1132 A B=6,D 是 BC 的中点，设1A D 与 BC、1BB、BA所成角分别为，则（）A.B.C.D.10.已知实数,x y 满足221xy+=，01x，01y，当 41xy+取最小值时，xy的值为()A.3 4 B.3 3 C.3 D.1 高三数学 第3页 共 4 页 非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11.设 等 差 数 列 na的 公 差 为 非 零 常 数 d，且12a=，若124,a a a 成 等 比 数 列，则 公 差 d=_，na=_.12.圆C：22430 xyx+=的半径
6、为 _，若直线1ykx=+与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 _.13.二项式73)2(xx 的展开式中，各项系数和为_,含3x 项的系数是_.14.在 ABC中，0cos)2(cos=+AbcCa，2=b，34 B，则=A_,边长c 的取值范围为_.15.在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有 1，2，3，4，5 号码的大小相同的小球，现甲、乙、丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为 4的倍数，则算作获奖.记获奖的人数为 X，则 X 的数学期望为_.16.已知函数21()sinsin22bf xxxa=+（,a bR），若对于任意 xR，均有
7、()1f x ，则ab+的最大值是_.17.已 知1OAOB=,若 存 在,m nR,使 得 mABOA+与 nABOB+夹 角 为 60o，且|(mABOA+)-(nABOB+)|=12，则 AB 的最小值为_.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分 14 分）已知0，)cos,sin3(xxa=，)cos,(cosxxb=，baxf=)(，21,xx是21)(=xfy的其中两个零点，且=min21xx.（）求)(xf的单调递增区间；（）若)2,0(，101)2(=f，求2sin的值.19.（本题满分 15 分）如图 1，在矩形
8、 ABCD 中，22BCAB=,E 是 AD 中点，将 CDE沿直线CE 翻折到 CPE的位置，使得3PB=,如图 2.（）求证：PCEABCE面面;图 1 图 2（）求 PC 与ABP面所成角的正弦值.高三数学 第4页 共 4 页 20.（本题满分 15 分）已知数列 na的前n 项和nS 满足22(2),nnSannN=.（）求证：数列21nan+是等比数列，并求 na的通项公式；（）设1na的前n 项和为nT，求证：8,3nTnN.21.（本题满分 15 分）已知椭圆1C：2212yx+=，抛物线2C：22ypx=（0p），点(1 0)A ，斜率为 k 的直线 1l 交抛物线于 B、C
9、两点，且12ACCB=，经过点C 的斜率为12 k的直线 2l 与椭圆相交于 P、Q 两点.（）若抛物线的准线经过点 A，求抛物线的标准方程和焦点坐标；（）是否存在 p，使得四边形 APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及 p 的值；若不存在，请说明理由.22.（本题满分 15 分）已知函数()1xf xeax=.（）讨论函数()()f xg xx=在其定义域内的单调性；（）若()0f x 对任意的 xR恒成立，设()()xh xe f x=，证明：()h x 在 R 上存在唯一的极大值点t,且3()16h t.高三数学 参考答案第1页 共 6 页 高三数学参考答案 一、选择题：
10、本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.答案：D 2.答案：B 3.答案：A 4.答案：B 5.答案：A 6.答案：C 7.答案：C 8.答案：B 9.答案：D 10.答案：A 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11.答案：2;2n 12.答案：1；403，13.答案：-1;-280 14.答案：;2,313+15.答案：93125 16.答案：-1 17.答案：132 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分 14
11、分）解:(1)=xxxxf2coscossin3)(=+22cos12sin23xx=212cos212sin23xx21)62sin(x.3 分 21,xx是函数1)62sin(21)(=xxfy的两个零点，即21,xx是方程1)62sin(=x的两个实根，且=min21xx，=T.22=T,1=.5 分 21)62sin()(=xxf.令Zkkxk+,226222,得Zkkxk+,36.)(xf的单调递增区间为)(3,6Zkkk+.7 分 (2)10121)6sin()2(=f，53)6sin(=.20，366，54)6cos(=.9 分 103346sin)6cos(6cos)6sin(
12、6)6sin(sin+=+=+=，11分 103346sin)6sin(6cos)6cos(6)6cos(cos=+=，13 分 50372410334103342cossin22sin+=+=.14 分 高三数学 参考答案第2页 共 6 页 19.（本题满分 15 分）法 1：证明：由图 1 可得 BEEC 在图 2 中2,1,3BEPEPB=，BEPE.4 分 又ECPEE=PECBE 面.ABCEBE 面ABCEPCE面面 7 分 法 2：证明：取 EC 中点 N，由PCPE=，得CEPN，22=PN 又21045cos222=+=CNBCCNBCBN 4 分 则2223PBPNBN=+
13、，故BNPN 又NBNCE=，ABCE面PN，ABCEPCE面面 7 分（1）法 1：由 EC 中点 N，得BNAN=，又由（1）的法 2 可得，ABCE面PN，22=PN BPAP=，411=ABPS，1=ABCS 11 分 设 C 到面 ABP 的距离为h ABCPABPcVV=11222=h 13 分 又11222sin=PCh 所以直线 PC 与面 ABP 所成角的正弦值为11222 15 分 法 2：以点 A 为原点，分别以 AB，AE 直线为 x 轴，y 轴，以经过点 A 且垂直于平面 ABCE 的直线为 z 轴建立直角坐标系。由题意可知，)0,0,1(B，)0,2,1(C，)0,
14、1,0(E，)22,23,21(P 10 分 高三数学 参考答案第3页 共 6 页)22,23,21(=AP，)0,0,1(=AB 设面 ABP 的法向量为),(zyxn=则=00ABnAPn，令2=y，得3=z，所以)3,2,0(=n 13 分 又)22,21,21(=PC nPCnPCnPC=,cossin11222=所以直线 PC 与面 ABP 所成角的正弦值为11222 15 分 法 3：证：MMNPMMNAPPMAB=,PMNPABPMN面面，面 AB交于 PM，作PMST，PAB面ST 10 分 由相似计算得1122=ST 12 分 PAB/面QE，Q到面 ABP 的距离=S 到面
15、 ABP 的距离 又Q是 BC 中点，Ch记为到面 ABP 的距离=Q 到面 ABP 的距离的 2 倍11222=又11222sin=PCh 所以直线 PC 与面 ABP 所成角的正弦值为11222 15 分 20.（本题满分 15 分）解：（1）222)nnSan=-(，当 n=1 时，11121Saaa=1-1 2-1-122(3)nnnSan=时 两式相减，得 ()221122(2)(3)2252nnnnnaaannaann=+=+高三数学 参考答案第4页 共 6 页 则1111121225212(23)22(1)12323nnnnnnanannanananan+=+为常数 数列21na
16、n+是等比数列，首项为 1212 22221nnnnnanan+=+7 分（2）11118(3)2152213 22(1)2(1)28nnnnnnnnan=+又121,1aa=当3n 时，34n281111+1+)3 222111-()88 18822+22133 831-2nnT=+=（又12881,1 133TT=+故83nT 15 分 21.（本题满分 15 分）解：抛物线的准线方程2px=，焦点坐标(0)2p，则12p=，2p=，抛物线的标准方程为24yx=，焦点(1 0)，.4 分 设11(,)B x y，22(,)C xy，33(,)P xy，44(,)Q xy 由12ACCB=，
17、得点(1,0)A 在直线 1l 上，且1211121312yyy=+，且四边形的面积332APQSSPQ d=.6 分 1l：(1)yk x=+，2l：33()2kyxxy=+由2(1)2yk xypx=+=，得2220pyypk+=则22480ppk=，22pk 12122,2pyyy ypk+=12 12,a+=高三数学 参考答案第5页 共 6 页 因为123yy=，所以2223yp=，222123yxp=，21(,)3Cy，238pk=，22222322yypx=由 1l，2l 的斜率分别为k、12 k，由图知 2l 必过点(3,0)10 分 可设 2l：(3)2kyx=，且223141
18、3ACyykk=+，故直线 2l：23(3)8yyx=，283ty=令 则直线 2l：3xty=+，代入椭圆方程2212yx+=，得22(12)12160tyty+=，216(4)0t=，3421212tyyt+=+，3421612y yt=+12 分 22234216(4)111 2tPQtyytt=+=+点 A 到 2l 的距离241dt=+，四边形的面积222222428282412 212 22 21 2(28)96 28tttSttt=+15 分 当且仅当2172t=，6451p=时面积最小为2 2 22.（本题满分 15 分）解：（1）由题意1(),xeaxg xx=定义域为(,0
19、)(0,)+，2(1)e1()xxg xx+=2 分 令()(1)e1xxx=+，则()xxxe=当0 x 时，()0 x；当0 x 时，()0 x()x在(,0)上单调递减，在(0,)+上单调递增 4 分()(0)0 x=，()g x即在(,0)和(0,)+上均大于零()g x在(,0)上单调递增，在(0,)+上单调递增 6 分(2)易知()xfxea=,由()10 xf xeax=对任意的 xR恒成立，且(0)0f=,则(0)0f=，1a=（也可利用1xex+的几何意义或分离参数a 求解）9 分 高三数学 参考答案第6页 共 6 页 此时()(1)xxh xe ex=，()(22)xxh xeex=令()22xxex=，则()21xxe=当ln 2x 时，()0 x；当ln 2x 时，()0 x ()x在(,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+上单调递增 11 分 又(0)0=，22(2)0e=，332232122()0224ee=存在唯一实数32,2t，使得()220ttet=()h x在(,)t上递增，(,0)t上递减，(0,)+上递增 13 分()h x在 R 上唯一的极大值点，即为t.()(1)tth te et=22122ttt+=223416tt=15 分
