1、2021年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（理科）（黄金卷）一、选择题（每小题5分）.1已知集合A，2，Mx|xsin，A，Nx|x24，则MN（）A1，0B（1，0）C0，1D（0，1）2复数z的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3如图是电影你好，李焕英某个周周一到周五的累计票房统计，下列说法错误的是（）A这周每天的累计票房在不断增大B这周每天的累计票房增长率在不断增大C周二到周三累计票房的增长率最大D周四到周五累计票房的增长率最小4已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x0，+）时，f（x）单调递增，f（3）0，则不等式f（x）0的解集为（
2、）A（3，+）B（3，3）C（，3）D（，3）（3，+）5已知sin+cos，（0，），则tan（+）的值为（）ABCD6向量（1，），若+在上的投影为1，则（）A2B1C1D27在ABC中，已知2cos2B+7cosB0，BC2，AB4，则cosA（）ABCD8某同学根据“冰雹猜想”设计了如图所示的程序框图，执行该程序框图，若N5，则输出的i（）A5B6C7D89已知直线l、m，平面、，且l，m，则下列命题正确的是（）A若，则lmB若，则lmC若m，则bD若lm，则b10点F是双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，A、B分别为C的右顶点、虚轴的上端点，若BAFBFA，则双曲线的离心率是（）AB
3、C1D11定义在R上的可导函数f（x）的导数为f（x），满足f（x）+2f（x）0且yf（x+1）是偶函数，f（0）（e为自然对数的底数），则不等式f（x）2e2x的解集为（）A（2，+）B（0，+）C（，2）D（，0）12关于函数f（x）2cosx+|sin2x|有下述四个判断：f（x）的最小值为2；f（x）在（0，）上单调递减；f（x）的图象关于y轴对称；若方程f（x）m0（mR）在0，2上恰有2个不相等的实数根a，b，则a+b2其中所有正确结论的个数为（）A1B2C3D4二、填空题（共4小题）.13已知x，y满足约束条件，则zx+y的取值范围是 14（1x）5展开式的第三项的系数为 （用
4、数字作答）15已知圆O：x2+y24，直线l：x+ymn0与圆O交于A，B两点，若动点P（m，n）在圆O围成的区域内运动，且|AB|2，则点P表示图形的面积为 16已知三棱锥ABCD的外接球球心为O，且ABACBC4，ABCBCD，E为BC中点且0，则球O的表面积为 三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设数列an是公比不为1的等比数列，且a11，a2+2a43a3（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Sn18如图是某社区2017至2021年政府对该地区基础设施投入金额（单位：万元）的折线图，年份代码15表示对应的年份20172021（）由折线图看出，可用线性
5、回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数r加以说明；（）求变量y与t的回归直线方程bt+a，并预测2022年政府对该地区基础设施的投入金额参考数据：120，374，2900，1.1414参考公式：r在回归直线t+中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，ABC，PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，点M为线段PB上一点，且（R）（）当2时，证明：PD平面ACM；（）若二面角MACD的余弦值为，求的值20已知椭圆C：+y21，（a1），点P为椭圆上顶点，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，1（）求椭圆的标准方程；（）对于椭圆+1（ab0）有如
6、下性质：若点（x0，y0）是椭圆上的一点，则椭圆在该点的切线方程为+1，若动点Q在直线x+y2上，经过点Q的直线l1，l2分别与椭圆C相切于点M，N，求证：直线MN必过定点，并求出该点坐标21已知函数f（x）exax+b，其中a，bR且a0（）若f（x）在x0处的切线方程为x+y+20，求a，b的值和f（x）的单调区间；（）若函数f（x）0在R上恒成立，求的最小值（二）请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（1，0），倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方
7、程为2（）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（）直线l与曲线C有两个不同的交点A、B，若|，求cos2的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2|x2|x|+5的最小值为m（）作出函数yf（x）的图象，并利用图象求出m的值；（）若a，b，cR，且a+b+cm，证明：a2+b2+c2m参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合A，2，Mx|xsin，A，Nx|x24，则MN（）A1，0B（1，0）C0，1D（0，1）解：M1，0，Nx|2x2，MN0，1故选：C2复数z的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：因为z1+3i，共轭复数为
8、13i，则在复平面内对应的点（1，3）位于第四象限故选：D3如图是电影你好，李焕英某个周周一到周五的累计票房统计，下列说法错误的是（）A这周每天的累计票房在不断增大B这周每天的累计票房增长率在不断增大C周二到周三累计票房的增长率最大D周四到周五累计票房的增长率最小解：周一到周二的累计票房增长率为6.9%，周二到周三的累计票房增长率为21.9%，周三到周四的累计票房增长率为10%，周四到周五的累计票房增长率为4.8%，可得ACD正确，B错误故选：B4已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x0，+）时，f（x）单调递增，f（3）0，则不等式f（x）0的解集为（）A（3，+）B（3，3）C（，3）D（
9、，3）（3，+）解：吟哦f（x）是定义在R上的偶函数，当x0，+）时，f（x）单调递增，f（3）0，则不等式f（x）0可转化为f（|x|）f（3），所以|x|3，解得x3或x3故选：D5已知sin+cos，（0，），则tan（+）的值为（）ABCD解：由sin+cossin（+），知sin（+），sin+cos，（sin+cos）21+2sincos，sincos0，（0，），（，），+（，），cos（+），tan（+），tan（+）tan（+）故选：B6向量（1，），若+在上的投影为1，则（）A2B1C1D2解：向量（1，），若+在上的投影为1，可得1，所以2，故选：A7在ABC中，已知2c
10、os2B+7cosB0，BC2，AB4，则cosA（）ABCD解：2cos2B+7cosB0，2（2cos2B1）+7cosB0，即4cos2B+7cosB20，解得cosB或2（舍），由余弦定理知，AC2AB2+BC22ABBCcosB16+424216，AC4，由余弦定理知，cosA故选：A8某同学根据“冰雹猜想”设计了如图所示的程序框图，执行该程序框图，若N5，则输出的i（）A5B6C7D8解：由题意，模拟程序的运行，可得n5，i1满足条件n是奇数，n16，i2不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n8，i3不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n4，i4不满足条件n
11、1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n2，i5不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n1，i6满足条件n1，退出循环，输出i的值为6故选：B9已知直线l、m，平面、，且l，m，则下列命题正确的是（）A若，则lmB若，则lmC若m，则bD若lm，则b解：由直线l、m，平面、，且l，m，知：对于A，则l与m平行或异面，故A错误；对于B，若，则l与m相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；对于D，若lm，则与相交或平行，故D错误故选：C10点F是双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，A、B分别为C的右顶点、虚轴的上端点，若BAFBFA，则双曲线的离心率是
12、（）ABC1D解：如图，tanBAFtanBAO，tanBFA，由BAFBFA，得BAFBFA+，tanBAFtan（BFA+）cotBFA，即b2ac，可得c2aca20，e2e10，解得e（e1），故选：D11定义在R上的可导函数f（x）的导数为f（x），满足f（x）+2f（x）0且yf（x+1）是偶函数，f（0）（e为自然对数的底数），则不等式f（x）2e2x的解集为（）A（2，+）B（0，+）C（，2）D（，0）解：令F（x）f（x）e2x，则F（x）f（x）e2x+2f（x）e2xe2xf（x）+2f（x），因为f（x）+2f（x）0，所以F（x）0，所以F（x）在R上为增函数，因为
13、yf（x+1）是偶函数，所以f（x）的图象关于x1对称，所以f（2）f（0），F（2）f（2）e42，则不等式f（x）2e2x可转化为F（x）2F（2），可得x2，即不等式的解集为（，2）故选：C12关于函数f（x）2cosx+|sin2x|有下述四个判断：f（x）的最小值为2；f（x）在（0，）上单调递减；f（x）的图象关于y轴对称；若方程f（x）m0（mR）在0，2上恰有2个不相等的实数根a，b，则a+b2其中所有正确结论的个数为（）A1B2C3D4解：函数定义域为xR，又f（x）2cos（x）+|sin（2x）|2cosx+|sin2x|f（x），f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故正
14、确；又f（x+2）2cos（x+2）+|sin2（x+2）|2cosx+|sin2x|f（x），2为函数的一个周期，根据题意，设x0，则f（x），当x时，f（x）2sinx+2cos2x4sin2x2sinx+2，令f（x）0，则有sinx，或sinx1（舍去），即得x，因此可得，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故错误当时，sinx0，1），f（x）2sinx2cos2x4sin2x2sinx22（2sinx+1）（sinx1）0恒成立，f（x）在上单调递减，此时由函数的周期性和对称性可得，函数在0，2上的简图如下：结合图象可得，f（x）minf（）2，故正确；当x0，2时，若函数yf（x
15、）与ym的图象恰有两个交点，则有图象可得m（2，2），此时结合对称性可得，正确故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知x，y满足约束条件，则zx+y的取值范围是（，3）解：由约束条件画出可行域如图，联立，解得A（1，2），由zx+y，得yx+z，由图可知，当直线yx+z过A（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z取最大值为3，而A不在可行域内，则z3，zx+y的取值范围是（，3）故答案为：（，3）14（1x）5展开式的第三项的系数为5（用数字作答）解：（1x）5展开式的通项公式为 Tr+1xr，令r2，可得第三项为5x2，故第三项的系数为5，故答案为：515已知圆O：
16、x2+y24，直线l：x+ymn0与圆O交于A，B两点，若动点P（m，n）在圆O围成的区域内运动，且|AB|2，则点P表示图形的面积为4解：|AB|2，且圆O的半径为2，圆心O到直线l的距离小于等于，即，即，如图，又动点P（m，n）在圆O围成的区域内运动，P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆面，则点P表示图形的面积为4故答案为：416已知三棱锥ABCD的外接球球心为O，且ABACBC4，ABCBCD，E为BC中点且0，则球O的表面积为80解：如图，由题意可得ABC为等边三角形，BCD为等边三角形，E为BC中点，AEBC，又0，AEED，又BCEDE，AE平面BCD，而AE平面ABC，则平面AB
17、C平面BCD，设ABC，BCD的外心分别为O1，O2，连接OO1，OO2，则OO1平面ABC，OO2平面BCD，由ABACBC，ABCBCD知，O1，O2分别为ABC，BCD的重心，且四边形OO1EO2为正方形，ABACBC4，AO12O1E2OO14，得OO12，在RtAOO1中，则球O的表面积为4AO280故答案为：80三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设数列an是公比不为1的等比数列，且a11，a2+2a43a3（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Sn解：（）数列an是公比q不为1的等比数列，由a11，a2+2a43a3，可得q+2q33q2，解得
18、q（0和1舍去），所以an（）n1；（）（n+1）2n1，Sn220+321+422+（n+1）2n1，2Sn22+322+423+（n+1）2n，上面两式相减可得Sn1+（1+21+22+2n1）（n+1）2n，1+（n+1）2n，化简可得Snn2n18如图是某社区2017至2021年政府对该地区基础设施投入金额（单位：万元）的折线图，年份代码15表示对应的年份20172021（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数r加以说明；（）求变量y与t的回归直线方程bt+a，并预测2022年政府对该地区基础设施的投入金额参考数据：120，374，2900，1.1414参考公式
19、：r在回归直线t+中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，解：（）由题中的数据可知，由公式可得，r，所以y与t的线性相关程度很高，故可以用线性回归模型拟合y与t的关系；（）由（）中的数据结合公式可得，所以241.4319.8，所以y与t的线性回归方程为1.4t+19.8，当t6时，y1，46+19.828.2万元，故预测2022年政府对该地区基础设施的投入金额为28.2万元19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，ABC，PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，点M为线段PB上一点，且（R）（）当2时，证明：PD平面ACM；（）若二面角MACD的余弦值为，求的值【解答】（）证
20、明：因为2，2，所以M为PB中点，连接BD，交AC于N，因为ABCD是边长为2的菱形，所以N为BD中点，连接MN，所以MNPD，双因为MN平面ACM，PDACM，所以PD平面ACM（）解：取AD中点O，连接OP、OB，因为PAD为等边三角形，所以OPAD，又因为平面PAD平面ABCD，所以OP平面ABCD，所以OPOB，因为ABCD是菱形，ABC，所以ABD为正三角形，所以OBAD，所以OA、OB、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），C（2，0），P（0，0，），B（0，0），M（0，），（3，0），（1，），设平面ACM的法向量为（x，y，z），令y3，（，3，），
21、平面DAC的法向量为（0，0，1），所以二面角MACD的余弦值为，化简得|1|4，解得5或3，因为点M为线段PB上一点，所以0，故520已知椭圆C：+y21，（a1），点P为椭圆上顶点，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，1（）求椭圆的标准方程；（）对于椭圆+1（ab0）有如下性质：若点（x0，y0）是椭圆上的一点，则椭圆在该点的切线方程为+1，若动点Q在直线x+y2上，经过点Q的直线l1，l2分别与椭圆C相切于点M，N，求证：直线MN必过定点，并求出该点坐标解：（）由题意可知P（0，1），A（a，0），B（a，0），所以（a，1），（a，1），所以a211，解得a22，所以椭圆的方程为+y21（
22、）证明：设Q点坐标为（x1，y2），所以点M，N坐标分别为（x2，y2），（x3，y3），所以点Q在直线x+y2上，所以x1+y12，即y12x1，又直线l1，l2分别与椭圆C相切于M，N两点，由题中所给的切线方程为：l1：+y2y1，l2：+y3y1，因为直线l1，l2均经过点Q，所以将点Q坐标代入，得+y2y1，+y3y11，将式代入两式，得+（2x1）y21，所以x1x22x1y2+4y22，+（2x1）y31，所以x1x32x1y3+4y32，得x1（x3x2）2x1（y3y2）+4（y3y2）0，即x1（x3x2）（2x14）（y3y2），直线MN的斜率k，由式得，即k，所以直线MN
23、的方程为yy3（xx3），由式得+y1y31，即x1x3+2y1y32，所以y3，又因为y12x1，所以y3，将y3代入式，可得yx+y3x+x+，所以x1时，y，所以直线MN必过点（1，）21已知函数f（x）exax+b，其中a，bR且a0（）若f（x）在x0处的切线方程为x+y+20，求a，b的值和f（x）的单调区间；（）若函数f（x）0在R上恒成立，求的最小值解：（）f（x）exa，f（0）1a1，解得：a2，由f（0）e0+b2，解得：b3，f（x）ex2x3，f（x）ex2，当xln2时，f（x）0，当xln2时，f（x）0，f（x）的（，ln2）递减，在（ln2，+）递增；（）由题
24、意得：f（x）exa，当a0时，令tmin1，则f（t）etat+b1+bat1+ba0，不合题意，当a0时，由f（x）0，解得：xlna，f（x）在（，lna）递减，在（lna，+）递增，f（x）minf（lna）aalna+b，f（x）0在R上恒成立，f（lna）aalna+b0，即ba+alna，11，令g（x），则g（x），当g（x）0时，x2，故f（x）在（2，+）递增，当g（x）0时，0x2，故f（x）在（0，2）递减，g（x）g（2）ln2，的最小值是ln21（当a2，b2+2ln2时取“”）（二）请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：
25、坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（1，0），倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2（）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（）直线l与曲线C有两个不同的交点A、B，若|，求cos2的值解：（）直线l经过点P（1，0），倾斜角为，转换为参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为2，根据，转换为直角坐标方程；（）把直线l的参数方程，代入，得到（3sin2+1）t2+2cost30，所以，故|，整理得，所以选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2|x2|x|+5的最小值为m（）作出函数yf（x）的图象，并利用图象求出m的值；（）若a，b，cR，且a+b+cm，证明：a2+b2+c2m解：（），其图像如图：由图像可知m3（）证明：由题a+b+c3，两边平方得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc9，又2aba2+b2，2aca2+c2，2bcb2+c2，93a2+3b2+3c2，a2+b2+c23，当且仅当abc1时成立