1、板块命题点专练(六) 简单的三角恒等变换及解三角形命题点一简单的三角恒等变换难度：中等命题指数：1(2015重庆高考改编)若tan 2tan，则_.解析：coscossin，原式.又tan 2tan，原式3.答案：32(2015江苏高考)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_解析：tan tan()3.答案：33(2015北京高考)已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值解：(1)由题意得f(x)sin x(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(
2、x)在区间，0上的最小值为f1.4(2015四川高考)已知A，B，C为ABC的内角，tan A，tan 是关于x的方程x2pxp10(pR)的两个实根(1)求C的大小；(2)若AB3，AC，求p的值解：(1)由已知，方程x2pxp10的判别式(p)24(p1)3p24p40，所以p2或p.由根与系数的关系，有tan Atan Bp，tan Atan B1p，于是1tan Atan B1(1p)p0，从而tan(AB).所以tan Ctan(AB)，所以C60.(2)由正弦定理，得sin B，解得B45或B135(舍去)于是A180BC75.则tan Atan 75tan(4530)2.所以p(
3、tan Atan B)(21)1.1.(2015安徽高考)在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.解析：C180754560，由正弦定理得，即，解得AC2.答案：22(2015广东高考改编)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2 ，cos A且bc，则b_.解析：由a2b2c22bccos A，得4b2126b，解得b2或4.又bc，b2.答案：23(2015北京高考)在ABC中，a3，b，A，则B_.解析：在ABC中，根据正弦定理，有，可得sin B.因为A为钝角，所以B.答案：4(2015福建高考)若ABC中，AC，A45，C75，则BC_.解析：B1807545
4、60，由正弦定理，得，即，解得BC.答案：5(2015全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.6(2015山东高考)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin(AB)，ac2，求sin A和c的值解：在ABC中，由cos B，得sin B，因
5、为ABC，所以sin Csin(AB).因为sin Csin B，所以CB，可得C为锐角，所以cos C，因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，可得a2c.又ac2，所以c1.7(2015全国卷)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.解：(1)由正弦定理，得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，所以B308(2015浙江高考)在ABC中，内角A，B，C所对的
6、边分别为a，b，c，已知tan2.(1)求的值；(2)若B，a3，求ABC的面积解：(1)由tan2，得tan A，所以.(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.由a3，B及正弦定理，得b3.由sin Csin(AB)sin，得sin C.设ABC的面积为S，则Sabsin C9.9(2015江苏高考)在ABC中，已知AB2，AC3，A60(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值解：(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C .因此sin 2C2si
7、n Ccos C2.命题点三三角函数与解三角形的综合问题难度：高、中命题指数：1.(2015山东高考)设f(x)sin xcos xcos2x.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解：(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当
8、bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.2(2015福建高考)已知函数f(x)10sincos10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式；证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)0.解：(1)因为f(x)10sincos10cos25sin x5cos x510sin5，所以函数f(x)的最小正周期T2.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y10sin x5的图象，再向下平移a(a0)个单位长度
9、后得到g(x)10sin x5a的图象又已知函数g(x)的最大值为2，所以105a2，解得a13.所以g(x)10sin x8.要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x080，即sin x0.由知，存在00，使得sin 0.由正弦函数的性质可知，当x(0，0)时，均有sin x.因为ysin x的周期为2，所以当x(2k0,2k0)(kZ)时，均有sin x.因为对任意的整数k，(2k0)(2k0)201，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk(2k0,2k0)，使得sin xk.即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)0.