1、专训1利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等 平行四边形的折叠问题1如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点若AB3，BC6，求B的度数(第1题) 矩形的折叠问题2(中考衢州)如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处如图.(1)求证：EGCH；(2)已知AF，求AD和AB
2、的长(第2题) 菱形的折叠问题3如图，在菱形ABCD中，A120，E是AD上的点，沿BE折叠ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么BFC的度数是()A60 B70 C75 D80(第3题)(第4题) 正方形的折叠问题4如图，正方形纸片ABCD的边长AB12，E是DC上一点，CE5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为_5(中考德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：APBBPH.【导学号：71412046
3、】(2)当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论(第5题)专训2利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答 平行四边形中的动点问题1如图，在ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BEDF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明(第1题) 矩形中的动点问题2如图，在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.(1)
4、试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值(第2题) 菱形中的动点问题3如图，在菱形ABCD中，B60，动点E在边BC上，动点F在边CD上(1)如图，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；(2)如图，若EAF60，求证：AEF是等边三角形(第3题) 正方形中的动点问题4如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是A
5、B，BC，CD，DA上的动点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由(第4题)专训3全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧 三个图形 矩形1如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.(1)求证：BECDFA；(2)连结AC，当CACB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由(第1题) 菱形2如图，
6、ABC是边长为1的等边三角形，将ABC绕点C顺时针旋转120，得到EDC，连结BD，交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；(2)求线段BD的长(第2题) 正方形3如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DEAG于点E，BFDE，交AG于点F.(1)求证：AFBFEF；(2)将ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F，若正方形ABCD的边长为3，求点F与旋转前图形中的点E之间的距离(第3题)4如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AFBE.(1)求证：AFBE.(2)如图，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边
7、AB，BC，CD，DA上的点，且MPNQ.MP与NQ是否相等？并说明理由(第4题) 三个技巧 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)5如图所示，在矩形ABCD中，AB10，BC5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长(第5题) 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)6如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形ABCO绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由(第6题) 解与四边形有关的动态问题的技巧(固
8、定位置法)7如图，在RtABC中，B90，AC60 cm，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D，E运动的时间是t s(0t15)过点D作DFBC于点F，且DFDC，连结EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为()(第7题)A5B10C15D208如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OEAB于E，OFAD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积(2)如图，当点O在对角线BD上运动时，
9、OEOF的值是否发生变化？请说明理由(3)如图，当点O在对角线BD的延长线上时，OEOF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由(第8题)答案(第1题)1解：设AE与BC相交于点F，如图四边形ABCD为平行四边形，ADBC.13.平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，23，12.FCFA.F为BC边的中点，BC6，AFCFBF63.又AB3，ABF是等边三角形B60.(第2题)2(1)证明：由折叠知AEAEEG，BCCH.四边形ABCD是矩形，ADBC.易得四边形AEAD是正方形，AEAD.EGCH.(2)解：ADE45，FGEA90
10、，AF，DGFGAF.由勾股定理得DF2.AD2.如图，由折叠知，12，34，2490，1390.1AFE90，AFE3.由(1)知，AEBC.又AB90，EFACEB.AFBE.ABAEBEADAF222.3C点拨：四边形ABCD是菱形，ABBC，AABC180，BD平分ABC.A120，ABC60，FBC30.根据折叠可得ABBF，BFBC.BFCBCF(18030)275.故选C.413点拨：如图，过点F作FMBC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FGBE，CBNG90，1BEC.易知FMBC，FMGC，FMGBCE，MGCE5，由勾股定理得FG13.(第4题
11、)5(1)证明：由折叠知PEBE，EPHEBC90，EBPEPB.EPHEPBEBCEBP，即BPHPBC.又ADBC，APBPBC，APBBPH.(2)解：PDH的周长不发生变化证明如下：过B作BQPH，垂足为Q.如图由(1)知APBQPB，又ABQP90，BPBP，ABPQBP.APQP，ABBQ.又ABBC，BCBQ.又CBQH90，BHBH，RtBCHRtBQH，CHQH.PDH的周长为：PDDHPHAPPDDHCHADCD8(定值)(第5题)1解：AECF，AECF.证明如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.ABECDF.在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，B
12、EDF，ABECDF.AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180，AEDCFB.AECF.2解：(1)四边形ABCD是矩形，ADBC.OAEOCF，AEOCFO.EF垂直平分AC，垂足为O，OAOC.AOECOF.OEOF.四边形AFCE为平行四边形又EFAC，四边形AFCE为菱形设AFCFx cm，则BF(8x)cm，(第2题)在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5.AF5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形因此只有当P点在BF上，Q
13、点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PCQA.点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，PC5t cm，QA(124t)cm.5t124t，解得t.当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t.3证明：(1)如图，连结AC.在菱形ABCD中，B60，ABBCCD，BCD180B120.ABC是等边三角形又E是BC的中点，AEBC.AEF60，FEC90AEF30.CFE180FECBCD1803012030.FECCFE.ECCF.BEDF.(第3题)(2)如图，连结AC.由(1)知
14、ABC是等边三角形，ABAC，ACBBAC60.又EAF60，BAECAF.由(1)知BCD120.又ACB60，ACF60，BACF.ABEACF.AEAF.AEF是等边三角形(第4题)4(1)证明：如图，四边形ABCD为正方形，AEBFCGDH90，ABBCCDAD.AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG.12，EHEFFGGH.四边形EFGH为菱形1390，12，2390.HEF90.四边形EFGH是正方形(2)解：直线EG经过一个定点理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG与BD交于O点BE瘙綊DG，四边形BGDE为平行四边形BD与EG互相平分BOOD.点O为
15、正方形的中心直线EG必过正方形的中心1(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，BD，BCDA.E，F分别是AB，CD的中点，BEDF.BECDFA(S.A.S.)(2)解：四边形AECF是矩形，理由：AEAB，CFCD，ABCD，AECF.又AECF，四边形AECF是平行四边形CACB，E为AB的中点，CEAB，AEC90.四边形AECF是矩形2解：(1)ACBD.证明：连结AD，由题意知，ABCEDC，ACE120.ABC是等边三角形，ACDC，DCE60，ACD60，ACD是等边三角形，CDADACABBC，四边形ABCD为菱形，ACBD.(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，
16、DBCABC30.BCCD，BDCDBC30，BDE306090.ACEACB180，B，C，E三点在一条直线上，BE2.BD.3(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADBAFEAD90.DEAG，AEDDEG90.EADADE90.ADEBAF.又BFDE，BFADEG90.AEDBFA.在AED和BFA中，AEDBFA(A.A.S.)BFAE.AFAEEF，AFBFEF.(2)解：如图，由题意知将ABF绕A点旋转得到ADF，B与D重合，连结FE，由(1)易得DEAF.(第3题)根据题意知：FAE90，DEAFAF，FAEAED90.即FAEAED180.AFDE.四边形AEDF
17、为平行四边形又AED90，四边形AEDF是矩形AD3，EFAD3.4(1)证明：四边形ABCD是正方形，ADBA，DBAE90，DAFBAF90.AFBE，ABEBAF90.DAFABE.DAFABE.AFBE.(2)解：MP与NQ相等理由如下：过点A作AFMP交CD于F，过点B作BENQ交AD于E，MPNQ，AFBE，由(1)知AFBE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，AFMP，BENQ，MPNQ.5解：在矩形ABCD中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1EA
18、E，A1D1AD，D1FDF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)1010101030.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案6解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.理由如下：四边形ABCD是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90.四边形ABCO是正方形，EOF90，EOFBOC.EOFBOFBOCBOF，即BOECOF.BOEC
19、OF.SBOESCOF.两个正方形重叠部分的面积等于SBOC.S正方形ABCD111.SBOCS正方形ABCD.两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.7B点拨：因为DFDC，DC4t cm，所以DF2t cm.又因为AE2t cm，所以AEDF.因为AEDF，所以可推出四边形AEFD为平行四边形令AEAD，则604t2t.解得t10.所以当t10时，四边形AEFD为菱形8解：(1)在菱形ABCD中，ACBD，BGBD168，由勾股定理得AG6，AC2AG2612.菱形ABCD的面积ACBD121696.(第8题)(2)OEOF的值不发生变化理由：如图，连结AO，则SABDSABOSAOD，所以BDAGABOEADOF，即16610OE10OF，解得OEOF9.6，是定值，不变(3)OEOF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OEOF9.6.理由：如图，连结AO，则SABDSABOSAOD，所以BDAGABOEADOF，即16610OE10OF，解得OEOF9.6.