1、浙江省诸暨市2022届高三数学上学期选考模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解出集合中的不等式，然后可得答案.【详解】，所以故选：D2. 已知（为虚数单位），则复数的模为（ ）A. B. 4C. 5D. 【答案】C【解析】【分析】结合复数除法运算和对应关系先求，再由模长定义求的模.【详解】，所以，故，.故选：C3. “”是“为锐角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】
2、以为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零【详解】解：以为起点的两个向量数量积大于零，夹角是锐角，但不能说明其他角情况，在中，“”不能推出“为锐角三角形”，为锐角三角形，前者是后者的必要不充分条件，故选：【点睛】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定4. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的外接球的体积（单位：）是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，判断出外接
3、球半径，结合球体体积公式即可求解.【详解】如图，为还原后的立体图，正四面体的外接球半径应为对应正方体体对角线一半，即，则该几何体的外接球的体积为.故选：A5. 若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数即可求得最大值.【详解】作出可行域，即图中三角形ABC区域，不含边界AC要使越大，只需将直线向下平移至B点即最优解，解得所以的最大值为故选：A6. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上一点，且，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】易知在平面内，作平面的延长面，交底面的延长面于，作
4、于点，由几何关系易证平面，求得即可求解.【详解】如图所示，分别作的延长线，交的延长线于点，作于点，易知在平面内，又因为在上，所以点到平面的距离可等价为点到平面的距离，底面，平面，平面，点到平面的距离为，故选：C7. 已知函数，则如图所示的函数为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象判断函数的奇偶性，根据解析式判断、的奇偶性，再由各选项的函数表达式，应用奇偶性定义判断奇偶性即可.【详解】由图象的对称性知：函数关于原点对称，即为奇函数，根据解析式易知：为偶函数，为奇函数，A：，不合要求；B：，不合要求；C：，不合要求；D：为奇函数，符合要求.故选：D.8. 已知函数，则函数在
5、区间上的最小值的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，即可得到的解析式，作出函数图象，结合函数图象求出的最小值的函数关系式，从而得到的取值范围，即可得到的最小值的取值范围；【详解】解：因为， 令，所以，所以的图象如下所示：因为，所以时，当时，所以，当时，所以，因为，即，又在定义域上单调递增，所以，即故选：D9. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，现将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】写出焦点坐标，由抛物线方程与定义，计算点坐标，从而得，可得，进而可得直线的倾斜角，计算得.【详
6、解】由题意，设，由及抛物线定义可得，得，代入抛物线方程可得，所以.如图，设，则，所以，将直线绕点逆时针旋转得到直线，所以直线的倾斜角为，故轴，即的横坐标为，代入抛物线方程得，所以.故选：C10. 已知正项数列满足，则（ ）A. 对任意的，都有B. 对任意的，都有C. 存在，使得D. 对任意的，都有【答案】D【解析】【分析】可赋值，验证AB；通过构造函数，对进行放缩，可得，累乘法可判断CD.【详解】因为，不妨令，则，即，故AB错误；，构造，则，当，单增，当时，单减，故，即，所以，即，因为，所以，累乘法可得，即，也即.故C错误，D正确.故选：D二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空
7、3分，共36分）11. 下面这道题来自于张丘建算经，张丘建是南北宋时期的著名数学家，最早提出三元一次不定方程的根，这题也是他买鸡偶然提出的. 题：用100文购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱只，则三种鸡都有时，公鸡至少有_只.【答案】4【解析】【分析】设买公鸡x只,母鸡y只，小鸡z只，由 ，得到，再根据 为正整数求解.【详解】设买公鸡x只,母鸡y只，小鸡z只，由题意得： ，则，因为 为正整数，所以x必须是的倍数，当x分别为 时，得 ， ， 所以公鸡至少有4只，故答案：412. 已知，函数，若，则 _.【答案】【解析】【分析】利用函数的解析式可得出求得实数的值.【详解
8、】由已知可得，故故答案为：.13. 已知，则 _；则 _.【答案】 . 80 . 405【解析】【分析】由，利用通项公式求解；由两边求导，再利用赋值法求解.【详解】因为，所以；两边求导得，令，得，所以，故答案为：80，40514. 如图，在中，是边上一点，满足，则 _； _.【答案】 . . 【解析】【分析】中由余弦定理求出，在中，由余弦定理可得解；中，由正弦定理可得解.【详解】由题满足，所以中，由余弦定理中，由余弦定理可得，中，由正弦定理可得：，所以.故答案为：，15. 袋中有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，其余均为白球，每次从袋中有放回地抽取一个小球，抽取3次，记取到红球的次数为
9、随机变量，若，则_，_【答案】 . . 【解析】【分析】根据对立事件的概率求得，从而解得x，再根据二项分布求得数学期望.【详解】，则，则，故答案为：；.16. 已知双曲线，焦点，左顶点，若过左顶点的直线和圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则直线的斜率是 _， 双曲线的离心率是 _.【答案】 . . 【解析】【分析】由题意，写出圆心坐标与半径，设过左顶点的直线和圆相切于点，连接，表示出和，计算，从而计算出，进而得直线斜率，再由双曲线的性质得，列等式，由关系即可得离心率.【详解】如图，设圆的圆心为，则圆心坐标，半径为，则，设过左顶点的直线和圆相切于点，连接，则，所以，得，所以直线的斜率是；轴
10、，由双曲线的通径可得，又，所以，化简得，求解得.故答案为：；【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)17. 已知平面向量满足： ，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】对向量进行坐标处理，解析法求解最值.【详解】设，所以或，当时，即圆上的点到的距离最小值的倍，即，当时，即圆上的点到的距离最小值的倍，即故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答
11、应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18. 设函数.（1）求的最小值和对称轴方程；（2）为的导函数，若，求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）结合诱导公式、辅助角公式及二倍角公式化简可得，进而求解最值和对称轴；（2）结合导数和，可得，再由万能公式和两角和的正切公式可求的值.【小问1详解】.， 当 时，时，令时，对称轴方程；【小问2详解】，原式.19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形.平面，当分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若且，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）要证平面，即证（等腰三角形性质）
12、，（由线面垂直性质证明）；（2）结合建系法，由二面角余弦值的向量法求出，再由线面角的向量公式直接求解.【小问1详解】证明：，为中点，四边形为矩形，又平面平面，又平面，平面，平面，分别的中点，又平面，平面；【小问2详解】显然两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则，由题意得，解得，设直线与平面所成的角为，则.20. 已知数列中，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设，结合已知条件，由待定系数法求出，进而可得是等比
13、数列，求出的通项公式进而可得的通项公式；（2）利用分组求和求出，分离可得对于任意正整数恒成立，令，利用的单调性求出的最大值，即可求解.【小问1详解】设，即，因为，所以，可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以.【小问2详解】 ，若对于恒成立，即，可得即对于任意正整数恒成立，所以，令，则，所以，可得，所以，所以的取值范围为.21. 椭圆：的离心率为，且椭圆经过点.直线与椭圆交于两点，且线段的中点恰好在抛物线上.（1）求椭圆的标准方程；（2）求（为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）将点代入椭圆标准方程，结合离心率和关系
14、式即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，得出关于的一元二次方程，写出韦达定理，结合中点在上求出与关系式，再由弦长公式和点到直线距离公式表示出，结合二次函数性质可求最值.【小问1详解】椭圆的离心率为，且椭圆经过点，椭圆的标准方程为；【小问2详解】由得，设，则，线段的中点为，又点在抛物线上，或，当时，三点共线（舍去），又，点到直线的距离，当时，的面积取得最大值，此时，此时直线的方程为.22. 已知函数.（1）当时，试讨论函数的单调增区间；（2）设，在上不单调，且恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）；（3）设，若存在两个极值点，且，求证：.【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增. （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，对分子分类讨论；（2）根据在上有解，转化为讨论单调性求解；（3）利用导函数分析出的范围，根据单调性求解.【小问1详解】当时，的定义域为，当时，即时，在上单调递增，当时，即时，令，显然，在和上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增；【小问2详解】， 在上不单调，在上有正负，在上有解，恒成立，记，则，记，在上单调递增，在上单调递减，于是知：当，即时，恒成立，在上单调递增，；当时，故不满足题意，综上，；【小问3详解】证明：，由，又由，在上单调递减，令记，则，上单调递增，在上单调递增，.
