1、第 1页（共 4 页）龙岩一中 2023 届高三上学期第二次月考数学试题考试时间:120 分钟试卷满分:150 分第卷（选择题共 60 分）一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知1,0,1,3,5A ，230Bxx，则RAC B（）A0,1B1,1,3C1,0,1D3,52若 p：511xx，则 p 成立的一个充分不必要条件是（）A 21x B 12x C15xD 25x3已知函数 2ln16f xxx，则下列区间中含 fx 零点的是（）A0,1B1,2C2,3D3,44如图是杭州 2022 年第 19 届亚运
2、会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展如图是会徽的几何图形，设弧 AD 长度是 l1，弧 BC长度是 l2，几何图形 ABCD 面积为 S1，扇形 BOC 面积为 S2，若122ll，则12SS （）A1B2C3D45已知22sinsin,coscos33，且,0,2，则tan 的值为（）A 2 145B2 145C52D52第 2页（共 4 页）6已知2222cos1 ln 4fxxx，则函数 fx 的部分图象大致为（）ABCD7已知
3、22231,0log,0 xxxf xx x，函数 g xf xb有四个不同的零点1234,x xx x，且满足：1234xxxx.则下列结论中不正确的是（）A341x x B 10b C3112xD1232xx 8已知13sin 2,ln 2,2abc，则 a，b，c 的大小关系是（）AcbaB abcCbacDbca二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9下列各式中，值为3 的是（）A22 52 coscos1212B1tan151tan15Ccos15
4、3 sin15 D16sin10 cos 20 cos30 cos 4010已知0a，0b，且4ab，则下列结论正确的是（）A4ab B 111abC2216abD228ab11已知函数 3sin 222f xx的图像关于直线3x对称，则（）A函数12fx为奇函数B函数 fx 在,3 2 上单调递增C函数 fx 的图像向右平移 0a a 个单位长度得到的函数图像关于6x对称，则 a 的最小值是 3D若方程 f xa在2,63上有 2 个不同实根12,x x，则12xx的最大值为 212已知1ab，则（）A lnlnabbaB11eabab C11ebaD若mbbn，则maan第 3页（共 4
5、页）第卷（非选择题共 90 分）三、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分,其中第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分.13已知角 的终边经过点(2,1)P，则22cos2sincos2 _.14求函数()xef xx的单调递减区间_.15已知函数(1)yf x的图象关于直线3x 对称，且对Rx 都有()()2f xfx，当2(0,x 时，()2f xx.则(2022)f _.16已知函数 sincos(0,0)f xxax a图像的两条相邻对称轴之间的距离小于,33f，且 6f xf，则 的最小值为_.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明
6、、证明过程或演算步骤.17（本题满分 10 分）a，b，c 分别为 ABC内角 A，B，C 的对边已知2225,sin2 sin8bcabcCB(1)求cos A；(2)若 ABC的周长为615，求 ABC的面积.18（本题满分 12 分）已知函数 22sinsin3sin coscos44f xxxxxx.(1)求 fx 的对称中心，并求当0,2x时，fx 的值域；(2)若函数 g x 的图像与函数 fx 的图像关于 y 轴对称，求 g x 在区间0,上的单调递增区间.19（本题满分 12 分）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念
7、章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价 y（单位：元）与上市时间 x（单位：天）的数据如下表：上市时间 x（天）2620市场价 y（元）10278120(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：(0)yaxb a，20yaxbxc a，log0,0,1byax abb，(0)ayb ax；第 4页（共 4 页）(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在10,x，使得不等式 010f xkx成立，求实数 k 的取值范围20（本题满分 12
8、 分）已知函数21()2ln(21)(0)2f xxaxaxa(1)若曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线经过原点，求 a 的值；(2)设2()2g xxx，若对任意(0,2s，均存在(0,2t，使得()()f sg t，求 a 的取值范围21.（本题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，1112,ABACAAABACA ABA AC，D是棱11B C 的中点.(1)证明：1AABC；(2)若三棱锥11BA BD的体积为 146，求平面1ABD 与平面11CBB C 所成锐二面角的余弦值.22（本题满分 12 分）已知函数()esin10 xf xaxa在区间0,内有唯
9、一极值点1x.(1)求实数 a 的取值范围；(2)证明：()f x 在区间(0,)内有唯一零点2x，且212xx.-1-龙岩一中 2023 届高三上学期第二次月考数学答案 1-8：DDCC BABD 9.ABD 10.AB 11.AC 12.BC 13.4314.0,和1,0 15.2 16.13 17（1）因为22258bcabc，由余弦定理可得222-5cos216bc aAbc.故5cos16A 4（2）因为sin2sinCB，所以2cb.由余弦定理得2222152cos4abcbcAb，则152ab.6 因为 ABC 的周长为615，所以1536152bb，解得2b.8所以 ABC 的
10、面积为215231212164bb 10 18.（1）因为函数 22sinsin3sin coscos44f xxxxxx 2222232cossincossinsin 2cos22222xxxxxx 2231 cos2cossinsin 222xxxx 13sin 232x 3 令2,3xkkZ，解得62kx ，即对称中心1,622kkZ，5 当0,2x 时，则 42,333x，再结合三角函数图像可得 11,32f x 所以，函数对称中心：1,622k，k Z，值域：11,32.7（2）因为函数 g x 的图像与函数 f x 的图像关于 y 轴对称，则 13sin232g xfxx，9 令
11、32 22 232kxk，k Z，解得7,1212kxkk Z 11 当1k 时，即为 5 11,1212 所以当0,x时，g x 的单调递增区间：5 11,1212.12 19.（1）由题表知，随着时间 x 的增大，y 的值随 x 的增大，先减小后增大，而所给的函数-2-(0)yaxb a，log0,0,1byax abb和(0)ayb ax在(0,)上显然都是单调函数，不满足题意，故选择20yaxbxc a 3（2）把2,102，6,78，20,120 分别代入2yaxbxc，得42102,36678,40020120,abcabcabc 解得12a，10b ，120c 221110120
12、107022yxxx，,()0 x 5 当10 x 时，y 有最小值，且min70y 故当该纪念章上市 10 天时，市场价最低，最低市场价为每枚 70 元 7（3）令 1701010210f xg xxxx(10,)x，8 因为存在10,x，使得不等式 0g xk成立，则 minkg x 9 又 170170102102 35210210g xxxxx 当102 35x 时，g x 取得最小值，且最小值为2 35，2 35k 12 20.解：（1）由21()2ln(21)(0)2f xxaxax a，可得2()21fxaxax 因为(1)2211faaa ，13(1)21122faaa ，所以
13、切点坐标为3(1,1)2a，切线方程为：311(1)2ayax，因为切线经过(0,0)，所以 3112aa ，解得4a 4（2）解：由题可知()f x 的定义域为(0,)，21()(21)2fxaxaxx，令()0fx，则2(21)20axax，解得1xa 或2x ，6 因为0,a 所以10a，所以12a，令()0fx，即2(21)20axax，解得：12xa，-3-令()0fx，即2(21)20axax，解得：1xa 或2x，8 又()f x 的定义域为(0,)，所以，()f x 增区间为(0,2)，减区间为(2,)因为22()211g tttt，所以函数()g t 在区间(0,2的最大值为
14、0，9 函数()f s 在(0,2)上单调递增，故在区间(0,2上max()(2)2ln 222f sfa，10 所以2ln 2220a，即ln 210a，故1ln 2a ，所以a 的取值范围是(0,1 ln2)12 21.（1）取 BC 中点 O，连接 AO，1AO,1AC,因为 ABAC,所以 AOBC,2 因为11A ABA AC，11,ABAC AAAA，所以11A ABA AC，所以11A BAC，所以1AOBC，4 因为1AOAOO，1,AO AO 平面1AAO，所以 BC 平面1AAO，因为1AA 平面1AAO，所以1AABC；6（2）连接OD，则平面1AAO 即为平面1AA D
15、O，由（1）知 BC 平面1AA DO，因为 BC 平面 ABC，且 BC 平面11BCC B，故平面1AA DO 平面 ABC，平面1AA DO 平面11BCC B，过 O 作1OMA D于 M，则OM 平面 ABC，过1A 作1A HOD于 H，则1A H 平面11BCC B，因为11DOBBAA知 DOBC，在 ABC 中：2,2 2ABACBC，所以11122BDBSDB DO，所以11111111214336BA BDABDBBDBAAVVShh，所以1172AA Hh，8 -4-法一：设MOD，则1DA H，在1RtA HD中117142cos42A HA D，所以214sin,c
16、os22DMDOOMOD，又12A D，所以点 M 为线段1A D 的中点，以 O 为原点，分别以,OA OB OM 分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系，1214(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),0,22ABCA，1214214,2,0,2222BD，设面1A BD 的法向量为1111,xny z，则有11111111121420222142022n BAxyzn BDxyz，两式相减得：10 x ，所以1114202yz，令12z，可得：17y，所以1(0,7,2)n，设面11CBB C 的法向量为2222,nxyz，则有2211222 20214022nCByn
17、CBxz，解得：20y，令21z ，解得：27x 所以2(7,0,1)n，设锐二面角为，则有121222cos2122477n nnn.12 法二：过 H 做 HEBD，连接1A E，1A H 面11BCC B，1A HDB，则 DB 面1A HE，-5-1AEBD，则1A EH即为所求二面角.在1RtA DH中，117,22A HA D，则12DH，在 Rt DOB 中，2,2,6DOOBDB，由 RtRtDEHDOB 可得：HEDHOBDB，36HE，则1116A E，11122cos2222HEA EHA E.12 22.解：(1)()ecosxfxax，1 当 01a 时，因为0,x，
18、所以 cos1ax，1eex，()0fx，()f x 在0,上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；当1a 时，令()=()g xfx，则()esinxg xax，因为0,x，所以()0g x，所以()fx在0,上递增，又因为(0)10fa，2e02f，所以()fx在0,上有唯一零点1x，且10,2x，所以10,xx，()0fx；1,2xx ，()0fx，所以()f x 在0,上有唯一极值点，符合题意.综上，(1,)a.4(2)由（1）知1a ，所以,2x 时，()ecos0 xfxax，所以10,xx，()0fx，()f x 单调递减；1,xx，()0fx，()f x 单调递增，所以10,x
19、x时，()(0)0f xf，则 10f x，又因为()e10f ，所以()f x 在1,x上有唯一零点2x，即()f x 在(0,)上有唯一零点2x.6 因为112211112esin21e2 sincos1xxfxaxaxx ，由（1）知 10fx，所以11ecosxax，7 -6-则112112e2e sin1xxfxx，构造2()e2e sin1,0,2ttp ttt，8 所以2()2e2e(sincos)2e esincosttttp ttttt，记()esincos,0,2tttt t，则()ecossintttt，显然()t在 0,2 上单调递增，所以()(0)0t，9 所以()t在 0,2 上单调递增，所以()(0)0t，所以()0p t，所以()p t 在 0,2 上单调递增，所以()(0)0p tp，10 所以1220fxf x，由前面讨论可知：112xx，12xx，且()f x 在1,xx 单调递增，所以122xx.12