1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N种不同的方法m1m2mn基础诊断考点突破课堂总结2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn
2、种不同的方法，那么完成这件事情共有N种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成m1m2mn基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，
3、只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不 同 的 方 法 mi(i 1,2,3，n)，那 么 完 成 这 件 事 共 有m1m2m3mn种方法()基础诊断考点突破课堂总结2从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A3 B4 C6 D8解析 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9；把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，所求的数列共有2(211)8(个)答案 D基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结4
4、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种解析按ABCD顺序分四步涂色，共有432248(种)答案48基础诊断考点突破课堂总结55位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名 同 学 报 名，由 分 步 乘 法 原 理，总 的 报 名 方 法 共2222232(种)答案32基础诊断考点突破课堂总结考点一 分类加法计数原理的应用 【例1】(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法
5、共有()A4种 B10种 C18种 D20种(2)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D9基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结答案(1)B(2)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏)基础诊断考点突破课堂总结【训练1】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信
6、息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D15基础诊断考点突破课堂总结解析与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C6(个)；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C4(个)；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C1(个)；故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有64111(个)答案B基础诊断考点突破课堂总结考点二 分步乘法计数原理的应用【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况
7、下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限基础诊断考点突破课堂总结解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36729(种)(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法654120(种)(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法6
8、3216(种)基础诊断考点突破课堂总结规律方法利用分步乘法计数原理解决问题：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A240种 B360种 C480种 D720种(2)用0、1、2、3、4、5可组成无重复数字的三位数的个数为_个基础诊断考点突破课堂总结答案(1)C(2)100基础诊断考点突破课堂总结考点三 两个原理的综合应用 【例3】将一个四棱
9、锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一设想染色按SABCD的顺序进行，对S、A、B染色，有54360(种)染色方法由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择从而对C、D染色有13227(种)染色方法由乘法原理，总的染色方法有607420(种)基础诊断考点突破课堂总结法二 根据所用颜色种数分类可分三类第一类：用三种颜色，此时A与C，
10、B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点共A60(种)涂法；第二类：用4种颜色，此时A与C，B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A240(种)；第三类：用5种颜色，涂法种数共A120(种)综上可知，满足题意的染色方法总数为60240120420(种)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步在分步时可能又用到分类加法计数原理(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120
11、,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920解析若a22，则“凸数”为120与121，共122(个)若a23，则“凸数”有236(个)若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个)所有凸数有26122030425672240(个)答案 A基础诊断考点突破课堂总结思想方法1应用分类计数原理要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事(2)完成这件事的n类办法是相互独立的，无论哪种办法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他办法(3)确立恰当的分类
12、标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这是分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”基础诊断考点突破课堂总结2使用分步乘法计数原理的关注点(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数(3)解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以重复选取基础诊断考点突破课堂总结易错防范1切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行2分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步3确定题目中是否有特殊条件限制.
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