1、第九章 统计91随机抽样91.1简单随机抽样目标 1.理解简单随机抽样的概念；2.掌握常见的两种简单随机抽样的方法；3.能合理地从实际问题的总体中抽取样本重点 掌握用简单随机抽样方法(抽签法和随机数法)从总体中抽取样本的方法和步骤难点 运用简单随机抽样方法解决实际问题 要点整合夯基础 知识点一 简单随机抽样的概念填一填一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1nN)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这
2、样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样答一答1现有甲、乙两位同学对同一个总体用简单随机抽样的方法抽样，那么他们抽取的样本一定一样吗？提示：这两位同学抽出来的样本不一定一样因为对于一次简单随机抽样来说，抽出来的样本是确定的，而这两位同学分别抽取时，各个个体是否入样带有随机性，且个体间无固定间距2利用简单随机抽样，从一个含有N个个体的总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)，每个个体入样的可能性是多少？提示：简单随机抽样每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，均为.3根据简单随机抽样的定义，简单随机抽样有哪些特征？提示：简单随机抽样
3、的特征是：总体个数有限、逐个抽取、等可能知识点二 简单随机抽样的方法填一填1抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀后，从中不放回地逐个抽取号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本2随机数法利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样答一答4抽取一个号签，记录其编号后放入容器中，再次抽取记录，连续n次后得到号签上的号码对应的个体，这些个体组成样本，这种抽样方法是抽签法吗？提示：不是因为抽签法是逐个不放回抽取，目的是保证抽取的号签不会重复，而这里是将号签记录编号后又放回容器中，所以该抽样方法不是抽签法5抽签法的一般步骤是
4、什么？提示：(1)将总体中个体编号1N.(2)将所有编号1N写在形状、大小相同的号签上(3)将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀(4)从容器中不放回地逐个抽取号签，并记录其编号，连续抽取n次(5)从总体中将与抽取到的号签的编号相一致的个体取出6抽签法与随机数法有哪些相同点与不同点？提示：相同点：抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；抽签法和随机数法都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样不同点：抽签法相对于随机数法简单；随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这
5、样可以节约制作号签的成本知识点三 总体平均数和加权平均数填一填1一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，YN，则称i为总体均值，又称总体平均数2一般地，对于f1个x1，f2个x2，fn个xn，共f1f2fn个数组成的一组数据的平均数为.这个平均数叫做加权平均数，其中f1, f2， fn叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即fi(i1,2，k)越大，表明xi的个数越多，“权”就越大答一答7算术平均数与加权平均数有什么区别？提示：一组数据的算术平均数与加权平均数概念是不一样的，简单的说，如果一组数据是：70,90，那么，它的算术平均数 (7090)280，而加权平均数则
6、取决于各个数据的权(或权重)当70的权重是40%, 90的权重是60%时，加权平均数7040%9060%82；当70的权重是70%, 90的权重是30%时，加权平均数7070%9030%76；当70的权重是50%, 90的权重是50%时，加权平均数7050%9050%80. 由此可见，一组数据的算术平均数只有一个，当数据组中的每个数据确定后，算术平均数也确定了而一组数据的加权平均数可能有多个，它是根据各个数据的权重不同而发生变化的，当各个数据的权重一样时，加权平均数等于算术平均数当各个数据的权重不同时，加权平均数不一定等于算术平均数. 典例讲练破题型 类型一 简单随机抽样的概念例1(1)关于简
7、单随机抽样，下列说法正确的是()它要求被抽取样本的总体的个数有限；它是从总体中逐个地进行抽取；它包括不放回抽样；它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性A BC D(2)下面的抽样方法是简单随机抽样的是_从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本；从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查；一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码；用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检
8、验分析根据简单随机抽样的概念及特征去判断解析(1)由随机抽样的特征可知正确，故选D.(2)中样本总体数目不确定，不是简单随机抽样；中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随机抽样；符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样答案(1)D(2)判断一个抽样是否是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的特点，这是判断的唯一标准.(1)简单随机抽样的总体个数有限；(2)简单随机抽样的样本是从总体中逐个抽取；(3)简单随机抽样包括放回和不放回两种抽样；(4)简单随机抽样的每个个体入样机会均等.变式训练1下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)质量监督部门从
9、180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样操作过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战2016年里约热内卢奥运会；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签解：(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的(2)是简单随机抽样，因为简单随机抽样包括放回地抽取样本(3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是
10、不放回、等可能的抽样类型二 简单随机抽样的应用命题视角1：抽签法的应用例2某班40名同学，随机抽取10名同学参加某项活动，请写出采用抽签法抽取的过程分析根据抽签法的一般步骤来写解第一步，对这40个学生进行编号，编号分别为1,2，40.第二步，将号码写在形状、大小相同的号签上第三步，将号签放在一个不透明的箱中，并搅拌均匀第四步，从箱中不放回地逐个抽取号签，连续抽取10次第五步，将与号签上的号码对应的同学选出即得样本一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀.在适用此法时，一定要注意“放入不透明容器，并充分搅匀”.变式训练2要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆
11、进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程. 解：应使用抽签法，步骤如下：将30辆汽车编号，号码是1,2,3，30；将130这30个编号写在大小、形状都相同的号签上；将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；从容器中不放回地逐个抽取号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象命题视角2：随机数表法的应用例3某学校高二年级有500名学生，考试后为详细分析教学中存在的问题，计划抽取一个容量为20的样本，使用随机数法进行抽取，要取三位数，写出抽取过程(写出具体方法即可)分析已知N500，n20，用随机数表法抽样时编号001,002，500，抽取20个编号(都
12、是三位数)，对应的学生组成样本解第一步：给500名学生编号：001,002,003，500；第二步：从随机数表的第13行第7列(任意选取的)开始向右连续读取数字，以3个数为一组，碰到右边线时向下错一行由左向右继续读取在读取时，遇到大于500或重复前数时，将它舍弃，再继续向下取，直到取满20个小于或等于500的数为止，说明20个样本号码已取满；第三步：以上这20个号码所对应的20名学生就是要抽取的对象1.在利用随机数表法抽样的过程中应注意：(1)编号要求位数相同；(2)第一个数字的抽取是随机的；(3)读数的方向是任意的，且要事先定好.2.随机数表法的特点：优点：简单易行.它很好地解决了当总体中的
13、个体数较多时用抽签法制签难的问题.缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本量也很大时，用随机数表法抽取样本容易重号.变式训练3总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(D)7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D01解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01.其
14、中第二个和第四个都是02，重复可知对应的数值为08,02,14,07,01，则第5个个体的编号为01.类型三 总体平均数和加权平均数例4某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投入n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？分析根据加权平均数的定义进行列式计算即可解设投进3个球的人数为a，投进4个球的人数为b，根据已知有3.5，2.5，即解得故进3个球的有9人，进4个球的有3人变式训练4小林在八年级第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得84分，第二单元得7
15、6分，第三单元得92分；期中考试得82分；期末考试得90分，如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%、30%、60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为多少分？解：(平时单元测试平均成绩)84(分)所以总平均成绩为87(分)所以小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为87分 课堂达标练经典 1为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是(C)A总体 B个体C总体的一个样本 D样本量解析：200个零件的长度从总体中抽出的个体所组成的集合，是总体的一个样本，故选C.2用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一
16、个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是(A)A.， B.，C.， D.，解析：根据简单随机抽样的定义知选A.3为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析就这个问题，下列说法中正确的有.2 000名运动员是总体；每个运动员是个体；所抽取的20名运动员是一个样本；样本量为20；这个抽样方法可采用随机数表法抽样；每个运动员被抽到的机会相等解析：2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体；每个运动员的年龄是个体；20名运动员的年龄是一个样本4天津某大学为了支持东亚运动会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组
17、，请用抽签法和随机数法设计抽样方案. 解：抽签法：第一步：将60名大学生编号，编号为1,2,3，60；第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；第四步：从盒子中不放回地逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员随机数法：第一步：将60名学生编号，编号为01,02,03，60；第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数；第三步：凡不在0160中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下10个得数；第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组本课须掌握的三大问题1简单随机抽样是一种简单、基本的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法2抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便两种方法只适合总体容量较少的抽样类型3简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误