1、83简单几何体的表面积与体积83.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积目标 1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积重点 求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积难点 棱台的体积 要点整合夯基础 知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积填一填1棱柱的表面积棱柱的表面积：S表S侧2S底其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧Ch；长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表2(abacbc)；棱长为a的正方体的表面积：S表6a2.2棱锥的表面积棱锥的表面积：S表S侧S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h的正棱锥的侧面积：S侧Ch.3棱台的表面积棱台的表面积：S表S侧S
2、上底S下底多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和答一答1几何体的侧面积与表面积有何区别？提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积表面积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积填一填1棱柱的体积(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积VSh.2棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积VSh.3棱台的体积(1)棱台的高
3、是指两个底面之间的距离(2)棱台的上、下底面面积分别是S、S，高为h，其体积Vh(SS)答一答2对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？ 提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面. 典例讲练破题型 类型一多面体的表面积例1已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为_分析利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积解析正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰
4、梯形，易求出斜高为 cm，故三棱台的表面积为3(24)24259.答案(59) cm2在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理.变式训练1如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.所以S侧Ch60.
5、461.64.416(m2)所以S表S侧2S底4.41620.46265.6(m2)故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板类型二多面体的体积例2如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.B5C6 D. 解析如图，连接EB，EC，AC，则VEABCD3226.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.VFEBCVCEFBVCABEVEABCVEABCD.VVEABCDVFEBC6.答案D求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底
6、面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 变式训练2三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为(C)A111B112C124D144解析：如图，设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V三棱台ABCA1B1C1h(S4S2S)Sh，VBA1B1CV三棱台ABCA1B1C1VA1ABCVCA1B1C1ShSh.体积比为124，应选C. 课堂达
7、标练经典 1已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是(D)A6B12C24D48解析：设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又体对角线长为2，则x2(2x)2(3x)2(2)2，解得x2.三条棱长分别为2、4、6.V长方体24648.2如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是(C)A. B.C. D.解析：因为VCABCV柱，所以VCAABB1.3棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于62.解析：体积V(24)362.4如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正
8、三角形组成，则该多面体的体积是.解析：易知该几何体是正四棱锥设正四棱锥为PABCD，如图，连接BD，则PDPB1，BD，则PDPB.设底面中心为O，则正四棱锥高PO，则其体积是VSh12.5建造一个容积为16 m3，深为2 m，宽为2 m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价解：设长方体的长、宽、高分别为a m，b m，h m，水池的总造价为y元Vabh16，h2，b2，a4.则有S底428 (m2)，S壁2(24)224 (m2)，yS底120S壁80120880242 880(元)本课须掌握的三大问题1空间几何体的表面积的求法技巧：(1)
9、多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理2求几何体体积的常用方法：(1)公式法：直接代入公式求解(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积3在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”学科素养培优精品微课堂多面体体积计算常见技巧开讲啦 棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算常见的求几何体体积的
10、方法有：公式法，等积法，分割法，构造法等1等积法三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解典例1如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，截下一三棱锥D1A1CD，求三棱锥D1A1CD的体积与剩余部分的体积之比解剩余部分是一个不规则的几何体，可利用长方体和三棱锥的体积之差来求设矩形ADD1A1的面积为S，侧棱CD的长为h，则VD1A1CDVCA1D1DShSh，剩余部分的体积为ShShSh，所以三棱锥D1A1CD的体积与剩余部分的体积之比为15.2分割法当所给几何体是不规则或不易求体积的几何体时，可以将原几何体分割成几个规则的几何体，然后分别求这几个几
11、何体的体积，再求和，便得到原几何体的体积典例2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_解析该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体如图，分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，棱锥高为，棱柱高为1，AG.取AD的中点M，则MG，SAGD1，所以V12.答案3构造法对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质典例3如下图，在等腰梯形
12、ABCD中，AB2CD2，DAB60，E是AB的中点，将ADE，BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，求三棱锥PCDE的体积 解根据题意，折叠后的三棱锥PCDE的各棱长都相等，且等于1，根据此三棱锥构造相应正方体(如图)，则该正方体的棱长为，故正方体的体积为()3，所以三棱锥PCDE的体积为4.对应训练在四面体ABCD中三组对棱分别相等，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则所以因为VDABEDESABEV长方体，同理VCABFVDACGVDBCHV长方体，所以V四面体ABCDV长方体4V长方体V长方体，而V长方体23424，所以V四面体ABCD8.