1、平谷区20202021学年第二学期质量监控高二数学 2021、7一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 题号12345678910答案BD A BD CB CAA二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 12. 13. 真 14. 16 15. 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. （本小题13分）解：选：（I）因为，即所以数列是首项为1，公差为4的等差数列 . 3分所以数列通项公式 6分（II） 10分当，即解得所以的最大值为7 . 13分选：（I）因为所以当时，即又两式相减，得：当整理得 4分即数列是首项为1，公比为2的
2、等比数列. 所以数列通项公式 7分（II） 10分当，即解得所以的最大值为6 . 13分 选：（）因为, 所以. 两式相减得 , 即. 4分 又因为 5分 所以数列是常数列. 所以数列的通项公式为. 7分（）数列是常数列所以 10分当，即所以的最大值为100. 13分17.（本小题14分）解：（I）设“至少摸到2个红球”为事件A 1分设“摸到2个红球”为事件,“摸到3个红球”为事件，因为事件与事件互斥，所以,或者，所以即至少摸到2个红球的概率为 .7分（II）解法一：设“第三次恰好摸到红球”为事件B，8分事件B即为“在前2次中只摸到一个红球，第三次摸到第二个红球”,则有种情况.摸三次球，样本空
3、间，即第三次恰好摸到红球的概率为 .14分解法二：设“第三次恰好摸到红球”为事件B，8分设“在前2次中只摸到一个红球”为事件,“第三次摸到第二个红球”为事件，则 14分18.（本小题14分）解：（I）函数定义域为，因，所以切点为.2分又4分所以即切线斜率为5分所以切线方程是，即7分（II）令 8分 1+0_0+极大值极小值如表格，函数的单调增区间是和，单调减区间是.12分又因为函数的极大值，13分所以当时恒成立，而函数在区间上单调递增，所以存在，使得，即函数只有一个零点. 14分19. （本小题15分）解：（I）设“从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同
4、”为事件A， 1分由表格可得：随机抽取的50名学生中，成绩在80分以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即.所以事件A包含21个样本点 ，因此 .4分（II）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为.即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为 .6分因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在80分以上的人数可取，且 .7分，.11分所以随机变量的分布列0123数学期望或者，所以 .13分（） .15分20. （
5、本小题15分）解：（I），则，.2分令， .3分所以，即在区间上单调递减；，即在区间上单调递增；所以函数有极小值，无极大值. .5分（II）因为，有恒成立设函数,则恒成立 . .6分因为.8分当时，所以即在区间上单调递减，在区间上单调递增.因此函数在时有最小值 当，即时，函数在区间恒成立 . .10分当时，令，当，即时，恒成立，即：函数在区间单调递增.所以函数，满足条件 . .11分当，即时，若即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数在时有最小值，而恒成立.所以满足条件.若即时，在区间上单调递减，在区间，上单调递增. 而 ，所以函数在区间恒成立. . .14分综上,当时，函数在区间恒成立. .15分21.（本小题14分）解：（）令时，的最小值 令时，的最小值 令时，的最小值 令时，的最小值 . .4分 （） 由 ，即数列是首项为1，公比为2的等比数列 所以使得成立的的最小值为： ， ， ， ， ， ， ， 所以. .9分（）由题意，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 对于正整数，由，得.根据的定义可知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，；当时，.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . .14分