1、空间几何体的表面积和体积 编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的表面积】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的
2、形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底高棱锥平面多边形三角形面积=底高棱台平面多边形梯形面积=（上底+下底）高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积1圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2r，宽等于圆柱侧面的
3、母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2r （2）圆柱的表面：2圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=r，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是（2）圆锥的表面积：S圆锥表=r2+r 3圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为，那么这个扇环的面积为(r+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=(r+r)（2）圆台的表面积：要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后
4、求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示 【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】要点三、柱体、锥体、台体的体积1柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=r2h综上，柱体的体积公式为V=Sh2锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用r2表示S，则综上，锥体的体积公式为3台体的
5、体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S、S，高是h，那么它的体积是圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r、r，高是h，那么它的体积是综上，台体的体积公式为4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示 【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】要点四、球的表面积和体积1球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4R2即球面面积等于它的大圆面积的四倍2球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数球的体积公式为要点五、侧面积与体积的计算1多面体的侧面积与
6、体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式（2）有关棱柱直截面的补充知识在棱柱中，与各侧
7、棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧=C直截（其中C直截、分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），V棱柱=S直截（其中S直截、分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）2旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1已知正四棱锥底面正方形的边
8、长为4 cm，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的侧面积和表面积【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。【答案】32 cm2 48cm2【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成RtPOEOE=2 cm，OPE=30，因此，S表面积=S侧+S底=32+16=48（cm2）【总结升华】 求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高（称为斜高），这就需要充分利用棱锥的高、边心距（底面中心到各边的距离）和斜高所构成的直角三角形来求解举一反三：【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 例1】【变式1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面
9、体S-ABC，求它的表面积。 【答案】【变式2】 圆锥的母线长扩大到原来的倍，底面半径缩小为原来的，那么它的侧面积变为原来的（ ）A1倍 B倍 C倍 D倍 【答案】A例2圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。【答案】【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R，圆锥的母线长为则有，即，R=2r，【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体这种切接问题一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算例3一个直角梯形的上底、下底、高的
10、比为，求由它旋转而成的圆台的上底面积，下底面积和侧面积的比【答案】146【解析】如右图，设上、下底和高分别为x、2x、，则母线， S上底=x2，S下底=(2x)2=4x2，S侧=(x+2x)2x=6x2圆台的上、下底面积及侧面积之比为146【总结升华】解题的关键是利用轴截面是等腰梯形，进而化为直角梯形、直角三角形，从而将上、下底半径、高、母线等集中在一个直角三角形中研究举一反三：【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留） 【答案】1100【变式2】 邻边长为a，b的平行四边形，且ab，分别以a，b两边所在
11、直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则有（ ）AS1S2 BS1S2 CS1S2 DS1S2 【答案】A类型二、简单几何体的体积例4如右图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA=2，PB=3，PC=4，求三棱锥P-ABC的体积V【思路点拨】由于PAPB且PAPC，而PB与PC相交于P，所以PA垂直于平面PBC，即PA为三棱锥APBC的高，从而顺利地求出其体积【答案】4【解析】三棱锥的体积，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把A看作顶点，PBC作为底面求解 【总结升华】 本例中，不
12、是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而是把它转化为三棱锥APBC的高这种方法的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理这一方法叫做体积转换法（或等积法），随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握举一反三：【变式1】（1）各棱长都为1的正四棱锥的体积V=_（2）如右图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关【答案】（1） （2）
13、D 【解析】从图中可以分析出，EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，即y的大小，影响P到面A1B1CD的距离，因此会导致四面体体积的变化故选D例5一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则这个几何体的体积为 m3【答案】【解析】 由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和即 =（m3）【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解此类题目是新课标高考的热点，应引起重视举一反三：【变式1】 某几何体的三视图如图所示，则它的体积
14、是ABCD 【答案】A 【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即类型三、球的表面积与体积例6求体积为的正方体的外接球的表面积和体积【答案】 【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可如图，以正方体的对角面作球的截面，则球心为的中点，设正方体的棱长为，则，而【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内
15、一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的举一反三：【变式1】设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 。 A B C D【答案】B【变式2】圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是 cm 【答案】4【解析】 设球的半径为r cm，则底面圆的半径为r cm，从而有，由此解得r=4。