1、3正方形1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理；(重点)2会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明(难点)一、情境导入如图所示，把可以活动的矩形框架 ABCD 的 BC 边平行移动，使矩形的邻边 AD，DC相等，观察这时矩形 ABCD 的形状如图所示，把可以活动的菱形框架 ABCD 的A 变为直角，观察这时菱形 ABCD 的形状图中图形的变化可判断矩形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？图中图形变化可判断菱形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形注意：
2、正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】利用正方形的性质求角度四边形 ABCD 是正方形，ADE 是等边三角形，求BEC 的大小解析：等边ADE 可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况 解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE9060150，AEB15.同理可得DEC15.BEC60151530；当等边ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述，B
3、EC 的大小为 30或 150.易错提醒：因为等边ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边ADE 在正方形的外部或在正方形的内部【类型二】利用正方形的性质求线段长如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，AC 为对角线，AE 平分BAC，EFAC，求BE 的长解析：线段 BE 是 RtABE 的一边，但由于 AE 未知，不能直接用勾股定理求 BE，由条件可证ABEAFE，问题转化为求 EF 的长，结合已知条件易求解 解：四边形 ABCD 为正方形，B90，ACB45，ABBC1cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC 是等腰直角三角形，EFFC.B
4、AEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE，ABAF1cm，BEEF.FCBE.在 RtABC 中，AC AB2BC2 1212 2(cm)，FCACAF(21)cm，BE(21)cm.方法总结：正方形被对角线分成 4 个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质【类型三】利用正方形的性质证明线段相等如图，已知过正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于点 E，PFCD于点 F.求证：APEF.解析：由 PEBC，PFCD 知四边形 PECF 为矩形，故有 EFPC，这时只需说明 APCP，由正方形对角线互相垂直平分可知 APCP
5、.证明：连接 AC，PC.四边形 ABCD 为正方形，BD 垂直平分 AC，APCP.PEBC，PFCD，BCD90，四边形 PECF 为矩形，PCEF，APEF.方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中 探究点二：正方形的判定【类型一】先证明是矩形再证明是正方形已知：如图所示，在 RtABC 中，C90，BAC，ABC 的平分线交于点D，DEBC 于点 E，DFAC 于点 F.求证：四边形 CEDF 是正方形解析：欲证明四边形 CEDF 是正方形，先根据C90，DEBC，DFAC，证明四边形 CED
6、F 是矩形，再证明一组邻边相等即可证明：过点 D 作 DGAB 于点 G.DFAC，DEBC，DFCDEC90.又C90，四边形 CEDF 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)AD 平分BAC，DFAC，DGAB，DFDG.同理可得 DEDG，DEDF.四边形 CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等【类型二】先证明是菱形再证明是正方形如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O，且 EGFH.求证：四边形 EFGH是正方形解
7、析：已知 EGFH，要证四边形 EFGH 为正方形，则只需要证四边形的对角线 EG，HF 互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证 OEOHOGOF.证明：四边形 ABCD 为正方形，OBOC，ABOBCO45，BOC90COHBOH.EGFH，BOEBOH90，COHBOE，CHOBEO，OEOH.同理可证：OEOFOG，OEOFOGOH.又EGFH，四边形 EFGH 为菱形EOGOFOHO，即 EGHF，四边形 EFGH 为正方形方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 探究点三：正方形的性质和判定的综合运用已知：如图，点 E，F，P，Q 分别是正方形 ABCD 的四条边
8、上的点，并且 AFBPCQDE.求证：(1)EFFPPQQE；(2)四边形 EFPQ 是正方形解析：(1)证明APFDFECEQBQP，即可证得 EFFPPQQE；(2)由 EFFPPQQE，可判定四边形 EFPQ 是菱形又由APFBQP，易得FPQ90，即可证得四边形 EFPQ 是正方形证明：(1)四边形 ABCD 是正方形，ABCD90，ABBCCDAD.AFBPCQDE，DFCEBQAP.在APF 和DFE 和CEQ 和BQP 中，AFDECQBP，ADCB，APDFCEBQ，APFDFECEQ BQP(SAS)，EFFPPQQE；(2)EFFPPQQE，四边形 EFPQ 是菱形APFB
9、QP，AFPBPQ.AFPAPF90，APFBPQ90，FPQ90，四边形 EFPQ 是正方形方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质注意解题的关键是证得APFDFECEQBQP.探究点四：正方形、菱形、矩形与平行四边形的综合运用如图，ABC 中，点 P 是 AC 边上一个动点，过 P 作直线 EFBC，交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角ACD 平分线于点 F.(1)请说明：PEPF；(2)当点 P 在 AC 边上运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？为什么？(3)在(2)的条件下，ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？为什么？(4)当点 P
10、在边 AC 上运动时，四边形 BEFC 可能是菱形吗？请说明理由解：(1)CE 平分BCA，12.EFBC，E1，E2，EPPC.同理 PFPC，EPPF；(2)当点 P 在 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形PAPC，PEPF，四边形 AECF是平行四边形又ECF12BCD90，平行四边形 AECF 是矩形；(3)当ACB90时，四边形 AECF 是正方形ACB90，ACBC.EFBC，ACEF，平行四边形 AECF 是正方形；(4)四边形 BECF 不可能是菱形ECF90，EFCF，四边形 BECF 不可能是菱形三、板书设计经历正方形性质和判定的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
