1、考点测试41空间几何体的表面积和体积高考概览高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式一、基础小题1设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A100 B C D答案D解析由题意知切面圆的半径r4，球心到切面的距离d3，所以球的半径R5，故球的体积VR353，即该西瓜的体积为.2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A5 B6 C7 D8答案C解析由三视图可知该几何体是一个棱长为2的正方体去掉一个棱长为1的正方体，则该几何体的体积V2221117，故选C.3一个三棱
2、锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为()A4 B8 C16 D24答案B解析由正视图和侧视图知，该三棱锥的高为6，底面是直角边分别为4和2的直角三角形，所以该三棱锥的体积V4268，故选B.4如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为()A BC D答案B解析由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l2，底面半径r1，高h.由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边为半圆直径，高为半圆半径的等腰直角三角形，三棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥
3、的体积达到最大值，最大体积为V21，故选B.5已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448，则r()A2 B4 C1 D3答案A解析如图，该几何体的直观图为四分之一圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为9r24r3r3r4r2448，得r2.故选A.6如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于()A1 B2 C3 D4答案D解析该几何体为四棱锥，体积为Vx8，解得x4.7如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是()A8 B4 C D答案C解析由题意可知几何体的直观图如图中的三棱锥CABD，是正方体的一部分，正方体的棱长为2，故该几何体的体
4、积为234222.故选C.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A B C D2答案A解析如图，几何体的直观图是长方体的一部分，即棱锥PABCD，所以几何体的体积为2.故选A.9已知四面体ABCD中，平面ABD平面BCD，ABD为边长为2的等边三角形，BDDC，BDCD，则四面体ABCD的体积为()A. B C D2答案A解析如图，取线段BD的中点E，因为ABD为等边三角形，所以AEBD.又因为平面ABD平面BCD，且交线为BD，所以AE为平面BCD的垂线，长度为，因为BDDC2，BDDC，所以V四面体ABCD22.10如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正
5、方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，FE2，则该多面体的体积为()A. BC. D答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，则BHC中BC边的高h.SAGDSBHC1，V多面体ABCDEFVEAGDVFBHCVAGDBHC2VEAGDVAGDBHC21.11已知三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，若AB3，AC，BCCDBD2，则球O的表面积为()A4 B12 C16 D36答案C解析如图所示，AB2AC2BC2，CAB为直角，设过ABC的小圆面的圆心为O，则O为BC的中点
6、，ABC和DBC所在的平面互相垂直，球心在过DBC的圆面上，即DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球的半径R2，球的表面积为S4R216，故选C.12如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为_答案84解析由三视图还原几何体如图：可得三棱锥ABCD，计算可得BC2，CD2，BD2，AD2，AB2，SBCD222，SADC222，SABC222，ABD为等腰三角形，高为3，SABD236，则该几何体的表面积为222684.二、高考小题13(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分
7、别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 B4 C2 D答案D解析设PAPBPC2a，则EFa，ABC是边长为2的等边三角形，F为AB的中点，FC，又CEF90，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PEC与AEC互补，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直径2R ，R，VR33.故选D.14. (2019浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该
8、柱体的体积(单位：cm3)是()A158 B162 C182 D324答案B解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S3327，因此，该柱体的体积V276162.故选B.15(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8答案C解析由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm，直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V226 cm3.1
9、6(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12 C8 D10答案B解析根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S2()22212.故选B.17(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6 C8 D8答案C解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知AC1B30，因为AB2，tan30，所以BC12
10、，从而求得CC12，所以该长方体的体积为V2228.故选C.18(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM平面ABC时，三棱锥DABC体积最大，此时，ODOBR4.SABCAB29，AB6，点M为三角形ABC的重心，BMBE2，在RtOMB中，有OM2.DMODOM426，(V三棱锥DABC)max9618.故选B.19(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABC
11、DA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.答案118.8解析由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥46312(cm3)又V长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)20(2019江苏高考)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC
12、1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_答案10解析设长方体ABCDA1B1C1D1中，BCa，CDb，CC1c，则abc120，VEBCDabcabc10.21. (2019北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_答案40解析由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S(24)226，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6424.又正方体的体积为4364，所以该几何体的体积为642440.22(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
13、另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_答案解析由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半因为四棱锥的底面正方形的边长为，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为，所以四棱锥的高为 2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V21.23(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_答案40解析因为母线SA，SB所成角的余弦值为，所以母线SA，SB所成角的正弦值为，因为SAB的面积为5，设母线长为l，所以l25，所以l2
14、80，因为SA与圆锥底面所成角为45，所以底面圆的半径为lcosl，因此，圆锥的侧面积为rll240.24. (2018天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_答案解析由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为，即底面面积为，由正方体的性质知，四棱锥的高为.故四棱锥MEFGH的体积V.25(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_答案解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为，高为1，其体积为()21，
15、多面体的体积为.三、模拟小题26(2019沈阳市东北育才学校模拟)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为()A B2 C3 D4答案B解析将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R，则有2R3，所以R1，设圆锥的内切球的半径为r，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥的母线长为3，所以h2，所以，解得r，因此内切球的表面积S4r22.故选B.27(2019济南一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是()A. B27 C9 D108答案B解析易知此几何体是底面为正方形，一条侧棱垂直于底面的四
16、棱锥，直观图如图，可补为棱长为3的正方体，故2R3，故该几何体外接球的表面积S4R227.28(2019衡水中学模拟)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形，若AB2，则球O的表面积为()A4 B12 C16 D32答案C解析取CD的中点E，连接AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，设BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线于O，则O为外接球的球心，BE，BG，外接球的半径R2.四面体ABCD外接球的表面积为4R216.故选C.29(2019石家庄模拟)用长度分别为
17、2,3,5,6,9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为()A258 cm2 B414 cm2C416 cm2 D418 cm2答案C解析设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为a，b，c，则长方体的表面积S2(abbcac)(ab)2(bc)2(ac)2，当且仅当abc时上式“”成立由题意可知，a，b，c不可能相等，故当a，b，c的大小最接近时，长方体的表面积最大，此时从同一顶点出发的三条棱的长分别为8,8,9，用长度为2,6的木棒连接，长度为3,5的木棒连接各为一条棱，长度为9的木棒为第三条棱，组成长方体，此时长
18、方体的表面积为2(888989)416(cm2)30(2019江西新余四中、上高二中联考)如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，EAB，FBC，GCD，HDA分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起EAB，FBC，GCD，HDA使得E，F，G，H重合，得到四棱锥当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：cm3)的最大值为()A3 B C3 D答案D解析图形折起合并以后就是右图所示的四棱锥EABCD，设正方形ABCD的边长为a，取CD的中点M，连接EM，E
19、O，OM，则|OM|，|EM|5，则|EO|，故四棱锥的体积为VSha2 .构造函数h(a)25a45a5，求导，得h(a)100a325a4，当h(a)0时，0aa，得0a2.当中，SA平面ABC，a2时，三棱锥体积取得最大值，此时VSABCSASABC222sin60；当中a趋近于0时，VSABC趋近于0.此三棱锥体积的取值范围是.故选D.一、高考大题1.(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1
20、A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.二、模拟大题2(2020南阳摸底)已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由题设可知，该几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图(1)该几何体的体积为VS矩形h68464.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h15.左、右侧面的底边上的高为h24.故该几何体的侧面积为S24024.