1、第 2 讲 数列求和及综合应用1(2010 年河南郑州一中模拟)已知数列an为等差数列，且 a1a7a134，则 tan(a2a12)等于()A.3 B 3C 3 D 332.已知an为等差数列，若a11a100 的 n 的最大值为()A11 B20C19 D213如表定义函数 f(x)：x12345f(x)54312对于数列an，a14，anf(an1)，n2,3,4，则 a2010 的值是()A1B2C3D44(2010年黑龙江大庆调研)已知递增数列an满足 a16，且 anan19anan18(n2)，则 a70()A29B25C63D95等差数列an中，a10，公差 d0，Sn 为其前
2、 n 项和，对任意正整数 n，若点(n，Sn)在以下 4 条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()6设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意实数 x，yR，都有 f(x)f(y)f(xy)，若 anf(n)(nN*)，且 a112，则数列an的前 n 项和 Sn 的取值范围是()A12，2 B12，2)C12，1 D12，1)7已知等差数列an中，|a3|a9|，公差 d0，则使前 n 项和 Sn 取最大值的正整数 n 的值是_8(2010 年湖北宜昌中学质检)在数列an中，a13，且 an1a2n(nN*)，则数列an的通项 an_.9已知点集 L(x，y)|ymn，其中 m(x2b
3、,2)，n(1，b1)，点 Pn(an，bn)L，P1L(x，y)|x1，且 an1an1，则数列bn的通项公式为_10已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a35，S15225.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2an2n，求数列bn的前 n 项和 Tn.11.已知数列an是公差 d0 的等差数列，记 Sn 为其前 n 项之和(1)若 a2，a3，a6 成等比数列，求其公比 q；(2)若 a11，求证：点 P1(1，S11)，P2(2，S22)，Pn(n，Snn)(nN*)在同一条直线上，并写出此直线方程12设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，anSnn 2(n1)(nN
4、*)(1)求证：数列an为等差数列，并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式；(2)设数列1anan1的前 n 项和为 Tn，证明：15Tn14；(3)是否存在自然数 n，使得 S1S22 S33 Snn(n1)22009？若存在，求出 n 的值；若不存在，请说明理由第 2 讲 数列求和及综合应用1【解析】选 B.由 a1a7a133a74，得 a743.a2a122a783，故 tan(a2a12)tan(83)tan23 3.2【解析】选 C.等差数列an中，a11a100，a110，故 a11a10.即 a11a100，使 Sn0 的 n 的最大值为 19.3【解析】选 A.a14
5、，a2f(a1)f(4)1，a3f(a2)f(1)5，a4f(a3)f(5)2，a5f(a4)f(2)4，a61，a75，a2010a45022a21.4【解析】选 A.a2na2n198(anan1)，整理得(an4)2(an14)29.数列(an4)2是以首项为 4，公差为 9 的等差数列，(an4)24(n1)99n5，an4 9n5，an4 9n5，a704 62529.5【解析】选 C.Snna1nn12d，Snd2n2(a1d2)n，又 a10，公差 d0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧6【解析】选 D.由题意可知，a1f(1)12，an1f(n1)f(
6、1)f(n)12an.数列an是以12为首项，12为公比的等比数列Sn12112n1121(12)n，则 Sn 的取值范围为12，1)，故选 D.7【解析】由于 d0，a90，由已知|a3|a9|a3a90，由于 a3a92a6a60，故数列的前 5 项或前 6 项和最大【答案】5 或 68【解析】由 an1a2n，得 lgan1lga2n，即 lgan12lgan，故lgan是以 lg3 为首项，2为公比的等比数列，lgan2n1lg3lg32n1,所以 an32n1.【答案】32n19【解析】L(x，y)|ymn，m(x2b,2)，n(1，b1)，ymnx2b2(b1)x2.P1L(x，y
7、)|x1，P1(1,3)，即 a11，b13.又an1an1，ann.点 Pn(an，bn)L，bnan2n2.【答案】bnn210【解】(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由题意，得a12d515a115142d225，解得a11d2，an2n1.(2)由(1)得 bn2an2n124n2n，Tnb1b2bn12(4424n)2(12n)4n146n2n234nn2n23.11【解】(1)a2，a3，a6 成等比数列，qa3a2a6a3a6a3a3a23dd 3.(2)证明：Snna1nn1d2.Snn a1n1d21n1d2.可见，点(n，Snn)在直线 y1x12d 上P1、
8、P2、Pn 各点都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上此直线的方程为 y1d2(x1)12【解】(1)证明：由 anSnn 2(n1)，得 Snnan2n(n1)(nN*)当 n2 时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即 anan14，数列an是以 a11 为首项，4 为公差的等差数列于是，an4n3，Sna1ann22n2n(nN*)(2)证明：Tn 1a1a2 1a2a3 1a3a41anan1 115 159191314n34n114(115)(1519)(19 113)(14n314n1)14(114n1)n4n1 n4n14.又易知 Tn 单调递增，故 TnT115，于是，15Tn14.(3)由 Snnan2n(n1)，得Snn 2n1(nN*)，S1S22 S33 Snn(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令 2n12009，得 n1005，即存在满足条件的自然数 n1005.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m