1、数学一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，则的最大值是（ ） 2.设随机变量，且,则的值分别为（ ） 3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则（ ） 4.现有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案有（ ）种 种 种 种5.函数在上的最大值是（ ） 6.皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若是质数，且互质，那么的次方除以的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为，另一
2、个作为，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ） 7.已知命题：数列的通项公式为（为实数，）,且，恒为等差数列；命题：数列的通项公式为时，数列为递增数列.若为真，则实数的取值范围为（ ） 8.已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）.充分不必要条件 必要不充分条件第2页 共4页充要条件 既不充分也不必要条件9.在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） 10.过双曲线的左焦点且倾斜角为的直线交左支于不同的两点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） 11.已知平面区域，则平面区域的面积为（ ） 12.已知函数，关于的方程有4个实根，则的取值范围是（
3、 ） 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知，则 。14.设，则 。15.数列满足,则= 。16.如图所示，某几何体由底面半径与高均为5的圆柱，与半径为5的半球球面对接而成.该封闭的几何体内部放一个小圆柱体，小圆柱体上底面在外层圆柱的底面内，则小圆柱体体积的最大值为 。三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。）17.（本小题12分）已知中内角的对边分别为，向量，且.（1）求锐角的大小；（2）如果，求的面积的最大值.18.（本小题12分） 刷脸时代来了，全国各地不少大型超市迅速推出“刷脸支付”的服务，消费者购物再不用排长龙等买单，只要刷个脸、输入个手机号，1
4、分钟迅速结账.人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查，并从参与的被调查者中随机抽取200人（中老年、青少年各100人），得到这200人对“刷脸支付”安全满意度的中位数为68%，根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）已知抽取的这200人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有38人，判断是否有99.9%的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关？（注：每组数据以区间的中点值为代表）（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两
5、种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动，活动方案为：从装有8个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，返消费金额的20%；若摸到2个红球，则返消费金额的10%，除此之外不返现金.方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动。现小张在该大型超市购买了总价为1000元的商品.求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；（精确到小数点后一位数学
6、）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？附：参考公式及临界值表：0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.（本小题12分）在四棱锥中，底面为矩形，侧面,是正三角形，（1）求证：;（2）求二面角的余弦值。20.（本小题12分）已知椭圆：的左焦点为，长轴长为8，其离心率，过的直线交椭圆于两点。（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。21.（本小题12分）设函数（1）求函数的最大值；（2）对于任意，且，若恒为负数，求实数的取值范围；（3）数列的前项和为，其通项公式为求证：。2
7、2.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为。以原点为极点，轴正半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）若射线与曲线交于点，求;（2）若直线与曲线交于两点，点，上方，求的值。23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若，求满足条件的的范围；（2）若的最小值为，求最小值。数学答案题号123456789101112答案AACBBBADBACA13.-4 14. 15. 16.17.（本小题满分12分）解：（1）因为又因为（6分）（2）由余弦定理得 所以所以 所以的面积的最大值为 （12分）18.（本小题满分
8、12分）解：（1）由题意可得，对“刷脸支付”安全满意度在内的频率为0.15，青少年中老年总计不高于平均数3862100高于平均数6238100总计100100200所以人们对“刷脸支付”安全满意度的平均数为68%。由于这200人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为68%，所以高于68%的频率为0.5,200人中共有100人，故青少年中高于平均数的有62人，可得列联表如右：所以的观测值，所以有99.9%的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关。 （4分） （2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为1000,900,800.X8009001000P其对应的分布列 （元）
9、（8分）若选择方案二，记需支付的金额为Y元，Y800900950P则Y的可能取值为800,900,950，其对应的分布列为（元）由知,故从概率角度看，选择方案二付款更划算 （12分）19.（本小题满分12分）解：（1）侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCD=AB, 底面ABCD, 又PAB是正三角形， （6分）（2）（12分）（注: 本题还有建系等其他解法，结论正确相应给分）20.（本小题满分12分）解：（1） （4分）（2） （10分） （12分）21.（本小题满分12分）解：（1） （4分）（2） (8分)（3） (12分)22.（本小题满分10分）解：（1）将，得，所以 （4分）（2）极坐标方程化为直角坐标方程为将，得设A,B两点对应的参数分别为，则所以 （10分）23.（本小题满分10分）解：（1）由题意，得，即，所以，所以,所以满足条件的x的范围为 （5分）（2）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立 （10分）