1、6.2.2导数与函数的极值、最值最新课程标准 1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件(易混点) 2会求函数的极值(重点) 3会求函数在闭区间上的最值4能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题(难点)教材要点知识点一极值点和极值的概念名称定义表示法极值极大值已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有_，则称函数f(x)在点x0处取极大值记作_极小值已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有_，则称函数f(x)在点x0处取极小值记作_极值点_统称为极值点知识点二函数f(x)在闭区间a，b上的最值假设函数
2、yf(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b一定能够取得_与_，若函数在a，b内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得基础自测1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A1个 B2个C3个 D4个2函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27 B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值 D极小值27，无极大值3函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值 B有极值C有最大值 D有最小值4下列说法正确的是_(填序号)函数的最大值一定是函数的极大值
3、；开区间上的单调连续函数无最值；函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得题型一求函数的极值例1求下列函数的极值(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x36；(3)f(x)|x|.方法归纳1讨论函数的性质要注意定义域优先的原则2极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：f(x0)0；点x0两侧f(x)的符号不同(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x0点)，也可能不是极值点(如y，在x0处不可导，在x0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f(x)0的根，
4、也可能是不可导点跟踪训练1已知函数f(x)x22ln x，则f(x)的极小值是_题型二利用函数的极值求参数例2已知f(x)x3ax2bxc在x1与x时都取得极值(1)求a，b的值；(2)若f(1)，求f(x)的单调区间和极值(1)求导函数f (x)，则由x1和x是f (x)0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(1)求出c，再列表求解方法归纳已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：1根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练2已知函数f(x)x3
5、(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围题型三求函数的最值如图为yf(x)，xa，b的图像1观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值提示f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值2结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？提示存在f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为f(x3)3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是其极值吗？提示不一定也可能是区间端点的函数值例3(1)函数yx44x3在区间2,3上的最小值为()A72 B36C12 D0
6、(2)函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1Ce D0(3)求函数f(x)x42x23，x3,2的最值方法归纳求函数最值的四个步骤第一步，求函数的定义域；第二步，求f(x)，解方程f(x)0；第三步，列出关于x，f(x)，f(x)的变化表；第四步，求极值、端点值，确定最值跟踪训练3已知函数f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值为1，则m_.62.2导数与函数的极值、最值新知初探自主学习知识点一f(x)f(x0)y极大f(x0)f(x)f(x0)y极小f(x0)极大值点与极小值点知识点二最大值最小值基础自测1解析：依题意，记函数yf(x)的图像与x轴的交点的
7、横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值，选B.答案：B2解析：由y3x26x90，得x1或x3.当x1或x3时，y0；由1x3时，y0.当x1时，函数有极大值5；3(2,2)，故无极小值答案：C3解析：f(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值答案：A4答案：课堂探究素养提升例1解析：(1)f(x)2x2，令f(x)0，解得x1.因为当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以函数在x1处有极小值，且
8、y极小2.(2)f(x)x32x2xx(x22x1)x(x1)2.令f(x)0，解得x10，x21.所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x0时，函数取得极小值，且y极小6.(3)显然函数f(x)|x|在x0处不可导，当x0时，f(x)x10，函数f(x)|x|在(0，)内单调递增；当x0时，f(x)(x)10，函数f(x)|x|在(，0)内单调递减故当x0时，函数取得极小值，且y极小0.跟踪训练1解析：f(x)2x，且函数定义域为(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)0，当x1时，函数有极小值，极小值为f(1)1.答案：1例2解析：(1)
9、f(x)3x22axb，令f(x)0，由题设知x1与x为f(x)0的解a，b2.经检验满足题意(2)由(1)知f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1.f(x)x3x22x1.f(x)3x2x2.令f(x)0，得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)的递增区间为和(1，)，递减区间为.当x时，f(x)有极大值为f；当x1时，f(x)有极小值为f(1).跟踪训练2解析：f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以导数f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3.故实数m的取值范围是(3，)例3
10、解析：(1)因为yx44x3，所以y4x34，令y0，解得x1.当x1时，y1时，y0，函数单调递增，所以函数yx44x3在x1处取得极小值0.而当x2时，y27，当x3时，y72，所以当x1时，函数yx44x3取得最小值0，故选D.(2)f(x)1，令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，e)时，f(x)0，当x1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)1，故选B.(3)f(x)4x34x4x(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.答案：(1)D(2)B(3)见解析跟踪训练3解析：f(x)3x26x，x2,2令f(x)0，得x0或x2，当x(2,0)时，f(x)0，当x0时，f(x)有极小值，也是最小值f(0)m1.答案：1