1、课时作业 54几何概型一、选择题1(2018武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP、NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为()A. B.C. D.解析：本题考查几何概型设MPx，则NP16x，由x(16x)60，解得6x10，所以所求概率P，故选A.答案：A2(2018贵阳一模)已知函数f(x)kx1，其中实数k的值随机选自区间2,1，则对任意的x0,1，f(x)0的概率是()A. B.C. D.解析：当x0时，k2,1；当x(0,1时，k，而x(0,1(，1，故k1，从而k1,1因此所求概率为.故选C.答案：C3(2018湖南省五市十校高三联考)在矩形A
2、BCD中，AB2AD，在CD上任取一点P，ABP的最大边是AB的概率是()A. B.C.1 D.1解析：分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，P2，则当P在线段P1P2间运动时，能使得ABP的最大边是AB，易得1，即ABP的最大边是AB的概率是1.答案：D4(2018武汉市武昌区调研)在区间0,1上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x3)0”发生的概率为()A. B.C. D.解析：因为log0.5(4x3)0，所以04x31，即成立的概率为()A. B.C. D1解析：依题意，当0，时，由sin得，0.因此，所求的概率等于，选B.答案：B7(2018深圳调研)设实数a(
3、0,1)，则函数f(x)x2(2a1)xa21有零点的概率为()A. B.C. D.解析：本题考查几何概型由函数f(x)x2(2a1)xa21有零点，可得(2a1)24(a21)4a30，解得a，即有a1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P，故选D.答案：D8在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1解析：点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外记“点P到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)1.答案：B9(2018安徽淮南一模)九
4、章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()A. B.C. D.解析：依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得815(81517r)，解得r3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P.答案：A10(2018太原模拟)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点
5、落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()A. B.C. D.解析：本题考查几何概型设大正方形边长为a，直角三角形中较大锐角为，则小正方形的面积为a24acosasina2a2sin2，则由题意，得，解得sin2.因为，所以sincos，sincos.由解得sin，故选B.答案：B二、填空题11(2018黄山一模)向面积为S的ABC内任意投掷一点P，则PBC的面积小于的概率为_解析：SPBCSABC，h，其中h为PBC中BC边上的高，h为ABC中BC边上的高设DE为ABC的中位线(如图所示)，则梯形BCED(阴影部分)中的点满足要求，所求概率P.答案：12在体积为V的三棱锥
6、SABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于的概率是_解析：由题意可知，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，则PM，BN分别为APC与ABC的高，所以，又，所以.故所求的概率为(即为长度之比)答案：13(2018甘肃省张掖市第一次考试)在区间0，上随机取一个数，则使sincos2成立的概率为_解析：由sincos2，得sin1，结合0，得，使sincos2成立的概率为.答案：14.(2018山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞
7、镖落在小正方形内的概率是_解析：易知小正方形的边长为1，故小正方形的面积为S1(1)242，大正方形的面积为S224，故飞镖落在小正方形内的概率P.答案：能力挑战15(2018江西赣州十四县联考)已知定义在区间3,3上的单调函数f(x)满足：对任意的x3,3，都有f(f(x)2x)6，则在3,3上随机取一个实数x，使得f(x)的值不小于4的概率为()A. B.C. D.解析：由题意设对任意的x3,3，都有f(x)2xa，其中a为常数，且a3,3，则f(a)6，f(a)2aa，62aa，得a2，故f(x)2x2，由f(x)4得x1，因此所求概率为.答案：C16(2018云南省第一次统一检测)在平
8、面区域内随机取一点(a，b)，则函数f(x)ax24bx1在区间1，)上是增函数的概率为()A. B.C. D.解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则SAOB448.函数f(x)ax24bx1在区间1，)上是增函数，则应满足a0且x1，即，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由，解得a，b，所以SCOB4，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为，故选B.答案：B17(2018湖北省七市协作体联考)平面区域A1(x，y)|x2y24，x，yR，A2(x，y)|x|y|3，x，yR在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为_解析：分别画出区域A1，A2，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为1.答案：1