1、四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二数学下学期第四学月考试试题 理（含解析）第I卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知求出复数z,再求其虚部.【详解】由题得，所以复数z的虚部为-1.故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.命题“”的否定形式是（ ）A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定原理可
2、直接得到结果.【详解】根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：，使得故选：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.3.如图是当取三个不同值1,2,3时的三种正态曲线,那么1,2,3的大小关系是( )A. 11230B. 0121230D. 012=13.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确故选：C【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题7.“”是“函数为奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质：即可求出的值，再结合充分，必要条件的定义即可
3、得到结果【详解】解：函数是奇函数，化简得：，解得“”“函数为奇函数”，但是“函数为奇函数”推不出“”.故“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了奇函数的定义性质和充分，必要条件的定义，属于基础题8.圆上的点到直线的距离的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算半径为，再计算圆心到直线的距离为，最大距离为得到答案.【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最大值：.故选：C.【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离的最值，转化为圆心得到直线的距离加上半径是解题的关键.9.在直角坐标平面内，由曲线，和所围成的封闭图形的面积
4、为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出直线y=x和曲线xy=1的交点的横坐标，再利用定积分求出曲线，和轴所围成的封闭图形的面积.详解：联立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由题得由曲线，和轴所围成的封闭图形的面积为，故选A.点睛：求曲线围成的不规则的图形的面积，一般利用定积分来求解.10.某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项有下列两种完成所有科研项目的计划：A计划：第一年完成5项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为止；B计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好5年完成所有项目那么，按照A计划和B
5、计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量A. 按照A计划完成的方案数量多B. 按照B计划完成的方案数量多C. 按照两个计划完成的方案数量一样多D. 无法判断哪一种计划的方案数量多【答案】C【解析】分析：先分别按照计划确定完成的方案数量，再作比较.详解：因为按照A计划完成的方案数量为15个项目（去掉第一年5个项目）在5个列中排列数（要求左列数不小于右列数），按照B计划完成的方案数量为15个项目（去掉每一年至少一个项目）在5行中排列数（要求上行数不小于下行数），一样多，所以选C.A计划第一列第二列第三列第四列第五列第一年11111第二年第三年第四年第n年B计划第一列第二列第三列第四列第n列第一年
6、1第二年1第三年1第四年1第五年1点睛：两个计数原理在实际问题应用时，要注意不错不漏，分类科求.11.设，是抛物线上两点，抛物线的准线与轴交于点，已知弦的中点的横坐标为3，记直线和的斜率分别为和，则的最小值为（ ）A. B. 2C. D. 1【答案】D【解析】【分析】设，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得，再由基本不等式可得所求最小值【详解】设，可得，相减可得，可得，又由，所以，则，当且仅当时取等号，即的最小值为.故选D【点睛】本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题12.对于三次函数，给出定义：设是函
7、数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则（ ）A. 2014B. 2013C. D. 1007【答案】A【解析】【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点，对称，即，即可得到结论【详解】由可得，所以，令得，因为，所以函数的对称中心为综上可得，故选：A【点睛】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键求和的过程中使用了倒序相加法第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数在处取得极值，则实数_【答案】【
8、解析】【分析】根据题意，可知f（1）=0，求解方程，即可得到实数a的值【详解】f（x）=x3+ax2+x+b，f（x）=3x2+2ax+1，又f（x）在x=1时取得极值，f（1）=3+2a+1=0，a=2故答案为2【点睛】本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性14.有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为，乙获得
9、正品甲不是正品的概率为，且每台获得正品的概率均大于，则甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是_.【答案】【解析】【分析】设甲乙两台机床生产正品的概率分别为，则，根据题意列方程组，解得，“甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品”为甲获得正品乙不是正品，乙获得正品甲不是正品，以及甲乙均获得正品，根据概率加法公式求解即可.【详解】设甲乙两台机床生产正品的概率分别为，则，.甲获得正品乙不是正品的概率为又乙获得正品甲不是正品的概率为联立得，解得则甲乙均获得正品的概率为即甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是故答案为：【点睛】本题考查概率的加法与乘法公式，属于中档题.15.光线通过一块玻璃
10、，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为_（，）【答案】7【解析】【详解】设至少需块玻璃板，由题知，即，取对数，即，即，16.已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于，且，则_【答案】【解析】设焦点为F，则 所以 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数（，），.（
11、1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数，求的单调区间和最小值.【答案】（1）（2）单调增区间为，减区间为，最小值为.【解析】【详解】（1）先求导数，再借助导数的几何意义求解；（2）先求导数，再借助导数与函数的单调性之间的关系求解：【试题分析】（1）（1）因为，由即，得，则的解析式为，即有， 所以所求切线方程为.（2），由，得或，由，得，的单调增区间为，减区间为，的最小值为.18.某企业有，两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：（1）填写列联表，并根据列联表判断有多大的把握认为这两个
12、分厂的产品质量有差异？优质品非优质品合计合计（2）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为，求的数学期望.附：，. 0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为两个分厂的产品质量有差异；（2）（i）；（ii）2【解析】【分析】（1）结合题中的条件，填完列联表，之后应用公式求得的观测值，与表中的值相
13、比较，得到是否有把握认为其有没有关系；（2）（i）10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，按照条件概率计算公式得结果；（ii）用频率估计概率，从分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量服从二项分布，即，即可得出结果.【详解】（1）列联表：优质品非优质品合计10901002080100合计35170200由列联表可知的观测值为：，所以有的把握认为两个分厂的产品质量有差异（2）（i）依题意，厂100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10件产品中随机抽取2件
14、，抽取的两件产品都是优质品”为事件，则，所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是（ii）用频率估计概率，从分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量服从二项分布，即，则【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，需要耐心读题，因为该题的题干太长，再者要求对基础知识掌握非常的牢固，对相关的定义以及公式都比较熟悉，虽然题干比较长，但是题并不难，所以耐心就能做好.19.如图，在直三棱柱中，为棱的中点，.（1）证明：平面；（2）设二面角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2)【解析】试题分析：（1）取的中点
15、,根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互余关系确定结果.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，侧面为平行四边形，为的中点，又，四边形为平行四边形，则.平面，平面，平面.（2）解：过作于，连接，则即为二面角的平面角.，.以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，.，异面直线与所成角的余弦值为.20.已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点.(1)当直线过右焦点时，求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，若点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.【答案】
16、(1)；(2)【解析】【分析】(1)求出直线与轴的交点坐标，可得，再由椭圆的方程可得，联立方程可求出，从而可得椭圆的标准方程；(2) 设，联立直线的方程与椭圆的方程消去，由判别式求出的范围，再利用根与系数关系求出和，根据，可得，其中点坐标，由两点间距离公式可得，又点在以线段为直径的圆内，故，即，把和结果代入，即可求出实数的取值范围.【详解】解：(1)由已知可得直线与轴的交点坐标，所以，又，由解得，所以椭圆C的方程为(2)设，由得，由，又，解得 ，由根与系数关系，得，由，可得，设是的中点，则，由已知可得，即，整理得， 又，所以，所以，即，即，所以 ，综上所述，由得a的取值范围为【点睛】本题主要考
17、查椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系及点和圆的位置关系，属于中档题21.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，的单调减区间为，无增区间；当时，的单调增区间为，减区间为（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，对a进行分类讨论即可得函数单调区间；（2）将问题转化为，令，函数在上单调递增，求参数的取值范围.【详解】（1）定义域为，当时，所以在上单调递减；当时，由解得，由解得，即在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；当时，的单调增区间为，减区间为（2），即，令，则可知函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒
18、成立，只需，而函数在单调递增，所以，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，根据函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论以及转化与化归思想.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线C和直线的直角坐标系方程；（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.【答案】（1）曲线，直线；（2）.【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程，消
19、去参数即可求出曲线方程，根据直线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由于点，均在直线上，所以利用直线参数方程的几何意义，与曲线联立，求出根，即可求出的值.详解】（1）由题知，消去有，即曲线，因为，即直线；（2）易知点在直线上，且直线倾斜角为，则直线的参数方程为（t为参数），因为直线与曲线C相交于A，B两点，所以有，解得，根据参数的几何意义有，,有，.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，直角坐标与极坐标的转化，直线参数方程的几何意义，属于一般题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）求证：；（2）求不等式的解集【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【试题分析】（1）利用绝对值不等式可证明不等式成立.(2)利用零点分段法去绝对值,将原函数变为分段函数,然后逐一求解不等式后取并集.【试题解析】（1）证明：（2）所以或或解得，故解集为- 22 -