1、运用米勒定理简解最大角问题米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题：已知点 A、B 是MON的边OM 上的两个定点，点C 是边ON 上的动点，则当C 在何处时，ACB最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。米勒定理：已知点 A、B 是MON的边OM 上的两个定点，点C 是边ON 上的一动点，则当
2、且仅当 ABC 的外圆与边ON 相切于点C 时，ACB最大。证明：如图，设C、C 是边ON 上不同于点C 的任意两点，因为AC B、AC B均是圆外角，ACB是圆周角，易证AC B、AC B均小于ACB，故ACB最大。根据切割线定理得，2OCOA OB，即OCOA OB，于是我们有：ACB最大 等 价 于ABC 的 外 接 圆 与 边 ON 相 切 于 点 C，等 价 于2OCOA OB等 价 于OCOA OB。NMCCCOBA关于切割线定理：如图，过O 外一点画圆的一条切线 PC 和一条割线 PB，交O 于另一点 A，则有2PCPA PB（读者可利用相似自行证明）例题：（1）如图 1，点 A
3、，B 在MQN 的边 QM 上，过 A，B 两点的圆交 QN 于点 C，D.点 E 在线段 CD 上（异于点 C，D），点 F 在射线 DN 上（与点 D 不重合）.试证明AEBAFB；点 P 从 Q 点出发沿射线 QN 方向运动，你能发现在这个运动过程中APB 的大小是如何变化的？APB 的度数能取到最大值吗？如果能，说出点 P 的位置；（2）如图 2，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），当点 P 在 y 轴上移动时，APB是否有最大值？若有，请直接写出点 P 的坐标；若没有请说明理由。OCBAP练习 1：先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或
4、等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等如图，点 A、B、C、D 均为O 上的点，则有C=D小明还发现，若点 E 在O 外，且与点 D 在直线 AB 同侧，则有D E请你参考小明得出的结论，解答下列问题：（1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，7），点 B 的坐标为（0，3），点 C 的坐标为（3，0）在图 1 中作出ABC 的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；若在 x 轴的正半轴上有一点 D，且ACB=ADB，则点 D 的坐标为；（2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，m），点 B 的坐标为（0，n），其中 mn0点 P 为 x 轴
5、正半轴上的一个动点，当APB 达到最大时，直接写出此时点 P 的坐标ODCEBAyxyx图2图1ABCBAOO练习 2：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门 AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，球员带球沿 CD 方向进攻，最好的射点在（）A点 C B点 D 或点 EC线段 DE（异于端点）上 一点D线段 CD（异于端点）上一点练习 3：如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点 P 是该直角坐标系内的一个动点。（1）使APB=30 的点 P 有_个；（2）若点 P 在 y 轴上，且APB=30，求满足条件的点
6、 P 的坐标；（3）当点 P 在 y 轴上移动时，APB 是否有最大值？若有，求点 P 的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，也请说明理由。练习 4：如图，在每一个四边形 ABCD 中，均有 ADBC，CDBC，ABC=60，AD=8，BC=12.（1）如图，点 M 是四边形 ABCD 边 AD 上的一点，则BMC 的面积为_；（2）如图，点 N 是四边形 ABCD 边 AD 上的任意一点，请你求出BNC 周长的最小值；（3）如图，在四边形 ABCD 的边 AD 上，是否存在一点 P，使得 cosBPC 的值最小？若存在，求出此时 cosBPC 的值；若不存在，请说明理由。练习 5：根据已学知识完成问题（1）（4）（1）如图，ABC、为O 上三点，D 为圆外一点，求证CD（2）如图，B 为O 上一点，P 为O 外一点，连接 PB 交O 于点 A，过 P 点作O 的切线 PC，C 为切点，连接 ACBC、，求证2PCPA PBODCBAOCBAP（3）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（5，0），直线l 的解析式为1yx，在直线l 上找一点 P，当APB最大时点 P 的坐标为_（4）如图，在平面直角坐标系中，A（n，0）B（m，0），直线l 的解析式为 ykx0k（），在直线l 上找一点 P，使得APB最大，请用无刻度的直尺和圆规作出点 P 并简述作图过程。